matemática

A matemática ( alto alemão federal : [ matematik ], [ matematik ]; alto alemão austríaco : [ matematik ]; grego antigo μαθηματική τέχνη mathematike téchnē , a arte de aprender ') é uma ciência formal , a partir do estudo de figuras geométricas e cálculos com números surgiram. Para a matemática , não existe uma definição universalmente aceita ; Hoje é geralmente descrito como uma ciência que usa a lógica para examinar estruturas abstratas autocriadas para suas propriedades e padrões por meio de definições lógicas .

O papiro egípcio Rhind

história

A matemática é uma das ciências mais antigas. Ele experimentou seu primeiro apogeu antes da antiguidade na Mesopotâmia , Índia e China , e mais tarde na Antiguidade na Grécia e no Helenismo . Foi a partir daí que datou a orientação para a tarefa da “prova puramente lógica” e a primeira axiomatização , nomeadamente a geometria euclidiana . Na Idade Média , ela sobreviveu de forma independente no início do humanismo das universidades e no mundo árabe.

No início do período moderno , François Viète introduziu variáveis, René Descartes abriu uma abordagem computacional para a geometria através do uso de coordenadas . A consideração das taxas de variação ( fluxões ), bem como a descrição das tangentes e a determinação das áreas de superfície ("quadratura") levaram ao cálculo infinitesimal de Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton . A mecânica de Newton e sua lei da gravitação continuaram a ser uma fonte de problemas matemáticos seminais , como o problema dos três corpos nos séculos que se seguiram .

Outro problema fundamental do início da era moderna foi a resolução de equações algébricas cada vez mais complexas. Para lidar com isso, Niels Henrik Abel e Évariste Galois desenvolveram o termo grupo , que descreve as relações entre simetrias de um objeto. A álgebra mais recente e, em particular, a geometria algébrica podem ser vistas como um aprofundamento dessas investigações .

Sede da Associação Mundial da União Matemática Internacional em Berlim

Uma ideia nova na época na correspondência entre Blaise Pascal e Pierre de Fermat em 1654 levou à solução de um antigo problema para o qual já havia outras soluções, mas controversas. A correspondência é vista como o nascimento do cálculo clássico de probabilidade. As novas ideias e processos conquistaram muitas áreas. Mas, ao longo dos séculos, a teoria clássica da probabilidade se dividiu em escolas separadas. As tentativas de definir o termo “probabilidade” explicitamente só têm sucesso em casos especiais. Somente após a publicação do livro de Andrei Kolmogorov, Basic Concepts in Probability Theory, em 1933, o desenvolvimento dos fundamentos da moderna teoria da probabilidade foi concluído. Ver também History of Probability Theory .

No decorrer do século 19, o cálculo infinitesimal encontrou sua forma estrita atual por meio do trabalho de Augustin-Louis Cauchy e Karl Weierstrass . A teoria dos conjuntos desenvolvida por Georg Cantor no final do século 19 também se tornou indispensável na matemática de hoje, ainda que, por meio dos paradoxos do conceito ingênuo de conjunto, inicialmente tenha deixado claro o fundamento incerto sobre o qual a matemática se erguia.

O desenvolvimento da primeira metade do século 20 foi influenciado pela lista de 23 problemas matemáticos de David Hilbert . Um dos problemas foi a tentativa de axiomatizar totalmente a matemática; Ao mesmo tempo, houve um grande esforço de abstração, ou seja, a tentativa de reduzir os objetos às suas propriedades essenciais. Assim, desenvolveu Emmy Noether os fundamentos da álgebra moderna, Felix Hausdorff topologia geral como o estudo de espaços topológicos , Stefan Banach provavelmente o conceito mais importante de análise funcional em sua homenagem, espaço de Banach . Um nível ainda mais alto de abstração, uma estrutura comum para visualizar construções semelhantes de diferentes áreas da matemática, foi finalmente criado pela introdução da teoria das categorias por Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane .

Conteúdo e metodologia

Conteúdos e subáreas

A lista a seguir fornece uma visão geral cronológica inicial da amplitude dos tópicos matemáticos:

Um pouco à parte desta lista está a matemática numérica , que fornece algoritmos para resolver problemas contínuos concretos de muitas das áreas acima mencionadas e os examina.

