Princípio de D'Alembert

O princípio de d'Alembert (segundo Jean-Baptiste le Rond d'Alembert ) da mecânica clássica permite o estabelecimento das equações de movimento de um sistema mecânico com restrições . O princípio é baseado no princípio de que as forças restritivas ou torques em um sistema mecânico não realizam nenhum trabalho virtual .

O nome "princípio de d'Alembert" é usado por alguns autores para o equilíbrio dinâmico entre a força externa e a força inercial de d'Alembert, enquanto outros autores rejeitam isso com palavras violentas como uma abreviatura inadmissível.

Considerações preliminares

A equação do movimento para um ponto de massa é formulada em um sistema inercial . De acordo com a segunda lei de Newton, lê-se :

${\ displaystyle m {\ vec {a}} = {\ vec {F}}}$

Este contém a massa, a aceleração absoluta e a força externa. Esta equação básica da mecânica pode ser expressa na forma: ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {F}}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} - m {\ vec {a}} = {\ vec {0}}}$

para ser levado. O termo é interpretado como uma força e referido como a força inercial de d'Alembert . ${\ displaystyle -m {\ vec {a}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {T}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} + {\ vec {F}} _ {T} = {\ vec {0}}}$

O problema dinâmico é devido a um problema de equilíbrio na estática . A relação é, portanto, também conhecida como equilíbrio dinâmico . Um problema de dinâmica pode, portanto, ser resolvido com métodos de estática, se as forças inerciais forem levadas em consideração. Com o princípio de d'Alembert, o princípio do trabalho virtual é usado a seguir, que pode ser usado em estática para calcular forças de suporte desconhecidas .

introdução

Para um sistema de N  pontos de massa, que está sujeito a restrições, a equação do movimento para a massa i é  :

${\ displaystyle m_ {i} {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i} = {\ vec {F}} _ {i}}$.

Aqui, a força externa resultante para o ponto de massa  i . É a soma da força aplicada e da força restritiva : ${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ vec {F_ {i} ^ {e}}}}$${\ displaystyle {\ vec {F_ {i} ^ {z}}}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i} = {\ vec {F_ {i} ^ {e}}} + {\ vec {F_ {i} ^ {z}}} \;.}$

Inserido na equação de movimento de Newton:

${\ displaystyle m_ {i} {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i} = {\ vec {F_ {i} ^ {e}}} + {\ vec {F_ {i} ^ {z} }} \;.}$

A força de restrição é então calculada

${\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i} ^ {z} = m_ {i} {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i} - {\ vec {F}} _ {i} ^ {e} \;.}$

O produto escalar das forças restritivas é formado com os deslocamentos virtuais . Se, de acordo com o princípio do trabalho virtual, as forças restritivas não realizam nenhum trabalho virtual, a soma dos produtos escalares das forças restritivas e dos deslocamentos virtuais desaparece: ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}} _ {i}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left ({\ vec {F}} _ {i} ^ {z} \ cdot \ delta {\ vec {r}} _ {i} \ right ) = 0 \;.}$

Obtém-se o princípio de d'Alembert (na formulação de Lagrange ):

${\ displaystyle {\ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left (m_ {i} {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i} - {\ vec {F}} _ {i} ^ {e} \ right) \ cdot \ delta {\ vec {r}} _ {i} = 0}}$

As forças restritivas não aparecem mais na equação - apenas as forças aplicadas. As restrições ainda estão ocultas nos deslocamentos virtuais, pois só são permitidos aqueles que sejam compatíveis com as restrições.

