Equação diferencial estocástica

O conceito de equação diferencial estocástica (abreviatura SDGL ou Inglês SDE para equação diferencial estocástica ) é uma generalização do conceito de equação diferencial ordinária para processos estocásticos em matemática . Equações diferenciais estocásticas são usadas em inúmeras aplicações para modelar processos dependentes do tempo que, além de influências determinísticas, também são expostos a fatores de interferência estocásticos ( ruído ).

A formulação matemática do problema representou grandes problemas para os matemáticos e, portanto, a teoria formal das equações diferenciais estocásticas não foi formulada até a década de 1940 pelo matemático japonês Itō Kiyoshi . Juntamente com a integração estocástica , a teoria das equações diferenciais estocásticas estabelece a análise estocástica .

Da equação diferencial à equação integral

Tal como acontece com as funções determinísticas, gostaríamos de formular a relação entre o valor da função e sua mudança momentânea (sua derivada ) em uma equação para processos estocásticos . O que leva a uma equação diferencial ordinária em um caso é problemático no outro, uma vez que muitos processos estocásticos, como o processo de Wiener , não são diferenciáveis ​​em nenhum lugar .

No entanto, uma equação diferencial ordinária pode ser usada

${\ displaystyle {\ frac {{\ rm {d}} y (t)} {{\ rm {d}} t}} = f (t, y (t))}$

sempre equivalente como uma equação integral

${\ displaystyle y (t) = y (t_ {0}) + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (\ tau, y (\ tau)) \, {\ rm {d}} \ orvalho}$

escreva que não exija uma menção explícita da derivação. Com as equações diferenciais estocásticas, segue-se o caminho oposto, ou seja, define-se o termo com a ajuda da equação integral associada.

A formulação

Sejam duas funções e um movimento browniano . A equação integral estocástica associada ${\ displaystyle a, b \ dois pontos \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle (W_ {t}) _ {t \ geq 0}}$

${\ displaystyle X_ {t} = X_ {0} + \ int _ {0} ^ {t} a (X _ {\ tau}, \ tau) \, {\ rm {d}} \ tau + \ int _ { 0} ^ {t} b (X _ {\ tau}, \ tau) \, {\ rm {d}} W _ {\ tau}}$

torna-se através da introdução da notação diferencial

${\ displaystyle {\ rm {d}} X_ {t} = a (X_ {t}, t) \, {\ rm {d}} t + b (X_ {t}, t) \, {\ rm { d}} W_ {t}}$

à equação diferencial estocástica. A primeira integral deve ser lida como a integral de Lebesgue e a segunda como a integral de Itō . Para determinadas funções e (também conhecido como coeficiente de deriva e difusão ) e um movimento browniano , busca-se um processo que cumpra a equação integral acima. Este processo é então uma solução para o SDGL acima. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle (W_ {t})}$${\ displaystyle (X_ {t})}$

Existência e singularidade

Se houver qualquer variável aleatória definida no mesmo espaço de probabilidade que , então, adicionando a condição ao SDGL acima, um problema de valor inicial estocástico como uma contrapartida ao problema de valor inicial para equações diferenciais ordinárias quase certamente se tornará . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle X_ {0} = A}$

Há também uma correspondência com o teorema de existência e unicidade de Picard e Lindelöf : se as três propriedades a seguir forem atendidas:

• ${\ displaystyle A \ in L ^ {2} (P)}$, d. ou seja, tem variância finita .${\ displaystyle A}$
• Condição de Lipschitz : existe uma constante tal que para todos e todos é verdade${\ displaystyle K \ geq 0}$${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle t \ geq 0}$

${\ displaystyle | a (x, t) -a (y, t) | + | b (x, t) -b (y, t) | \ leq K | xy |}$.

• Limitações lineares: existe uma constante tal que para todos e todos é verdade${\ displaystyle C \ geq 0}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle t \ geq 0}$

${\ displaystyle | a (x, t) | + | b (x, t) | \ leq C (1+ | x |)}$.