Também é feita uma distinção entre matemática pura, também conhecida como matemática teórica , que não trata de aplicações não matemáticas, e matemática aplicada , como matemática atuarial e criptologia . As transições entre as áreas mencionadas são fluidas.

Progresso por meio da resolução de problemas

Isaac Newton : Principia Mathematica ( Frontispício )

Outra característica da matemática é a maneira como ela progride no processamento de problemas que são “realmente muito difíceis”.

Uma vez que uma escola primária que soma números naturais aprendidos, ele é capaz de entender a seguinte pergunta e responder por tentativa e erro: "Qual número você tem que somar até 3 para chegar a 5" Mas a solução sistemática dessas tarefas requer a introdução de um novo conceito: subtração. A pergunta pode então ser reformulada para: “Quanto é 5 menos 3?” Mas assim que a subtração é definida, pode-se também fazer a pergunta: “Quanto é 3 menos 5?”, Que se refere a um número negativo e, portanto, já via matemática do ensino fundamental leva para fora.

Como neste exemplo elementar de aprendizagem individual, a matemática também avançou em sua história: em todos os níveis alcançados, é possível definir tarefas bem definidas, cuja solução requer meios muito mais sofisticados. Freqüentemente, muitos séculos se passaram entre a formulação de um problema e sua solução e, finalmente, uma subárea completamente nova foi estabelecida com a solução de problemas: no século 17, por exemplo, o cálculo infinitesimal era capaz de resolver problemas que haviam sido aberto desde os tempos antigos.

Mesmo uma resposta negativa, a prova da impossibilidade de solução de um problema, pode promover a matemática: por exemplo, a teoria dos grupos surgiu de tentativas fracassadas de resolver equações algébricas.

Formulação axiomática e linguagem

Primeira edição inglesa de Sir Henry Billingsley dos "Elementos" de Euclides (1570)

Desde o final do século 19, e ocasionalmente desde a Antiguidade , a matemática tem sido apresentada na forma de teorias que começam com afirmações consideradas verdadeiras; outras afirmações verdadeiras são então derivadas disso. Essa derivação ocorre de acordo com regras finais definidas com precisão . Os enunciados com os quais a teoria começa são chamados de axiomas , os derivados deles são chamados de proposições . A própria derivação é uma prova do teorema. Na prática, as definições ainda desempenham um papel: introduzem e especificam termos matemáticos, reduzindo-os a outros mais fundamentais. Por causa dessa estrutura de teorias matemáticas, elas são chamadas de teorias axiomáticas.

Normalmente, exige-se dos axiomas de uma teoria que eles sejam livres de contradições, isto é, que uma proposição e a negação dessa proposição não sejam verdadeiras ao mesmo tempo. No entanto, essa consistência em si geralmente não pode ser provada dentro de uma teoria matemática (isso depende dos axiomas usados). Como resultado, a consistência da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel , por exemplo , que é fundamental para a matemática moderna, não pode ser provada sem o auxílio de outras suposições.

Os assuntos cobertos por essas teorias são estruturas matemáticas abstratas que também são definidas por axiomas. Enquanto nas outras ciências os objetos tratados são dados e, em seguida, os métodos para examinar esses objetos são criados, na matemática, ao contrário, o método é dado e os objetos que podem ser examinados com ele só são criados depois. Dessa forma, a matemática sempre ocupa uma posição especial entre as ciências.

O desenvolvimento posterior da matemática, por outro lado, aconteceu e muitas vezes acontece por meio de coleções de proposições, provas e definições que não são estruturadas axiomaticamente, mas são principalmente moldadas pela intuição e experiência dos matemáticos envolvidos. A conversão em uma teoria axiomática só ocorre mais tarde, quando outros matemáticos lidam com as ideias não tão novas.

Por volta de 1930, Kurt Gödel mostrou o teorema da incompletude que leva seu nome , que diz que em todo sistema axioma da lógica clássica que permite que certas afirmações sobre os números naturais sejam provadas, há afirmações que são tão improváveis ​​quanto sua negação, ou o próprio sistema está se contradizendo.

