Tira de Möbius

Tira de Möbius feita de papel

Faixa de Möbius em granito: escultura em loop infinito de Max Bill em granito Tranas ; Stadtgarten Essen (na Hohenzollernstrasse)

A faixa de Möbius , a alça de Möbius ou a faixa de Möbius'sches descrevem uma superfície que tem apenas uma borda e um lado. Não é orientável , isto é, não se pode distinguir entre abaixo e acima ou entre dentro e fora.

A faixa de Möbius foi descrita independentemente em 1858 pelo matemático e físico de Göttingen Johann Benedict Listing e pelo matemático e astrônomo de Leipzig, August Ferdinand Möbius .

Descrição

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Bolas na borda de uma tira de Möbius trocam de lado

Uma tira de Möbius é fácil de fazer colando uma longa tira de papel com as duas pontas juntas em um anel, mas torcendo uma das pontas em 180 ° antes de colar. Essas faixas de Möbius têm uma linha central que não pode ocupar um círculo - a menos que a faixa seja esticada localmente. A forma que tal faixa pode assumir não esticada é completamente descrita pelo curso da linha central. As tiras de Möbius, cuja linha central é um círculo mesmo no estado relaxado, não podem ser feitas de uma tira de papel bidimensional reta - elas têm subelementos de forma irregular ao longo de sua circunferência, a partir dos quais podem ser considerados como sendo montado.

As tiras de Möbius são quirais .

A faixa de Möbius se funde em si mesma de tal forma que, se você começar a colorir a superfície em um dos aparentemente dois lados, terá colorido o objeto inteiro no final.

Faixa de Möbius com fenda uma vez

Faixa de Möbius com fenda duas vezes

Outros efeitos interessantes surgem se você desenhar uma linha central ou duas linhas paralelas à linha central na fita e cortar a fita ao longo desta (s) linha (s), ou seja, ela parece estar dividida pela metade ou terços. No primeiro caso, isto é, ao cortar ao longo da linha central, é criado um anel duplo torcido (torcido em 720 °) com dois lados e duas bordas. No segundo caso, um anel de dupla torção é criado a partir dos terços externos, como no primeiro caso, o terço médio resulta em uma nova tira de Möbius pendurada nele. Este jogo pode continuar com qualquer número de pequenas divisões: se você “dividir” a fita, obterá duas fitas duplamente torcidas que não apenas ficam penduradas juntas, mas também são enroladas uma na outra com mais frequência; Se você a “quinta”, o resultado é a mesma figura com uma faixa interna de Möbius adicional que fica pendurada nos dois anéis; Se você “sexta” a banda, obterá dois anéis, que são enrolados um ao redor do outro duas vezes e são enrolados duas vezes por outro anel, o externo e os dois anéis internos sendo intercambiáveis ​​conforme necessário; Se você "o ​​sétimo" novamente, uma faixa de Möbius é adicionada, que fica pendurada nos três anéis, etc. Se o denominador da fração em que a faixa está aparentemente dividida for direto , então você obtém anéis; se for estranho, uma tira de Möbius também é enrolada nos anéis. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 2r}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 2r + 1}$

Do ponto de vista matemático, a faixa de Möbius é uma variedade não orientável . Outra área que se enquadra nesta categoria é a garrafa de Klein ; uma garrafa de Klein pode ser dividida em duas partes para que duas tiras de Möbius sejam criadas a partir dela.

Na natureza

• Partículas carregadas presas no campo magnético da Terra podem se mover em uma faixa de Möbius.
• A proteína cíclica Kalata B1, ingrediente ativo da planta Oldenlandia. O. affinis , como um remédio natural z. B. para indução do parto, tem uma topologia Möbius.

Na arte e na literatura

Esquema de cores Möbius como uma modificação do conjunto de quatro cores

Lenço Möbius

Escultura de Möbius - tiras de Möbius, cada uma com a espessura de sua largura, seção transversal quadrada, torção de 180 °.

