O lema Itō (também fórmula Itō ), em homenagem ao matemático japonês Itō Kiyoshi , é uma afirmação central na análise estocástica . Em sua forma mais simples, é uma representação integral para processos estocásticos que são funções de um processo de Wiener . Assim, corresponde à regra da cadeia ou regra de substituição do cálculo diferencial e integral clássico .
Versão para processos Wiener
Seja um processo (padrão) de Wiener e uma função duas vezes continuamente diferenciável . Então aplica
( W. t ) t ≥ 0 {\ displaystyle (W_ {t}) _ {t \ geq 0}} H : R. → R. {\ displaystyle h \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}
H ( W. t ) = H ( W. 0 ) + ∫ 0 t H ′ ( W. s ) d W. s + 1 2 ∫ 0 t H ″ ( W. s ) d s . {\ displaystyle h (W_ {t}) = h (W_ {0}) + \ int _ {0} ^ {t} h '(W_ {s}) \, {\ rm {d}} W_ {s} + {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {t} h '' (W_ {s}) \, {\ rm {d}} s \,.} A primeira integral deve ser entendida como uma integral Itō e a segunda integral como uma integral de Riemann comum (ao longo dos caminhos contínuos do integrando).
Para o processo definido por for , esta representação está em notação diferencial Y t = H ( W. t ) {\ displaystyle Y_ {t} = h (W_ {t})} t ≥ 0 {\ displaystyle t \ geq 0}
d Y t = H ′ ( W. t ) d W. t + 1 2 H ″ ( W. t ) d t . {\ displaystyle {\ rm {d}} Y_ {t} = h '(W_ {t}) \, {\ rm {d}} W_ {t} + {\ frac {1} {2}} h' ' (W_ {t}) \, {\ rm {d}} t \,.}
Versão para processos Itō
Um processo estocástico é chamado de processo Itō , se
( X t ) t ≥ 0 {\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ geq 0}}
X t = X 0 + ∫ 0 t uma s d s + ∫ 0 t b s d W. s {\ displaystyle X_ {t} = X_ {0} + \ int _ {0} ^ {t} a_ {s} \, {\ rm {d}} s + \ int _ {0} ^ {t} b_ {s } \, {\ rm {d}} W_ {s}} para dois processos estocásticos , se aplica (mais sobre isso em integração estocástica ). Em notação diferencial:
uma s {\ displaystyle a_ {s}} b s {\ displaystyle b_ {s}}
d X t = uma t d t + b t d W. t . {\ displaystyle {\ rm {d}} X_ {t} = a_ {t} \, {\ rm {d}} t + b_ {t} \, {\ rm {d}} W_ {t} \,. } Se
uma função é continuamente diferenciável uma vez no primeiro componente e duas vezes no segundo, então o processo definido por ela também é um processo Itō e se aplicaH : R. + × R. → R. {\ displaystyle h \ colon \ mathbb {R} _ {+} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}} Y t : = H ( t , X t ) {\ displaystyle Y_ {t}: = h (t, X_ {t})}
d Y t = ∂ H ∂ t ( t , X t ) d t + ∂ H ∂ x ( t , X t ) d X t + 1 2 ∂ 2 H ∂ x 2 ( t , X t ) ( d X t ) 2 = ( ∂ H ∂ x ( t , X t ) uma t + ∂ H ∂ t ( t , X t ) + 1 2 ∂ 2 H ∂ x 2 ( t , X t ) b t 2 ) d t + ∂ H ∂ x ( t , X t ) b t d W. t . {\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ rm {d}} Y_ {t} & = {\ frac {\ partial h} {\ partial t}} (t, X_ {t}) \, {\ rm { d}} t + {\ frac {\ partial h} {\ partial x}} (t, X_ {t}) \, {\ rm {d}} X_ {t} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} h} {\ partial x ^ {2}}} (t, X_ {t}) ({\ rm {d}} X_ {t}) ^ {2} \\ & = \ left ({\ frac {\ partial h} {\ partial x}} (t, X_ {t}) \, a_ {t} + {\ frac {\ partial h} {\ partial t}} (t, X_ {t}) + {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial ^ {2} h} {\ partial x ^ {2}}} (t, X_ {t}) \, b_ { t} ^ {2} \ right) {\ rm {d}} t + {\ frac {\ partial h} {\ partial x}} (t, X_ {t}) \, b_ {t} \, {\ rm {d}} W_ {t} \ ,. \ end {alinhado}}} Aqui e denotam as derivadas parciais da função de acordo com a primeira ou segunda variável. A segunda representação segue da primeira ao inserir e combinar os termos - e - .
