Superfície de Riemann

Uma superfície de Riemann é uma variedade complexa unidimensional na subárea matemática da teoria da função (análise complexa) . As superfícies de Riemann são os objetos geométricos mais simples que possuem a estrutura de números complexos localmente . Eles são nomeados após o matemático Bernhard Riemann . A investigação das superfícies de Riemann cai no campo matemático da teoria das funções e depende amplamente de métodos de topologia algébrica e geometria algébrica .

Área de Riemann do logaritmo complexo . As folhas surgem devido à ambigüidade, i. H. porque a função exponencial complexa não é injetiva .

Historicamente, a superfície de Riemann é a resposta ao fato de que as funções holomórficas nem sempre têm continuações inequívocas. Por exemplo, o ramo principal do logaritmo complexo (que é definido em uma vizinhança de ) recebe o argumento adicional ao continuar ao longo de um círculo orientado positivamente em torno de 0 . ${\ displaystyle z = 1}$${\ displaystyle 2 \ pi \ mathrm {i}}$

história

A teoria das superfícies de Riemann surgiu do fato de que diferentes valores de função podem surgir na continuação analítica de funções holomórficas ao longo de caminhos diferentes, como é o caso, por exemplo, do logaritmo complexo. Para obter continuações inequívocas novamente, o domínio de definição foi substituído por uma área de múltiplas folhas que tinha tantas folhas quantas fossem as possibilidades de continuar a função. A continuação analítica é clara novamente em tal superfície sobreposta . Bernhard Riemann inicialmente explicou as áreas com seu nome como segue: Vários (possivelmente infinitamente muitos) níveis de números complexos são sobrepostos, fornecidos com certos cortes (por exemplo, retos) e então colados ao longo desses cortes. Essa ideia vívida foi muito frutífera no início, embora tenha sido criticada como inexata. A definição de hoje vem de Hermann Weyl . Em seu livro The Idea of ​​the Riemann Surface (1913), ele definiu o que é agora o conceito fundamental de variedade (real ou complexa) . Se Riemann estava preocupado com a continuação analítica de uma função concretamente dada, então, com a definição abstrata de uma superfície de Riemann por Weyl, surge a questão de saber se funções complexas existem em tal variedade. O teorema de mapeamento de Riemann e o teorema de Riemann-Roch fornecem uma resposta.

definição

Uma superfície de Riemann é uma variedade complexa de dimensão um. ${\ displaystyle X}$

Isso significa que é uma sala Hausdorff equipada com uma estrutura complexa . (O segundo axioma da contabilidade , que de outra forma é exigido na definição de variedades complexas, não precisa ser assumido na definição das superfícies de Riemann porque, de acordo com o teorema de Radó, já decorre das outras propriedades.) ${\ displaystyle X}$

Muitos autores também exigem que as superfícies de Riemann sejam contíguas .

Curva complexa

Cada superfície compacta de Riemann é biolomórfica em uma variedade projetiva lisa e complexa de dimensão um. Na geometria algébrica , uma superfície de Riemann é, portanto, também chamada de curva complexa suave .

Exemplos

A bola numérica de Riemann

• O plano complexo é a superfície Riemanniana mais simples. A figura idêntica define um mapa para todo , portanto o conjunto é um atlas para .${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f (z) = z}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ {f \}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Um toro

• Cada área também é uma área Riemanniana. Aqui também está a ilustração idêntica, um mapa de toda a área. De modo mais geral, todo subconjunto aberto de uma superfície de Riemann é novamente uma superfície de Riemann.${\ displaystyle G \ subset \ mathbb {C}}$

• A bola numérica de Riemann é uma superfície compacta de Riemann. Às vezes também é referido como uma linha reta projetiva complexa ou curta .${\ displaystyle \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} P ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {1}}$

• A superfície do toro para uma rede na qual as funções elípticas são explicadas é uma superfície compacta de Riemann.${\ displaystyle \ mathbb {C} / \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$

Teoria das superfícies de Riemann

Devido à estrutura complexa da superfície de Riemann, é possível definir imagens holomórficas e meromórficas nas e entre as superfícies de Riemann. Muitos dos teoremas da teoria das funções no nível complexo sobre funções holomórficas e meromórficas podem ser generalizados para superfícies de Riemann. Desta forma, o teorema da taxa Riemanniana , o teorema da identidade e o princípio do máximo podem ser transferidos para as superfícies Riemannianas. No entanto, deve-se afirmar que as funções holomórficas não são particularmente ricas, especialmente em superfícies compactas de Riemann. Precisamente isso significa que uma função holomórfica deve ser sempre constante em uma superfície compacta e coerente . Uma superfície de Riemann compacta e coerente não é, portanto, holomorficamente separável , apenas as funções holomórficas constantes existem nela. (Essas declarações se aplicam a superfícies de Riemann compactas e desarticuladas se constante for substituída por localmente constante .) O teorema integral de Cauchy e a fórmula integral de Cauchy , dois teoremas centrais da teoria funcional do plano complexo, não podem ser provados analogamente em superfícies de Riemann. Em variedades diferenciáveis em geral e em superfícies Riemannianas em particular, a integração deve ser explicada com a ajuda de formas diferenciais de forma que seja independente da escolha do mapa. No entanto, o teorema de Stokes, que é central para a teoria da integração, existe . Com sua ajuda pode-se provar o teorema residual , que segue da fórmula integral de Cauchy no plano complexo, também para superfícies de Riemann. ${\ displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle X}$

Além das sentenças de continuação, as afirmações sobre as posições zero e polares são de interesse particular na teoria das superfícies de Riemann . Uma prova simples para o teorema fundamental da álgebra já poderia ser encontrada na teoria das funções do plano complexo com a ajuda do teorema de Liouville . Na teoria das superfícies de Riemann, por exemplo, obtém-se o seguinte teorema relativamente simples. Sejam e superfícies Riemannianas e um mapeamento holomórfico atual e não constante. Então, há um número natural , de modo que todo valor é calculado com uma multiplicidade de vezes. Uma vez que funções meromórficas podem ser entendidas como mapeamentos holomórficos , onde a esfera numérica de Riemann denota, segue-se que toda função meromórfica não constante tem tantos zeros quanto pólos em uma superfície de Riemann compacta . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f \ dois pontos X \ a Y}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle c \ in Y}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {P} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {1}}$${\ displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {C}}$

literatura

• Otto Forster : superfícies de Riemann. (= Heidelberg Pocket Books 184). Springer, Berlin et al., 1977, ISBN 3-540-08034-1 .
  • Inglês: Palestras sobre as Superfícies de Riemann. (= Textos de Graduação em Matemática 81). 2ª impressão corrigida. Springer, Berlin et al., 1991, ISBN 3-540-90617-7 .
• Athanase Papadopoulos (Ed.): Manual da teoria de Teichmüller. Vol. I, European Mathematical Society (EMS), Zurich 2007, ISBN 978-3-03719-029-6 , doi : 10.4171 / 029 . (IRMA Aulas de Matemática e Física Teórica 11)
• Athanase Papadopoulos (Ed.): Manual da teoria de Teichmüller. Vol. II, European Mathematical Society (EMS), Zurich 2009, ISBN 978-3-03719-055-5 , doi : 10.4171 / 055 . (IRMA Aulas de Matemática e Física Teórica 13)
• Athanase Papadopoulos (Ed.): Manual da teoria de Teichmüller. Vol. III, European Mathematical Society (EMS), Zurique 2012, ISBN 978-3-03719-103-3 , doi : 10.4171 / 103. (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 19)