Logotipo da Presidência Alemã do Conselho da UE 2020

Existem representações famosas da tira de Möbius na arte . B. por M. C. Escher (Möbius volumes I e II, 1963) e mais recentemente por Gideon Möbius-Sherman . O longa-metragem argentino Moebius também trata do assunto. A tira de Möbius também é discutida na literatura: A estrutura da série de contos de John Barth Lost in the Funhouse (Eng. "Ambrose im Juxhaus") é baseada no princípio do infinito ou da repetição (por exemplo, centro ausente) da tira de Möbius. Uma tira de Möbius também é fornecida com o livro, que reflete abordagens literárias pós-modernas (“frame-tale”). Está rotulado: "Era uma vez uma história que começou uma vez ...". Essa forma de autorreferência é típica dos chamados loops estranhos . Em seu poema Topologik , o letrista Erich Fried se refere à tira de Möbius: “Eu criei um coração de Möbius que se corta em tiras desesperadas.” A partir da década de 1930, Max Bill criou inúmeras esculturas que correspondem às representações visuais da tira de Möbius : z. B. Infinite Loop (1935/37), Continuity (Lake Zurich; 1947, destruído em 1948) ou Infinite Loop (Stadtgarten Essen, na Hohenzollernstrasse; 1974). No entanto, sua escultura Continuity (1986) não representa uma tira de Möbius, ao contrário da crença popular.

O logotipo desenhado para a presidência de seis meses do Conselho da União Europeia pela Alemanha em 1º de julho de 2020, mostra uma tira de Möbius e simboliza uma "Europa integradora e inovadora na qual as pessoas e os interesses mais diversos se unem para formar um todo comum" , conforme declaração da empresa ao governo federal no âmbito da apresentação.

A tira de Möbius também desempenha um papel importante na série de romances Necroscope do escritor inglês Brian Lumley , que existe desde 1986 . É o símbolo de alguns personagens, mas especialmente importante para o personagem principal Harry Keogh. Ele aprende a capacidade de viajar no tempo com a ajuda do chamado continuum de Möbius, que se comporta de forma semelhante à faixa de Möbius.

A tira de Möbius também é um tema na série Perry-Rhodan e aqui forma a descrição do modelo tridimensional para os dois lados do universo -dimensional (arresum e paresum). ${\ displaystyle n}$

Lars Gustafsson desenvolve ainda mais a tira de Möbius em seu romance Os Belos Braços Brancos de Frau Sorgedahl em uma garrafa de tempo Möbius na qual estamos presos. Fora da nossa vida não há nada.

Na série de mangá Angel Sanctuary , o destino do anjo supremo Alexiel e o renascimento constante de sua alma em corpos humanos, para os quais um destino cruel e sangrento está predeterminado, é comparado a um loop de Möbius.

Em 2011, publicado no romance de língua alemã O Mapa e o Território de Michel Houellebecq , uma tira de Moebius está gravada na lápide do personagem fictício Michel Houellebecq.

Em 2011, o estudante de robótica Aaron Hoover, da Universidade da Califórnia, Berkeley, criou uma caixa de engrenagens Möbius como um artifício técnico usando impressão 3D .

O xadrez Möbius é uma variante do xadrez cilíndrico , no qual também se pensa em torcer o campo de jogo ao "conectar" os lados longos.

No videogame Mario Kart 8 , a pista de corrida de Marios Piste representa uma tira de Möbius. O 8 no logotipo também mostra uma tira de Möbius.

Os lenços Möbius também foram desenhados na moda.

Na peça Solaris baseada em Stanislaw Lem de Bettina Bruinier e Katja Friedrich no Münchner Volkstheater (2011), uma tira de Möbius na qual um carro modelo é dirigido é uma parte importante da produção (cenografia: Markus Karner).

Os logotipos do Commerzbank e do comércio alemão de limpeza de edifícios mostram uma tira de Möbius.

A GDR Avantgarde Band AG. Geige dedicou uma música à banda Möbius no álbum Trickbeat de 1989 .

Em tecnologia

mecânica

• A correia de uma correia pode ser projetada como uma correia Möbius. Em caixas de engrenagens com polias com eixos paralelos, é mais fácil puxar e soltar a correia. A transposição de 180 ° deve então ficar na vertente vazia , podendo ser guiada no centro longitudinal da correia suavemente com dois rolos em sua posição lateral. Como resultado dessa torção, as zonas próximas à borda da correia são esticadas um pouco mais. Se a vibração mudar, “ambos os lados da correia” entram em contato e o material da correia é curvo em uma direção durante uma revolução e na direção oposta durante a próxima.

Eletrônicos de consumo

• No caso do Tefifon , a fita de som digitalizada por uma agulha de captação poderia ser projetada como uma fita Möbius, mas isso se provou impraticável.

