Vetor de posição
Na matemática e na física, um vetor de posição (também vetor de raio ou vetor de posição ) de um ponto é um vetor que aponta de um ponto de referência fixo até esse ponto (localização). Na geometria elementar e sintética , esses vetores podem ser definidos como classes de setas com o mesmo deslocamento ou como deslocamentos paralelos .
Os vetores de posição tornam possível usar o cálculo vetorial para a descrição de pontos , conjuntos de pontos e mapeamentos . Se um sistema de coordenadas cartesiano é usado como base, a origem das coordenadas é geralmente escolhida como o ponto de referência para os vetores de posição dos pontos. Neste caso, as coordenadas de um ponto em relação a este sistema de coordenadas coincidem com as coordenadas de seu vetor de posição.
Na geometria analítica , os vetores de posição são usados para descrever imagens de um espaço afim ou euclidiano e para descrever conjuntos de pontos (como linhas retas e planos ) por meio de equações e representações paramétricas .
Na física , os vetores de posição são usados para descrever a localização de um corpo no espaço euclidiano. Nas transformações de coordenadas , os vetores de posição mostram um comportamento de transformação diferente dos vetores covariantes .
Grafias
Em geometria, o ponto de referência (origem) é geralmente referido como (para origo latino ). A notação para o vetor posição de um ponto é então:
Ocasionalmente, também são utilizadas as letras minúsculas com setas vetoriais, que correspondem às letras maiúsculas com as quais os pontos são designados, por exemplo:
A notação de que a letra maiúscula que denota o ponto é fornecida com uma seta vetorial também é comum:
Em física em particular, o vetor de posição também é chamado de vetor de raio e é escrito com uma seta de vetor como ou (especialmente em física teórica) em semi-negrito como .
Exemplos e aplicações em geometria
Vetor de conexão
Para o vetor de conexão de dois pontos e com os vetores de posição, aplica-se o seguinte:
Coordenadas cartesianas
O seguinte se aplica às coordenadas do vetor posição do ponto com as coordenadas :
mudança
Uma mudança em torno do vetor mapeia o ponto no ponto . Então, o seguinte se aplica aos vetores de posição:
Rotação em torno da origem
Uma rotação no plano com o centro de rotação para o ângulo anti- horário , com o auxílio de a como segue na matriz de rotação de coordenadas cartesianas será descrita: Se o vetor posição de um ponto e o vetor posição do pixel , então:
Figura afim
Um mapeamento afim geral que mapeia o ponto ao ponto pode ser representado com vetores de posição da seguinte forma:
Aqui, o vetor posição von , o vetor posição von , é um mapeamento linear e um vetor que descreve um deslocamento. O mapeamento linear pode ser representado por uma matriz em coordenadas cartesianas e o seguinte se aplica:
No espaço tridimensional, isso resulta em:
As representações correspondentes também estão disponíveis para outras dimensões.
Representação paramétrica de uma linha reta
A linha reta através dos pontos e contém exatamente aqueles pontos cujo vetor de posição é a representação
- Com
é proprietária. Fala-se aqui da forma paramétrica de uma equação de linha reta .
Forma normal da equação do plano
O plano que passa pelo ponto (ponto de apoio) com vetor normal contém exactamente os pontos cuja posição vector corresponde ao da equação normais
Cumpre. É o vetor de posição ( vetor de suporte ) do ponto de suporte e o Malpunkt denota o produto escalar .
Vetor de posição em diferentes sistemas de coordenadas
O ponto descrito por um vetor de posição pode ser expresso pelas coordenadas de um sistema de coordenadas, o ponto de referência do vetor de posição geralmente sendo colocado na origem das coordenadas .
Coordenadas cartesianas
Normalmente, o vetor de posição está em coordenadas cartesianas no formulário
São definidos. Portanto, as coordenadas cartesianas também são os componentes do vetor de posição.
Coordenadas cilíndricas
O vetor de posição como uma função das coordenadas do cilindro é obtido convertendo as coordenadas do cilindro nas coordenadas cartesianas correspondentes
Aqui denota a distância do ponto do eixo, o ângulo é contado do eixo na direção do eixo. e são, portanto, as coordenadas polares do ponto projetado ortogonalmente no plano - .
Do ponto de vista matemático, o mapeamento (função) que atribui as coordenadas cartesianas do vetor posição às coordenadas do cilindro é considerado aqui .
Coordenadas esféricas
O vetor de posição em função das coordenadas esféricas é obtido pela conversão das coordenadas esféricas nas coordenadas cartesianas correspondentes
Aqui denota a distância do ponto da origem (ou seja, o comprimento do vetor de posição), o ângulo é medido no plano - do eixo na direção do eixo, o ângulo é o ângulo entre o eixo e o vetor posição.
física
Mecânica celestial
Para indicar a posição de um corpo celeste movendo-se em uma órbita em torno de um centro de gravidade , este centro de gravidade é selecionado como a origem do vetor de localização ou raio na mecânica celeste . O vetor raio então sempre se encontra na direção da força gravitacional . O caminho do vetor posição é chamado de feixe de direção . O feixe de luz desempenha um papel central na segunda lei de Kepler (teorema da área) .
Veja também
Evidência individual
- ↑ Istvan Szabó : Introdução à Mecânica Técnica. Springer, 1999, ISBN 3-540-44248-0 , página 12.
literatura
- Klaus Desch: Suplementos Matemáticos à Física II, Capítulo 11: Análise de Vetores. (PDF, 210 kB). Instituto de Física Experimental, Hamburgo.