∂ H ∂ t {\ displaystyle {\ tfrac {\ partial h} {\ partial t}}} ∂ H ∂ x {\ displaystyle {\ tfrac {\ partial h} {\ partial x}}} H {\ displaystyle h} ( d X t ) 2 = b t 2 d t {\ displaystyle ({\ rm {d}} X_ {t}) ^ {2} = b_ {t} ^ {2} \, {\ rm {d}} t} d t {\ displaystyle {\ rm {d}} t} d W. t {\ displaystyle {\ rm {d}} W_ {t}}
Versão para semimartingales
Seja um semimartingale valente e seja . Então há um semimartingale novamente e se aplica
( X t ) t ≥ 0 = ( X t 1 , ... , X t d ) t ≥ 0 {\ displaystyle (X_ {t}) _ {t \ geq 0} = (X_ {t} ^ {1}, \ dotsc, X_ {t} ^ {d}) _ {t \ geq 0}} R. d {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}} F. ∈ C. 2 ( R. d , R. ) {\ displaystyle F \ in C ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {d}, \ mathbb {R})} ( F. ( X t ) ) t ≥ 0 {\ displaystyle (F (X_ {t})) _ {t \ geq 0}}
F. ( X t ) - F. ( X 0 ) = ∑ j = 1 d ∫ 0 t ∂ F. ∂ x j ( X s - ) d X s j + 1 2 ∑ j , k = 1 d ∫ 0 t ∂ 2 F. ∂ x j ∂ x k ( X s - ) d [ X j , X k ] s c + ∑ 0 < s ≤ t ( F. ( X s ) - F. ( X s - ) - ∑ j = 1 d ∂ F. ∂ x j ( X s - ) Δ X s j ) . {\ displaystyle {\ begin {alinhados} F (X_ {t}) - F (X_ {0}) = & \ sum _ {j = 1} ^ {d} \ int _ {0} ^ {t} {\ frac {\ partial F} {\ partial x ^ {j}}} (X_ {s -}) {\ rm {d}} X_ {s} ^ {j} + {\ frac {1} {2}} \ soma _ {j, k = 1} ^ {d} \ int _ {0} ^ {t} {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial x ^ {j} \ parcial x ^ {k} }} (X_ {s -}) {\ rm {d}} [X ^ {j}, X ^ {k}] _ {s} ^ {c} \\ & {} + \ sum _ {0 <s \ leq t} \ left (F (X_ {s}) - F (X_ {s -}) - \ sum _ {j = 1} ^ {d} {\ frac {\ parcial F} {\ parcial x ^ { j}}} (X_ {s -}) \ Delta X_ {s} ^ {j} \ right). \ end {alinhado}}} Aqui está o valor limite do lado esquerdo e o processo de salto associado . Com é a covariação quadrática de frações estacionárias de componentes e designadas. Se for um semimartingale contínuo, a última soma na fórmula desaparece e se mantém .
X s - = lim você ↑ s X você {\ displaystyle \ textstyle X_ {s -} = \ lim _ {u \ uparrow s} X_ {u}} Δ X s j = X s j - X s - j {\ displaystyle \ Delta X_ {s} ^ {j} = X_ {s} ^ {j} -X_ {s -} ^ {j}} [ X j , X k ] c {\ displaystyle [X ^ {j}, X ^ {k}] ^ {c}} X j {\ displaystyle X ^ {j}} X k {\ displaystyle X ^ {k}} X {\ displaystyle X} [ X j , X k ] c = [ X j , X k ] {\ displaystyle [X ^ {j}, X ^ {k}] ^ {c} = [X ^ {j}, X ^ {k}]}
Exemplos De verdade .Y t = pecado ( W. t ) {\ displaystyle Y_ {t} = \ sin (W_ {t})} d Y t = cos ( W. t ) d W. t - 1 2 pecado ( W. t ) d t {\ displaystyle {\ rm {d}} Y_ {t} = \ cos (W_ {t}) \, {\ rm {d}} W_ {t} - {\ tfrac {1} {2}} \ sin ( W_ {t}) \, {\ rm {d}} t} S. t = S. 0 e r t - 1 2 σ 2 t + σ W. t {\ displaystyle S_ {t} = S_ {0} e ^ {rt - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} t + \ sigma W_ {t}}} uma solução para a equação diferencial estocástica de Black e Scholes
d S. t = r S. t d t + σ S. t d W. t {\ displaystyle {\ rm {d}} S_ {t} = rS_ {t} \, {\ rm {d}} t + \ sigma S_ {t} \, {\ rm {d}} W_ {t}}
é.
