Limitação

Na mecânica analítica, uma restrição é uma restrição da liberdade de movimento de um sistema de um ou vários corpos , em outras palavras, uma restrição de movimento. Isso reduz o número de graus de liberdade de um sistema. Se muitas restrições forem colocadas, pode acontecer que nenhuma solução matemática exista. Então, o problema pode também não ser fisicamente solucionável, de modo que, por exemplo, um objeto está defeituoso, ou a solubilidade física é dada pela criação de tensões mecânicas no objeto.

Sistemas com restrições podem ser particularmente bem descritos por

• a formulação Lagrangiana da mecânica clássica
• a formulação hamiltoniana da mecânica clássica
• o princípio D'Alembert
• o princípio do desempenho virtual .

Distinção

Com relação à integrabilidade

A seguir, um sistema de partículas em 3  dimensões espaciais é sempre considerado. Sem restrições, seriam necessárias 3 coordenadas espaciais para o vetor de posição de cada partícula, portanto, um total de coordenadas espaciais para descrever todo o sistema. Essas coordenadas são numeradas consecutivamente: ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle 3N}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {l} {\ vec {r}} _ {1} = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \\ {\ vec {r}} _ {2} = (x_ {4}, x_ {5}, x_ {6}) \\\ vdots \\ {\ vec {r}} _ {N} = (x_ {3N-2}, x_ {3N- 1}, x_ {3N}) \ end {array}}}$

Restrições holonômicas

Holônomos restrições podem ser formulados como equações entre as coordenadas do sistema ( : número de constrangimentos holônomos): ${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle f_ {l} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {3N}, t) = 0 \ quad \ mathrm {with} \; l = 1, \ ldots, s}$

As coordenadas podem ser reduzidas a coordenadas generalizadas independentes com restrições holonômicas independentes , que devem cumprir automaticamente as restrições: ${\ displaystyle 3N}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle n = 3N-s}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$

${\ displaystyle x_ {i} = x_ {i} (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n}, t) \ quad \ mathrm {with} \; i = 1, \ ldots, 3N \; \ mathrm {e} \; n = 3N-s}$

${\ displaystyle \ Rightarrow f_ {l} (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n}, t) = 0 \ quad \ mathrm {with} \; l = 1, \ ldots, s \ ; \ mathrm {e} \; n = 3N-s}$

Restrições holonômicas podem ser representadas com o diferencial completo de uma função:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial f_ {l}} {\ partial x_ {1}}} \ mathrm {d} x_ {1} + {\ frac {\ partial f_ {l}} {\ parcial x_ {2}}} \ mathrm {d} x_ {2} + \ ldots + {\ frac {\ parcial f_ {l}} {\ parcial x_ {3N}}} \ mathrm {d} x_ {3N } + {\ frac {\ parcial f_ {l}} {\ parcial t}} \ mathrm {d} t & = 0 \\\ Leftrightarrow a_ {l1} \ cdot \ mathrm {d} x_ {1} + a_ { l2} \ cdot \ mathrm {d} x_ {2} + \ ldots + a_ {l, 3N} \ cdot \ mathrm {d} x_ {3N} + a_ {lt} \ cdot \ mathrm {d} t & = 0 \ end {alinhado}}}$

e, portanto, integrável.

Porque é necessário para a integrabilidade que as funções de coeficiente cumpram a seguinte condição de integrabilidade : ${\ displaystyle a_ {li}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {\ partial a_ {li}} {\ partial x_ {k}}} & = {\ frac {\ partial a_ {lk}} {\ partial x_ {i}} } \\\ Leftrightarrow {\ frac {\ parcial ^ {2} f_ {l}} {\ parcial x_ {i} \ cdot \ parcial x_ {k}}} & = {\ frac {\ parcial ^ {2} f_ {l}} {\ parcial x_ {k} \ cdot \ parcial x_ {i}}} \ quad \ quad i, k \ in \ {1, \ ldots, 3N \}, \ end {alinhado}}}$

que é dado automaticamente para condições holonômicas ( duas vezes continuamente diferenciável , veja o teorema de Schwarz ). ${\ displaystyle f_ {l}}$

O diferencial completo se resume ao fato de que cada restrição holonômica pode ser representada como uma equação das velocidades:

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {5} & a_ {l1} \ cdot \ mathrm {d} x_ {1} && + a_ {l2} \ cdot \ mathrm {d} x_ {2} + \ ldots &&& + a_ {1,3N} \ cdot \ mathrm {d} x_ {3N} &&&& + a_ {lt} \ cdot \ mathrm {d} t &&&&& = 0 \\\ Leftrightarrow & a_ {l1} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} x_ {1}} {\ mathrm {d} t}} && + a_ {l2} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} x_ {2}} {\ mathrm {d} t}} + \ ldots &&& + a_ {l, 3N} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} x_ {3N}} {\ mathrm {d} t}} &&&& + a_ {lt} &&&&& = 0 \ end {alignat}} }$

Restrições anolonômicas

Restrições não holonômicas ou anholonômicas não podem ser formuladas como equações entre as coordenadas. As coordenadas generalizadas que aparecem em tais restrições anholonômicas são i. A. não pode ser variado independentemente um do outro.