A matemática usa uma linguagem muito compacta para descrever os fatos, que se baseia em termos técnicos e, acima de tudo, fórmulas. Uma representação dos caracteres usados ​​nas fórmulas pode ser encontrada na lista de símbolos matemáticos . Uma especialidade da terminologia matemática consiste na formação de adjetivos derivados de nomes de matemáticos como Pitagórico , Euclidiano, Euleriano , Abeliano , Noetheriano e Artinsch .

Áreas de aplicação

Jakob Bernoulli : Ars Conjectandi (1713)

A matemática é aplicável em todas as ciências que são suficientemente formalizadas . Isso resulta em uma interação próxima com aplicações em ciências empíricas. Por muitos séculos, a matemática se inspirou na astronomia , geodésia , física e economia e, inversamente, forneceu a base para o progresso dessas disciplinas. Por exemplo, Newton desenvolveu o cálculo infinitesimal a fim de compreender matematicamente o conceito físico “força é igual a mudança no momento”. Solow desenvolveu um modelo econômico de crescimento de uma economia, que constitui a base da teoria neoclássica do crescimento até hoje. Ao estudar a equação de onda, Fourier lançou as bases para o conceito moderno de função e Gauss desenvolveu o método dos mínimos quadrados e sistematizou a resolução de sistemas lineares de equações como parte de seu trabalho com astronomia e topografia . As estatísticas onipresentes hoje surgiram do estudo inicial do jogo.

Por outro lado, os matemáticos às vezes desenvolveram teorias que só mais tarde encontraram aplicações práticas surpreendentes. Por exemplo, a teoria dos números complexos para a representação matemática do eletromagnetismo, que surgiu já no século 16, tornou-se entretanto indispensável. Outro exemplo são as formas diferenciais de tensores -kalkül, que o Einstein da formulação matemática da relatividade geral usou. Além disso, por muito tempo, lidar com a teoria dos números foi considerado um artifício intelectual sem uso prático, sem o qual a criptografia moderna e suas diversas aplicações na Internet seriam inconcebíveis hoje .

Relação com outras ciências

Categorização da matemática

Gregor Reisch , Margarita Philosophica (1508)

A questão de qual categoria de ciências matemáticas pertence tem sido objeto de controvérsia por muito tempo.

Muitas questões e conceitos matemáticos são motivados por questões relacionadas à natureza, por exemplo, da física ou engenharia , e a matemática é usada como uma ciência auxiliar em quase todas as ciências naturais. No entanto, não é em si uma ciência natural em sentido estrito, uma vez que suas afirmações não dependem de experimentos ou observações. Não obstante, na filosofia da matemática mais recente , presume-se que a metodologia da matemática corresponde cada vez mais à das ciências naturais. Seguindo Imre Lakatos , pressupõe-se um “renascimento do empirismo”, segundo o qual os matemáticos também apresentam hipóteses e buscam sua confirmação.

A matemática tem semelhanças metódicas e relacionadas ao conteúdo com a filosofia ; por exemplo, a lógica é uma área de sobreposição entre as duas ciências. A matemática poderia, portanto, ser contada entre as humanidades , mas a classificação da filosofia também é controversa.

Por essas razões, também, alguns categorizam a matemática - ao lado de outras disciplinas, como ciência da computação - como ciência estrutural ou ciência formal .

Nas universidades alemãs, a matemática pertence principalmente ao mesmo corpo docente que as ciências naturais e, portanto, os matemáticos, após a promoção geralmente é o grau acadêmico do Dr. rer. nat. (Doutor em Ciências) premiado. Em contraste, no mundo anglófono, os graduados universitários obtêm o título de “Bacharel em Artes” ou “Mestre em Artes”, que na verdade são concedidos a acadêmicos de humanidades.

