Integração estocástica

A teoria da integração estocástica lida com integrais e equações diferenciais em estocástica . Ele generaliza os termos integrais de Henri Léon Lebesgue e Thomas Jean Stieltjes para um conjunto mais amplo de integradores . Existem processos estocásticos com variação infinita , principalmente o processo Wiener , aprovado como integrador. A teoria da integração estocástica representa a base da análise estocástica , cujas aplicações estão principalmente preocupadas com a investigação de equações diferenciais estocásticas .

Termos integrais após Itō e Stratonowitsch

Sejam dois (não necessariamente independentes ) processos estocásticos de valor real em um espaço de probabilidade comum . A integral de Itō (após Itō Kiyoshi ) de até o intervalo é o nome dado à variável aleatória${\ displaystyle (X_ {t}), (Y_ {t}), t \ in [a, b]}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle [a, b]}$

${\ displaystyle I: = \ int _ {a} ^ {b} X_ {t -} \, \ mathrm {d} Y_ {t}: = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {a + (i-1) h} (Y_ {a + ih} -Y_ {a + (i-1) h}), \ quad h = {\ frac {ba} {n}} .}$

O correspondente integrante Stratonowitsch (após Ruslan Leontjewitsch Stratonowitsch ) é calculado para a mesma escolha de quanto ${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle S: = \ int _ {a} ^ {b} X_ {t} \ circ \ mathrm {d} Y_ {t}: = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {i = 1 } ^ {n} {\ frac {1} {2}} (X_ {a + (i-1) h} + X_ {a + ih}) (Y_ {a + ih} -Y_ {a + (i-1) H}).}$

Com o integral Itō, o integrando é sempre avaliado no início do intervalo, com Stratonowitsch os valores inicial e final são calculados. No caso de integrais ordinárias ( Riemann ou Lebesgue ) de funções determinísticas (não aleatórias) e suficientemente suaves (por exemplo contínuas ), isso não tem influência no resultado, mas no caso estocástico aplica-se o seguinte: Se e não forem independentes, isso pode realmente levar a valores diferentes chumbo (veja o exemplo abaixo). ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Como classe de integradores possíveis , os semimartingais são admitidos na formulação mais geral , os integrandos são processos previsíveis . ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

Um movimento browniano e a integral de${\ displaystyle B_ {s}}$${\ displaystyle B_ {s} \, \ mathrm {d} B_ {s}}$

exemplo

Seja um processo Wiener (padrão) . A integral Itō deve ser calculada . Por uma questão de brevidade, escreva e use a identidade ${\ displaystyle (W_ {t}), t> 0}$${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {T} W_ {t} \, \ mathrm {d} W_ {t}}$${\ displaystyle B_ {i}: = W_ {iT / n}, \ Delta B_ {i}: = B_ {i + 1} -B_ {i}}$

${\ displaystyle B_ {i + 1} ^ {2} -B_ {i} ^ {2} = (B_ {i + 1} -B_ {i}) ^ {2} + 2B_ {i} (B_ {i + 1} -B_ {i}),}$

então se obtém da regra de integração acima

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} I & = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} B_ {i} (B_ {i + 1} -B_ {i }) \\ & = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (B_ {i + 1} ^ {2} -B_ {i} ^ {2}) - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (B_ {i + 1} -B_ {i }) ^ {2} \ right) \\ & = {\ frac {1} {2}} \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} (B_ { i + 1} ^ {2} -B_ {i} ^ {2}) - {\ frac {1} {2}} \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {i = 0} ^ {n -1} (\ Delta B_ {i}) ^ {2} \\ & = {\ frac {1} {2}} \ lim _ {n \ a \ infty} \ left (B_ {n} ^ {2} -B_ {0} ^ {2} \ right) - {\ frac {T} {2}} \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 0 } ^ {n-1} \ left ({\ sqrt {\ frac {n} {T}}} \ Delta B_ {i} \ right) ^ {2}. \ end {alinhado}}}$

Se usarmos, por um lado, que ele possui e, por outro lado, a propriedade de que iid é distribuída (por causa dos aumentos independentes e normalmente distribuídos do movimento browniano), então segue a lei dos grandes números para o limite inferior ${\ displaystyle B_ {0} = W_ {0} = 0, B_ {n} = W_ {T}}$${\ displaystyle \ left ({\ sqrt {\ frac {n} {T}}} \ Delta B_ {i} \ right) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2}}$