Para isso você escolhe , então .X t = W. t {\ displaystyle X_ {t} = W_ {t}} uma t = 0 , b t = 1 {\ displaystyle a_ {t} = 0, \; b_ {t} = 1} Então o lema produz :
H ( t , x ) = S. 0 e r t - 1 2 σ 2 t + σ x {\ displaystyle h (t, x) = S_ {0} e ^ {rt - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} t + \ sigma x}} d S. t = [ ( r - σ 2 2 + σ 2 2 ) S. 0 e r t - 1 2 σ 2 t + σ W. t ] d t + [ σ S. 0 e r t - 1 2 σ 2 t + σ W. t ] d W. t = r S. t d t + σ S. t d W. t . {\ displaystyle {\ rm {d}} S_ {t} = \ left [\ left (r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} + {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} \ right) S_ {0} e ^ {rt - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} t + \ sigma W_ {t}} \ right] {\ rm {d}} t + \ left [\ sigma S_ {0} e ^ {rt - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} t + \ sigma W_ {t}} \ right] {\ rm {d}} W_ {t} = rS_ {t} \, {\ rm {d}} t + \ sigma S_ {t} \, {\ rm {d}} W_ {t} \,.} Se for um processo Wiener dimensional e duas vezes continuamente diferenciável, então vale para( W. t ) t ≥ 0 {\ displaystyle (\ mathbf {W} _ {t}) _ {t \ geq 0}} d {\ displaystyle d} F. : R. d → R. {\ displaystyle F \ colon \ mathbb {R} ^ {d} \ to \ mathbb {R}} Y t = F. ( W. t ) {\ displaystyle Y_ {t} = F (\ mathbf {W} _ {t})}
d Y t = ∇ F. ( W. t ) T ⋅ d W. t + 1 2 Δ F. ( W. t ) d t {\ displaystyle \ mathrm {d} Y_ {t} = \ nabla F (\ mathbf {W} _ {t}) ^ {\ mathsf {T}} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {W} _ {t } + {\ frac {1} {2}} \ Delta F (\ mathbf {W} _ {t}) \, \ mathrm {d} t} onde denotam o gradiente e o operador Laplace de .∇ F. {\ displaystyle \ nabla F} Δ F. {\ displaystyle \ Delta F} F. {\ displaystyle F}
literatura Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations (2ª edição), Springer, 2004, ISBN 3-540-00313-4 . Evidência individual
^ Hui-Hsiung Kuo: Introdução à Integração Estocástica. Springer, 2006, ISBN 978-0387-28720-1 , p. 103 ( visualização limitada na pesquisa de livros do Google).
<img src="https://de.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![{\ displaystyle {\ begin {alinhados} F (X_ {t}) - F (X_ {0}) = & \ sum _ {j = 1} ^ {d} \ int _ {0} ^ {t} {\ frac {\ partial F} {\ partial x ^ {j}}} (X_ {s -}) {\ rm {d}} X_ {s} ^ {j} + {\ frac {1} {2}} \ soma _ {j, k = 1} ^ {d} \ int _ {0} ^ {t} {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial x ^ {j} \ parcial x ^ {k} }} (X_ {s -}) {\ rm {d}} [X ^ {j}, X ^ {k}] _ {s} ^ {c} \\ & {} + \ sum _ {0 <s \ leq t} \ left (F (X_ {s}) - F (X_ {s -}) - \ sum _ {j = 1} ^ {d} {\ frac {\ parcial F} {\ parcial x ^ { j}}} (X_ {s -}) \ Delta X_ {s} ^ {j} \ right). \ end {alinhado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0275f08aa1d8aa2ef83179a3318a8050270eca55)
![{\ displaystyle [X ^ {j}, X ^ {k}] ^ {c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb3280b1de91dcf4fb6073f0b969d122c09a4a5)
![{\ displaystyle [X ^ {j}, X ^ {k}] ^ {c} = [X ^ {j}, X ^ {k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a43b9f05a2932d1e7c431e8037ff81d6088d25)
![{\ displaystyle {\ rm {d}} S_ {t} = \ left [\ left (r - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} + {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} \ right) S_ {0} e ^ {rt - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} t + \ sigma W_ {t}} \ right] {\ rm {d}} t + \ left [\ sigma S_ {0} e ^ {rt - {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2} t + \ sigma W_ {t}} \ right] {\ rm {d}} W_ {t} = rS_ {t} \, {\ rm {d}} t + \ sigma S_ {t} \, {\ rm {d}} W_ {t} \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4361106c796478db21b77b0f13fbab02bf7939a)
