Processo estocástico
Um processo estocástico (também processo aleatório ) é a descrição matemática de processos aleatórios ordenados temporalmente. A teoria dos processos estocásticos representa uma extensão essencial da teoria da probabilidade e forma a base para a análise estocástica . Embora processos estocásticos simples tenham sido estudados há muito tempo, a teoria formal que é válida hoje não foi desenvolvida até o início do século 20, principalmente por Paul Lévy e Andrei Kolmogorow .
definição
Deixe ser um espaço de probabilidade , um espaço fornecido com uma σ-álgebra (principalmente os números reais com a σ-álgebra de Borel ) e um conjunto de índices , principalmente que nas aplicações frequentemente representa o conjunto dos pontos no tempo considerados. Um processo estocástico é, então, uma família de variáveis aleatórias , ou seja, um mapeamento
- ,
para que haja uma - - imagem mensurável para todos . O conjunto também é chamado de espaço de estado do processo e contém todos os valores que o processo pode assumir.
Uma formulação alternativa fornece que é uma única variável aleatória , onde é um conjunto (fornecido com uma σ-álgebra adequada) de funções . Com uma escolha adequada, essas duas definições coincidem.
A questão da existência de processos estocásticos com certas propriedades é amplamente resolvida com o teorema de Daniell-Kolmogorow e o teorema de Ionescu-Tulcea (em homenagem a Cassius Ionescu-Tulcea ).
Classificação
Abaixo estão alguns dos critérios pelos quais os processos estocásticos são classificados. Uma descrição mais detalhada pode ser encontrada na lista de processos estocásticos .
A divisão mais básica dos processos estocásticos em diferentes classes ocorre por meio do conjunto de índices e do conjunto de valores :
Conjunto de índice discreto e contínuo
- Se contáveis (por exemplo ), o processo é chamado um processo estocástico tempo-discreto ou um tanto imprecisa processo estocástico discreta
- Caso contrário, o processo é chamado de processo estocástico contínuo no tempo .
Conjunto de valores discretos e constantes
- Se finito ou contável, fala -se de processos discretos de valor .
- Se , fala-se de um processo com valor real .
Conjunto de índices multidimensionais
- Então o processo estocástico é freqüentemente chamado de campo aleatório, campo aleatório ou inglês. campo aleatório. Freqüentemente é ou , especialmente para modelos geoestatísticos .
Momentos
Além disso, os processos estocásticos são classificados analogamente a variáveis aleatórias de acordo com a existência ou não do valor esperado e da variância ou assumem valores especiais.
- Um processo estocástico com valor real é denominado integrável se se aplicar a todos .
- Um processo estocástico de valor real é chamado de quadrado integrável se se aplica a todos .
- Um processo estocástico de valor real é chamado de centrado se se aplica a todos .
Dependências estocásticas
Além disso, os processos estocásticos são classificados por meio da estrutura de suas dependências estocásticas, geralmente definidas por meio do valor esperado condicional . Essas classes incluem:
- Ensaios de Markov
- A probabilidade de entrar em um estado depende do estado em que se encontravam antes dele, mas não de todo o passado do processo. Os processos de Markov, portanto, têm uma "memória curta".
- Martingales , bem como sub e supermartingales
- Martingales modelam um jogo justo. Se você já ganhou uma determinada quantia em um determinado momento, o valor esperado para lucros futuros é exatamente essa quantia já ganha.
Outras propriedades: caminhos e incrementos
Além disso, os processos podem ser classificados da seguinte forma:
- Pode-se examinar as propriedades dos caminhos e subdividir os processos de acordo: processos com caminhos contínuos, processos com caminhos limitados, etc. Um exemplo de um processo estocástico com caminhos quase certamente contínuos é o processo de Wiener .
- Consideram-se os chamados incrementos do processo, ou seja, termos do tipo para índices . Dependendo da propriedade requerida dos incrementos, obtém-se então processos com incrementos estacionários , processos com incrementos independentes ou também processos com incrementos normalmente distribuídos. Por exemplo, os processos de Lévy são precisamente os processos estocásticos com incrementos estacionários independentes.
Caminhos
Para cada um, você obtém uma imagem . Esses mapas são chamados de caminhos do processo. Muitas vezes, em vez dos caminhos, fala-se também das trajetórias ou das realizações do processo estocástico.
Se especial e (ou um espaço topológico mais geral ), pode-se falar de propriedades de continuidade dos caminhos. A tempo- contínuo processo estocástico é chamado contínua , do lado direito contínua , do lado esquerdo contínua ou càdlàg , se todos os caminhos do processo tem a propriedade correspondente. O processo Wiener possui caminhos contínuos, dois dos quais podem ser vistos na foto dos exemplos abaixo. O processo de Poisson é um exemplo de processo de càdlàg contínuo no tempo e com valor discreto ; portanto, ele tem caminhos contínuos no lado direito onde os limões do lado esquerdo existem em todos os pontos.
Processos estocásticos versus séries temporais
Além da teoria dos processos estocásticos, existe também a disciplina matemática da análise de séries temporais , que opera em grande parte independentemente dela. Por definição, processos estocásticos e séries temporais são a mesma coisa, mas as áreas mostram diferenças: enquanto a análise de séries temporais é uma subárea das estatísticas e tenta adaptar modelos especiais (como modelos ARMA ) aos dados ordenados pelo tempo, os processos estocásticos representam A estocástica e a estrutura especial das funções aleatórias (como continuidade , diferenciabilidade , variação ou mensurabilidade em relação a certas filtragens ) estão em primeiro plano.
Exemplos
- Um exemplo simples de um processo de pontuação discreta no tempo é o passeio aleatório simétrico , ilustrado aqui por um jogo de azar: Neste ponto , um jogador inicia um jogo com um capital inicial de 10 euros, no qual ele joga uma moeda repetidamente. Com “cara” ele ganha um euro, com “coroa” ele perde um. As variáveis aleatórias para o saldo da conta após os jogos definem um processo estocástico (com uma distribuição inicial determinística ). Mais precisamente, é um ensaio de Lévy e um martingale .
- Uma classe de processos estocásticos usados de muitas maneiras são os processos gaussianos , que podem descrever muitos sistemas naturais e são usados como processos de aprendizado de máquina .
- Um importante processo estocástico da classe dos processos gaussianos é o processo de Wiener (também chamado de "movimento browniano"). Os estados individuais são normalmente distribuídos com variação linearmente crescente . O processo Wiener é usado na integração estocástica , matemática financeira e física .
- Outros exemplos: processo Bernoulli , ponte browniana , movimento browniano quebrado , cadeia de Markow , processo Ornstein-Uhlenbeck , processo Poisson , ruído branco .
Links da web
- AM Yaglom: Processo Estocástico . In: Michiel Hazewinkel (Ed.): Enciclopédia de Matemática . Springer-Verlag , Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (inglês, online ).
- Hendrik van Hess: Processos estocásticos .
literatura
- Achim Klenke: Teoria da Probabilidade . 3. Edição. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6 , doi : 10.1007 / 978-3-642-36018-3 .
- Christian Hesse : Teoria de probabilidade aplicada . 1ª edição. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2 , doi : 10.1007 / 978-3-663-01244-3 .
- David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastics . Teoria e aplicações. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6 , doi : 10.1007 / b137972 .