Papel especial entre as ciências

Galileo Galilei : Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze (1638)

A matemática desempenha um papel especial entre as ciências no que diz respeito à validade de suas descobertas e ao rigor de seus métodos. Por exemplo, embora todas as descobertas científicas possam ser falsificadas por novos experimentos e, portanto, em princípio provisórias, as afirmações matemáticas são produzidas umas das outras por meio de operações puras de pensamento ou reduzidas umas às outras e não precisam ser empiricamente verificáveis. Para isso, entretanto, uma prova estritamente lógica deve ser encontrada para o conhecimento matemático antes que ele possa ser reconhecido como uma proposição matemática . Nesse sentido, as proposições matemáticas são, em princípio, verdades finais e universais, de modo que a matemática pode ser considerada a ciência exata. É precisamente essa exatidão que é tão fascinante sobre a matemática para muitas pessoas. Assim disse David Hilbert no Congresso Internacional de Matemáticos em Paris em 1900:

“Discutiremos brevemente quais demandas gerais justificadas devem ser feitas sobre a solução de um problema matemático: Quero dizer, acima de tudo, que é possível demonstrar a correção da resposta por um número finito de inferências, nomeadamente com base em um número finito número de pré-requisitos que estão no problema e que devem ser formulados com precisão a cada vez. Essa exigência de dedução lógica por meio de um número finito de inferências nada mais é do que a exigência de rigor na argumentação. Com efeito, a exigência de rigor, que se sabe ter adquirido importância proverbial na matemática, corresponde a uma necessidade filosófica geral de nosso entendimento e, por outro lado, é somente por meio do seu cumprimento que o conteúdo intelectual e a fecundidade do problema entrar em vigor. Um problema novo, especialmente se vier do mundo externo, é como um arroz jovem, que só prospera e dá frutos se for enxertado cuidadosamente e de acordo com as regras estritas do jardineiro no velho tronco, posse segura de nossa matemática. o conhecimento vai. "

Joseph Weizenbaum do Instituto de Tecnologia de Massachusetts chamado matemática a mãe de todas as ciências.

"Afirmo, no entanto, que em qualquer teoria particular da natureza só pode ser encontrada tanta ciência real quanto matemática é encontrada nela."

- Immanuel Kant : Começos metafísicos das ciências naturais , A VIII - (1786)

A matemática é, portanto, também uma ciência cumulativa. Hoje conhecemos mais de 2.000 periódicos matemáticos. No entanto, isso também acarreta um risco: as áreas matemáticas mais novas deixam as áreas mais antigas em segundo plano. Além de afirmações muito gerais, há também afirmações muito especiais para as quais nenhuma generalização real é conhecida. Donald E. Knuth escreve no prefácio de seu livro Concrete Mathematics:

“O título do curso 'Matemática Concreta' foi originalmente concebido como um antídoto para 'Matemática Abstrata', uma vez que os resultados clássicos concretos estavam rapidamente sendo varridos do currículo matemático moderno por uma nova onda de idéias abstratas popularmente chamada de 'Nova Matemática'. Matemática abstrata é um assunto maravilhoso e não há nada de errado com ela: é linda, geral e útil. Mas seus adeptos ficaram iludidos de que o resto da matemática era inferior e não merecia mais atenção. O objetivo da generalização estava tão na moda que uma geração de matemáticos se tornou incapaz de apreciar a beleza em particular, de desfrutar o desafio de resolver problemas quantitativos ou de apreciar o valor da técnica. A matemática abstrata estava se tornando inata e perdendo o contato com a realidade; a educação matemática precisava de um contrapeso concreto para restaurar um equilíbrio saudável. "

“O título do evento 'Concrete Mathematics' foi originalmente pretendido como um contraponto a 'Abstract Mathematics', porque realizações clássicas e concretas foram rapidamente removidas dos currículos por uma nova onda de ideias abstratas - comumente chamadas de 'New Math' esvaziadas. A matemática abstrata é uma coisa maravilhosa que não tem nada de errado: é linda, geral e útil. Mas seus seguidores acreditavam erroneamente que o resto da matemática era inferior e irrelevante. O objetivo da generalização tornou-se tão moderno que toda uma geração de matemáticos não era mais capaz de ver a beleza em particular, de desafiar a solução de problemas quantitativos ou de apreciar o valor das técnicas matemáticas. A matemática abstrata girou em torno de si mesma e perdeu o contato com a realidade; No treinamento de matemática, um contrapeso de concreto era necessário para restaurar um equilíbrio estável. "

A literatura matemática mais antiga é, portanto, de particular importância.