Então, o problema do valor inicial tem uma solução única (além de quase certa igualdade) , que também tem variância finita em qualquer ponto no tempo . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle t}$

Exemplos

• O SDGL para o movimento browniano geométrico é . É usado, por exemplo, no modelo Black-Scholes para descrever preços de ações.${\ displaystyle {\ rm {d}} S_ {t} = rS_ {t} {\ rm {d}} t + \ sigma S_ {t} {\ rm {d}} W_ {t}}$
• O SDGL para um processo Ornstein-Uhlenbeck é . Entre outras coisas, é usado no modelo de Vasicek para a modelagem matemática de taxas de juros usando a taxa de juros atual .${\ displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = \ theta (\ mu -X_ {t}) \ mathrm {d} t + \ sigma \ mathrm {d} W_ {t}}$
• O SDGL para o processo de difusão de raiz de acordo com William Feller é${\ displaystyle {\ rm {d}} X_ {t} = \ kappa (\ theta -X_ {t}) {\ rm {d}} t + \ sigma {\ sqrt {X_ {t}}} {\ rm { d}} W_ {t}}$

Resolvendo equações diferenciais estocásticas e simulando as soluções

Tal como acontece com as equações determinísticas, não existe uma abordagem geral para encontrar a solução para as equações diferenciais estocásticas. Em alguns casos (como com o SDGL Black-Scholes mencionado acima, cuja solução é um movimento browniano geométrico), também é possível aqui “adivinhar” a solução e verificá-la derivando-a (a diferenciação aqui usando o lema de Itō ocorre).

Na maioria dos casos que surgem na prática, por exemplo também no caso do processo de difusão da raiz, uma forma fechada da solução não pode ser alcançada. Mas, principalmente, estamos interessados ​​apenas em simular os caminhos aleatórios da solução correspondente. Isso pode ser alcançado aproximadamente usando métodos de discretização numérica , por exemplo o esquema de Euler-Maruyama (que é baseado no método de Euler explícito para equações diferenciais ordinárias) ou o método de Milstein .

Equações diferenciais de atraso estocástico

Com uma equação diferencial de atraso estocástico (SDDE, equação diferencial de atraso estocástico ), o aumento futuro depende não apenas do estado atual, mas também dos estados em um intervalo de tempo limitado anterior. A existência e a exclusividade são fornecidas em condições semelhantes às dos SDGLs "normais". Estar

${\ displaystyle f \ colon [0, \ infty) \ times C ([- r, 0], \ mathbb {R} ^ {d}) \ to \ mathbb {R} ^ {d}}$,

${\ displaystyle g \ dois pontos [0, \ infty) \ times C ([- r, 0], \ mathbb {R} ^ {d}) \ to \ mathbb {R} ^ {d \ times m}}$

contínuo e ser um movimento browniano m-dimensional. Então, uma equação diferencial de atraso estocástica é uma equação de forma ${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle X (t) = X (0) + \ int _ {0} ^ {t} f _ {\ tau} (X _ {\ tau}) \, {\ rm {d}} \ tau + \ int _ {0} ^ {t} g _ {\ tau} (X _ {\ tau}) \, {\ rm {d}} W (\ tau)}$

no qual ${\ displaystyle X_ {t} (s): = X (t + s) \ \ forall s \ in [-r, 0]}$

A notação diferencial correspondente é então

${\ displaystyle {\ rm {d}} X (t) = f_ {t} (X_ {t}) \, {\ rm {d}} t + g_ {t} (X_ {t}) \, {\ rm {d}} W (t)}$.

Veja também

• Equação de Langevin

literatura

• Bernt Øksendal: Equações diferenciais estocásticas. Uma introdução aos aplicativos. 6ª edição. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-04758-1 .
• Philip E. Protter: Integração estocástica e equações diferenciais. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-00313-4 .