É z. B. às desigualdades , como restrições em uma determinada área do espaço:

${\ displaystyle \, f (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {n}, t)> 0}$

ou sobre restrições diferenciais não integráveis, como equações entre as velocidades (por exemplo, para restrições anholonômicas): ${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ sum _ {i} a_ {li} \ cdot \ mathrm {d} q_ {i} + a_ {lt} \ cdot \ mathrm {d} t = 0 \, \ quad l = 1, \ ldots, r}$

Não integrável significa que a equação - ao contrário das restrições holonômicas - não pode ser representada como um diferencial completo de uma função. Assim, a condição de integrabilidade não é cumprida pelas funções de coeficiente:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial a_ {li}} {\ partial q_ {k}}} \ neq {\ frac {\ partial a_ {lk}} {\ partial q_ {i}}} \ quad \ quad i , k \ in \ {1, \ ldots, n \}}$

Em relação à dependência do tempo

Além disso, as restrições em relação à sua dependência do tempo são divididas em:

• reonômicos (fluentes) quando dependem explicitamente do tempo.
• escleronômicas (rígidas), se não dependerem explicitamente do tempo.

Ao aplicar o formalismo de Lagrange, as restrições escleronômicas geralmente levam à conclusão de que o potencial não depende implicitamente do tempo. Se o potencial não é explicitamente dependente do tempo, as forças são conservadoras e a energia é preservada . Neste caso, a função de Hamilton - a transformada de Legendre da função de Lagrange - é igual à energia total.

Por outro lado, as restrições holonômicas-reonômicas não permitem a conclusão direta de que a energia não é preservada.

Exemplos

O comprimento do fio permanece constante, o pêndulo é forçado a um caminho circular

O pêndulo: holonômico e escleronômico

A haste de um pêndulo plano (ou seja, apenas 2 dimensões espaciais) deve sempre ter o mesmo comprimento , portanto, deve atender às seguintes restrições com base no teorema de Pitágoras (número de restrições :) : ${\ displaystyle l}$${\ displaystyle s = 1}$

${\ displaystyle f_ {1} (x_ {1}, x_ {2}) = 0 \ quad \ mathrm {com} \; x_ {1} = x, x_ {2} = y}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow x ^ {2} + y ^ {2} -l ^ {2} = 0}$

O ângulo de deflexão do pêndulo da vertical forma a coordenada generalizada. (Há apenas uma, lá .) As coordenadas e o centro da esfera dependem de (suposições: para a direita, para baixo, origem no ponto de suspensão): ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle n = 2N-s = 1}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} x = l \ cdot \ sin \ varphi \\ y = l \ cdot \ cos \ varphi \ end {alinhado}}}$

A coordenada generalizada atende automaticamente à restrição:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} (l \ cdot \ sin \ varphi) ^ {2} + (l \ cdot \ cos \ varphi) ^ {2} -l ^ {2} = 0 \\\ Leftrightarrow l ^ {2} \ cdot (\ sin ^ {2} \ varphi + \ cos ^ {2} \ varphi -1) = 0 \ end {alinhado}}}$

uma vez que o seguinte se aplica em geral:

${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ varphi + \ cos ^ {2} \ varphi = 1}$

Este é um exemplo de restrição holonômica e, uma vez que não depende explicitamente do tempo ( ), de restrição escleronômica. ${\ displaystyle f_ {1} \ neq f_ {1} (t)}$

Diferencial completo da restrição:

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {3} & {\ frac {\ partial (x ^ {2} + y ^ {2} -l ^ {2})} {\ partial x}} \ mathrm {d} x && + {\ frac {\ parcial (x ^ {2} + y ^ {2} -l ^ {2})} {\ parcial y}} \ mathrm {d} y + {\ frac {\ parcial (x ^ {2} + y ^ {2} -l ^ {2})} {\ parcial t}} \ mathrm {d} t &&& = 0 \\\ Leftrightarrow & 2x \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} && + 2y \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} &&& = 0 \\\ Leftrightarrow & x \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} && + y \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} &&& = 0 \ end {alinhados} }}$

Os componentes de velocidade do pêndulo podem ser expressos na coordenada generalizada da seguinte forma (devido à restrição, a bola só pode se mover perpendicularmente à haste; suposição aqui: movimento para o canto superior direito):

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} & = v \ cdot \ cos \ varphi \\ {\ frac {\ mathrm {d} y } {\ mathrm {d} t}} & = - v \ cdot \ sin \ varphi \ end {alinhado}}}$

com a quantidade de velocidade total. ${\ displaystyle v = l \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi} {\ mathrm {d} t}}}$

Inserindo a coordenada generalizada na restrição na forma do diferencial completo:

${\ displaystyle \ Rightarrow (l \ cdot \ sin \ varphi) \ cdot (v \ cdot \ cos \ varphi) + (l \ cdot \ cos \ varphi) \ cdot (-v \ cdot \ sin \ varphi) = 0}$

que, portanto, também é cumprido automaticamente.

Partículas em uma esfera: anholonômica e escleronômica

Uma partícula está presa em uma bola . Matematicamente, isso significa que a distância da partícula ao centro da esfera (origem das coordenadas) deve ser sempre menor que o raio R da esfera:

${\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} <R}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} <R ^ {2}}$

Como essa restrição consiste em uma desigualdade, ela é não holonômica e, além disso, como não depende explicitamente do tempo, também é escleronômica.

literatura

• H. Goldstein : Mecânica Clássica . Wiley-VCH. ISBN 978-3527405893
• T. Fließbach : Mecânica - Textbook em Física Teórica I . Spectrum Akademischer Verlag Heidelberg 2009. ISBN 978-3-8274-2148-7

Veja também

• Força coercitiva
• Obrigatório