${\ displaystyle I = {\ frac {1} {2}} W_ {T} ^ {2} - {\ frac {T} {2}}.}$

Para calcular a integral de Stratonowitsch correspondente, usa-se a continuidade do movimento browniano:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} S & = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} {\ frac {1} {2}} (B_ {i + 1} + B_ {i}) (B_ {i + 1} -B_ {i}) \\ & = \ lim _ {n \ a \ infty} \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} { \ frac {1} {2}} (B_ {i + 1} ^ {2} -B_ {i} ^ {2}) \\ & = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {2}} (B_ {n} ^ {2} -B_ {0} ^ {2}) \\ & = {\ frac {1} {2}} W_ {T} ^ {2} \ end {alinhado} }}$

A integral de Itō e de Stratonowitsch sobre o mesmo processo, portanto, leva a resultados diferentes, em que a integral de Stratonowitsch corresponde mais à premonição intuitiva do cálculo integral usual (determinístico).

Propriedade Martingale

De longe, o integrador mais comumente usado é o movimento browniano. A vantagem decisiva que a integral de Stratonowitsch não tem e que, por fim, levou à integral de Itō se tornando amplamente aceita como o padrão é a seguinte propriedade: ${\ displaystyle Y}$

Seja um processo de Lévy de expectativa constante , uma função limitada não antecipatória de e (ou seja, para cada um é mensurável em relação à σ-álgebra gerada pelas variáveis ​​aleatórias ), então o processo é ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t> 0}$${\ displaystyle X_ {t}}$ ${\ displaystyle \ sigma (Y_ {s}; s <t)}$${\ displaystyle Y_ {s}, \, s <t}$

${\ displaystyle t \ mapsto \ int _ {0} ^ {t} X_ {s} \, \ mathrm {d} Y_ {s}}$

um martingale local sobre a filtração natural de . O processo integral é até mesmo um martingale com restrições adicionais .${\ displaystyle Y}$

Aplicação: processo Itō

A partir do termo integral Itōschen, agora é possível definir uma ampla classe de processos estocásticos: Assim, um processo estocástico com processo Ito chamado quando há um movimento browniano com e processos estocásticos , estão com ${\ displaystyle (X_ {t})}$${\ displaystyle t \ geq 0}$ ${\ displaystyle (W_ {t})}$${\ displaystyle t \ geq 0}$${\ displaystyle (a_ {t} (X_ {t}, t))}$${\ displaystyle (b_ {t} (X_ {t}, t))}$

${\ displaystyle X_ {t} = X_ {0} + \ int _ {0} ^ {t} a_ {s} (X_ {s}, s) \, \ mathrm {d} s + \ int _ {0} ^ {t} b_ {s} (X_ {s}, s) \, \ mathrm {d} W_ {s} \ ,,}$

onde é assumido que as duas integrais existem. Em notação diferencial , esta equação é chamada

${\ displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = a_ {t} (X_ {t}, t) \, \ mathrm {d} t + b_ {t} (X_ {t}, t) \, \ mathrm {d} W_ {t}}$

escrito. Um processo Itō pode, portanto, ser visto como um processo Wiener generalizado com deriva e volatilidade aleatórias.

O predicado “ é um processo Itō” torna-se assim uma contrapartida estocástica do conceito de diferenciabilidade . Com base nisso, o próprio Itō definiu as primeiras equações diferenciais estocásticas . ${\ displaystyle X}$

Se o coeficiente de deriva e o coeficiente de difusão não dependem do tempo, fala-se de difusão de Itō - se também dependem do tempo, então há um processo Itō mais geral. ${\ displaystyle a_ {t}}$${\ displaystyle b_ {t}}$

Através de inúmeras aplicações em modelagem matemática, especialmente em física estatística e matemática financeira , o cálculo Itō agora se tornou uma ferramenta matemática indispensável.

Veja também

• Integral estocástico discreto

literatura

• J. Jacod, A. Shiryaev: Limit teoremas para processos estocásticos . Springer, Berlim.
• P. Protter: Integrais estocásticos e equações diferenciais . Springer, Berlim.

Evidência individual

1. ^ Hui-Hsiung Kuo: Introdução à Integração Estocástica. Springer, 2006, ISBN 978-0387-28720-1 , p. 102 ( visualização limitada na pesquisa de livros do Google).