Engenharia elétrica

• O circuito analógico de uma faixa de Möbius é um contador de anéis com uma inversão ( contador de Johnson ): uma sequência de bits atinge o estado inicial após dois ciclos, de modo que as células de memória podem ser usadas para contar até; Contagem de pulsos em rápida sucessão.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2n}$
• Como um ressonador compacto com a frequência de ressonância da metade das bobinas lineares idênticas.
• Como um resistor livre de indução, também conhecido como resistor Möbius .

física

• Como supercondutor com alta temperatura de transição.
• O stellarator é um tipo de reator de fusão nuclear no qual o plasma é levado para um caminho em forma de Moebius por meio de bobinas de campo de formato apropriado.

química

• Como "moléculas de nó" com propriedades especiais ( knotanes , quiralidade ).

nanotecnologia

• Como motores moleculares.
• Como uma fita de grafeno (nano-grafite) com novas propriedades eletrônicas, como magnetismo helicoidal.

Em matemática

Representação paramétrica

Trama de uma tira de Möbius

Vistas 3D de um
caracol Möbius

A tira de Möbius pode ser desenhada como uma superfície usando a seguinte representação de parâmetro :

${\ displaystyle x (r, \ alpha) = \ cos (\ alpha) \ cdot \ left (1 + {\ frac {r} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} \ right) }$

${\ displaystyle y (r, \ alpha) = \ sin (\ alpha) \ cdot \ left (1 + {\ frac {r} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} \ right) }$

${\ displaystyle z (r, \ alpha) = {\ frac {r} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha} {2}}}$

com e . Isto cria uma fita de Moebius com uma largura de 1, a linha de centro do qual coincide com o círculo unitário do plano xy . O canto tem seu ápice no centro; à medida que muda, a variação de leva à superfície que se estende entre a única aresta. Como pode ser facilmente visto na foto à direita, não se trata de uma tira de Möbius feita a partir de uma tira de papel - na parte horizontal os subelementos lembram trapézios simétricos . ${\ displaystyle 0 \ leq \ alpha <2 \ pi}$${\ displaystyle -1 \ leq r \ leq 1}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle r}$

Com a ajuda de coordenadas cilíndricas , a tira de Möbius pode passar ${\ displaystyle (r, \ theta, z)}$

${\ displaystyle \ log (r) \ cdot \ sin (\ theta / 2) = z \ cdot \ cos (\ theta / 2)}$

a ser descrito.

topologia

Tira de Möbius como espaço quociente

A topologia oferece uma maneira matemática de produzir uma tira de Möbius colando as pontas de uma tira de papel em direções opostas. Nela, uma tira de Möbius é como espaço quociente do quadrado definido, onde se encontram dois lados opostos pela relação de equivalência para cada um deles identificado . O diagrama à direita ilustra isso. ${\ displaystyle (x, y) \ in [0,1] \ times [0,1]}$ ${\ displaystyle (0, y) \ sim (1,1-y)}$${\ displaystyle 0 \ leq y \ leq 1}$

A faixa de Möbius é uma variedade topológica compacta de dimensão 2.

geometria

Na área da geometria diferencial , uma faixa de Möbius é entendida como uma superfície não orientável com um orifício . Ele pode ser incorporado no. A fita é o exemplo padrão de uma superfície não orientável. A tira de Möbius permite uma estrutura diferenciável . No entanto, não é uma superfície Riemanniana , uma vez que superfícies não orientáveis ​​não permitem estruturas complexas .${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

O modelo de papel da tira de Möbius discutido na primeira seção pode ser desenvolvido no plano . Portanto, a curvatura gaussiana de tais faixas de Möbius desaparece . Conforme mostrado na seção sobre a parametrização de uma faixa de Möbius, também existem faixas de Möbius que não podem ser desenvolvidas no plano. Assim, de acordo com o theorema egregium, nem todas as tiras de Möbius são isomorficamente isomórficas entre si .

Cálculo de variações

Novas descobertas sobre a descrição matemática de uma tira de Möbius foram publicadas em 2007 pelos cientistas EL Starostin e GHM van der Heijden . Em particular, eles calcularam matematicamente a forma que uma tira de Möbius feita de uma tira se esforça para adotar por si mesma a fim de assumir o estado de menor energia.

literatura

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Links da web

• Eric W. Weisstein : Moebius Strip . In: MathWorld (inglês).
• Tira de Möbius - uma página da web com filmes (inglês).
• Amarre a tira de Möbius (PDF; 271 kB; Inglês).
• Logotipo da Presidência do Conselho da UE da Alemanha em 2020 - "um forte vínculo para uma Europa unida"

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