O matemático Claus Peter Ortlieb critica a - em sua opinião - aplicação insuficientemente refletida da matemática moderna:

“Você tem que estar ciente de que há limites para a forma como a matemática pode capturar o mundo. A suposição de que funciona apenas de acordo com as leis matemáticas leva ao fato de que só se busca essas leis. Claro, também o encontrarei nas ciências naturais, mas tenho que estar ciente de que estou olhando o mundo através de lentes que bloqueiam grandes partes desde o início. [...] O método matemático há muito é adotado por cientistas de quase todas as disciplinas e é usado em todas as áreas possíveis onde, na verdade, não tem lugar. [...] Os números são sempre questionáveis ​​quando levam a normalizações, embora ninguém consiga entender como surgiram os números. "

Matemática na Sociedade

Logo do ano da matemática

O ano da ciência , organizado anualmente pelo Ministério Federal da Educação e Pesquisa (BMBF) desde 2000, foi 2008 o ano da matemática .

Matemática como matéria escolar

A matemática desempenha um papel importante como disciplina obrigatória na escola . A didática da matemática é a ciência que lida com o ensino e a aprendizagem da matemática. As séries de 5 a 10 são principalmente sobre o aprendizado de habilidades aritméticas. Nas escolas de gramática alemãs, o cálculo diferencial e integral, bem como a geometria analítica / álgebra linear são introduzidos no nível superior, ou seja, da classe 11, e a estocástica é continuada.

Matemática como matéria e profissão

Pessoas que estão profissionalmente envolvidas no desenvolvimento e aplicação da matemática são chamadas de matemáticos .

Além do estudo da matemática em que uma das suas prioridades pode contar com a matemática pura e / ou aplicada, recentemente foram estabelecidos cursos mais interdisciplinares, como matemática industrial , matemática empresarial , matemática computacional ou biomatemática . Além disso, o ensino em escolas secundárias e universidades é um importante ramo da matemática. Nas universidades alemãs, no âmbito do Processo de Bolonha, o diploma foi convertido em cursos de Licenciatura / Mestrado . Cientistas da computação , químicos , biólogos , físicos , geólogos e engenheiros iniciantes também precisam de um certo número de horas por semana.

Os empregadores mais comuns para os matemáticos são seguradoras , bancos e consultorias de gestão , especialmente na área de modelos financeiros matemáticos e consultoria, mas também na área de TI. Além disso, os matemáticos são usados ​​em quase todas as indústrias.

Museus e coleções matemáticas

A matemática é uma das ciências mais antigas e também uma ciência experimental. Esses dois aspectos podem ser muito bem ilustrados por museus e coleções históricas.

A instituição desse tipo mais antiga na Alemanha é o Salão Mathematisch-Physikalische de Dresden, fundado em 1728 . O Arithmeum in Bonn no Institute for Discrete Mathematics lá remonta à década de 1970 e é baseado na coleção de dispositivos de computação do matemático Bernhard Korte . O Heinz Nixdorf MuseumsForum (abreviatura "HNF") em Paderborn é o maior museu alemão para o desenvolvimento de tecnologia de computação (especialmente computadores), e o Mathematikum em Gießen foi fundado em 2002 por Albrecht Beutelspacher e está continuamente sendo desenvolvido por ele. O Math.space , dirigido por Rudolf Taschner , está localizado no Bairro dos Museus em Viena e mostra a matemática no contexto da cultura e da civilização.

Além disso, numerosas coleções especiais estão alojadas em universidades, mas também em coleções mais abrangentes, como o Deutsches Museum de Munique ou o Museu de História da Tecnologia de Berlim (computador desenvolvido e construído por Konrad Zuse ).

Aforismos sobre matemática e matemáticos

Os seguintes aforismos de personalidades conhecidas podem ser encontrados:

  • Albert Einstein : A matemática lida exclusivamente com as relações entre conceitos, independentemente de sua relação com a experiência.
  • Galileo Galilei : Matemática é o alfabeto que Deus usou para descrever o universo.
  • Johann Wolfgang von Goethe : Os matemáticos são uma espécie de francês: se você falar com eles, eles traduzem para a língua deles, e imediatamente é algo completamente diferente.
  • Godfrey Harold Hardy : O matemático é um criador de esquemas.
  • David Hilbert : Ninguém deveria ser capaz de nos tirar do paraíso que a Cantor criou para nós.
  • Novalis : Toda a matemática é, na verdade, uma equação para as outras ciências em grande escala.
  • Friedrich Nietzsche : Queremos levar a sutileza e o rigor da matemática a todas as ciências, na medida do possível; não na crença de que conheceremos as coisas dessa maneira, mas para determinar nossa relação humana com as coisas. A matemática é apenas o meio de conhecimento geral e definitivo da natureza humana.
  • Bertrand Russell : Matemática é a ciência da qual você não sabe do que está falando ou se o que está dizendo é verdade.
  • Friedrich Schlegel : A matemática é, por assim dizer, uma lógica sensual; ela se relaciona com a filosofia como as artes materiais, a música e a escultura, com a poesia.
  • James Joseph Sylvester : A matemática é a música da razão.
  • Ludwig Wittgenstein : A matemática é um método de lógica.

Veja também

Portal: Matemática  - Visão geral do conteúdo da Wikipedia sobre o tema da matemática

literatura

  • John D. Barrow : Um céu cheio de números - Na trilha da verdade matemática , do inglês por Anita Ehlers, Rowohlt Taschenbuch Verlag GmbH, Reinbek perto de Hamburgo 1999, ISBN 3-499-19742-1 .
  • Jürgen Brater: Curious World of Numbers , Eichborn Verlag, Frankfurt / Main 2005, ISBN 3-8218-4888-X .
  • Richard Courant , Herbert Robbins: O que é matemática? Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2000, ISBN 3-540-63777-X .
  • Georg Glaeser: A caixa de ferramentas matemáticas. Elsevier - Spektrum Akademischer Verlag, Munich, Heidelberg 2004, ISBN 3-8274-1485-7 .
  • Timothy Gowers : Matemática. Primeira edição alemã, traduzida do inglês por Jürgen Schröder, Reclam-Verlag, Stuttgart 2011, ISBN 978-3-15-018706-7 .
  • Hans Kaiser, Wilfried Nöbauer: História da Matemática. 2ª Edição. Oldenbourg, Munich 1999, ISBN 3-486-11595-2 .
  • Mario Livio : Deus é um matemático? Por que o livro da natureza foi escrito na linguagem da matemática. CH Beck Verlag, Munich 2010, ISBN 978-3-406-60595-6 .
  • Timothy Gowers (Ed.), June Barrow-Green (Ed.), Imre Leader (Ed.): The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press 2008 (Enciclopédia introdutória)

Links da web

Commons : Matemática  - coleção de imagens, vídeos e arquivos de áudio
Wikilivros: Prateleira: Matemática  - Materiais de aprendizagem e ensino
Wikilivros: Livro de Matemática  - Materiais de Aprendizagem e Ensino
Wikilivros: Matemática para não Freaks: O que é matemática?  - Materiais de aprendizagem e ensino
Wikiquote: Matemática  - Citações
Wikisource: Matemática  - Fontes e textos completos
Wikcionário: Matemática  - explicações de significados, origens de palavras, sinônimos, traduções
Portais e bancos de dados de conhecimento
Matemática escolar
Programas
História

Evidência individual

  1. ↑ Banco de dados de pronúncia austríaca.
  2. ↑ Helmut Hasse : Matemática como humanidades e meio de pensar nas ciências naturais exatas . In: Studium generale . fita 6 , 1953, pp. 392–398 ( online ( lembrança de 25 de abril de 2013 no Internet Archive )).
  3. ↑ David Hilbert: Problemas matemáticos. ( Memento de 19 de janeiro de 2012 no Internet Archive ). Palestra proferida no Congresso Internacional de Matemáticos em Paris 1900.
  4. ↑ Oliver Link: O mundo não pode ser calculado. Entrevista com Claus Peter Ortlieb, marca eins 11/2011, acessada em 1 de janeiro de 2012.
  5. ↑ Lothar Schmidt : Aforismos de A - Z. O grande manual de definições aladas . Drei Lilien Verlag, Wiesbaden 1980, p. 288-289 . (Lothar Schmidt é formado em economia e lecionou ciências políticas na Johann Wolfgang Goethe University em Frankfurt am Main .)