Para obter equações de movimento a partir disso, passa-se às coordenadas independentes ( graus de liberdade ) com restrições (holonômicas) e expressa a posição, velocidade, aceleração e deslocamentos virtuais das N massas usando essas novas coordenadas de posição (" coordenadas generalizadas "): ${\ displaystyle \, k}$ ${\ displaystyle f = 3N-k}$${\ displaystyle q = (q_ {1} (t), ..., q_ {f} (t))}$

${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {i} = {\ vec {r}} _ {i} (q) \ ;, \ quad {\ dot {\ vec {r}}} _ {i} = {\ dot {\ vec {r}}} _ {i} (q, {\ dot {q}}) \ ;, \ quad {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i} = {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i} (q, {\ dot {q}}, {\ ddot {q}}) \ ;, \ quad \ delta {{\ vec {r}} _ {i} } = \ sum _ {j = 1} ^ {f} {\ frac {\ parcial {\ vec {r}} _ {i}} {\ parcial q_ {j}}} \, \ delta q_ {j} \ ,.}$

Uma vez que as novas coordenadas podem ser variadas independentemente, existem equações diferenciais de segunda ordem que podem ser resolvidas. O procedimento concreto para configurar as equações de movimento pode ser encontrado na próxima seção. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ ddot {q}}}$

Para restrições holonômicas e forças conservativas (que podem ser derivadas de uma função potencial ), o princípio de D'Alembert é então equivalente às equações de Lagrange do primeiro tipo.

Ocasionalmente, a conversão simples da equação de movimento de Newton descrita no início é chamada de princípio de d'Alembert. No entanto, isso ignora consequências essenciais, como a eliminação de forças coercitivas que não realizam trabalho virtual e, nas palavras de Georg Hamel, é “quase equivalente a um insulto a d'Alembert” . Deve-se notar também que o princípio do trabalho virtual utilizado não segue os axiomas de Newton , mas representa seu próprio postulado básico.

Extensão para sistemas multi-corpo

No caso geral de sistemas multicorpo , é levado em consideração que o trabalho virtual dos torques de restrição nas rotações virtuais também desaparece. A equação de Euler é usada para calcular os momentos de restrição .

${\ displaystyle {\ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left (\ left [m_ {i} {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i} - {\ vec {F}} _ {i} ^ {e} \ right] \ delta {\ vec {r}} _ {i} ^ {\, T} + \ left [I_ {i} \, {\ dot {\ vec {\ omega}} } _ {i} + {\ vec {\ omega}} _ {i} \ vezes I_ {i} \, {\ vec {\ omega}} _ {i} - {\ vec {M}} _ {i} ^ {e} \ right] \ delta {\ vec {\ varphi}} _ {i} ^ {\, T} \ right) = 0}.}$

com

${\ displaystyle I_ {i}}$ Tensor inercial do corpo i

${\ displaystyle {\ dot {\ vec {\ omega}}} _ {i}}$ Aceleração angular do corpo i

${\ displaystyle {\ vec {\ omega}} _ {i}}$ Velocidade angular do corpo i

${\ displaystyle {\ vec {M}} _ {i} ^ {e}}$momento impressionado no corpo i

${\ displaystyle \ delta {\ vec {\ varphi}} _ {i}}$ rotação virtual do corpo i.

Com N corpos e ligações k, existem graus de liberdade. ${\ displaystyle f = 6 \, Nk}$

Os deslocamentos ou rotações virtuais são obtidos a partir das derivadas parciais das coordenadas de posição translacional ou rotacional de acordo com as coordenadas generalizadas:

${\ displaystyle \ delta {{\ vec {r}} _ {i}} = \ sum _ {j = 1} ^ {f} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} { \ parcial q_ {j}}} \, \ delta q_ {j} \,}$

${\ displaystyle \ delta {{\ vec {\ varphi}} _ {i}} = \ sum _ {j = 1} ^ {f} {\ frac {\ parcial {\ vec {\ varphi}} _ {i} } {\ partial q_ {j}}} \, \ delta q_ {j}}$

As acelerações podem ser divididas em uma parte, que depende apenas das derivadas secundárias das coordenadas generalizadas, e um termo residual:

${\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {f} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} { \ parcial q_ {j}}} \, {\ ddot {q}} _ {j} + {\ vec {a}} _ {i} ^ {\, *}}$ e

${\ displaystyle {\ dot {\ vec {\ omega}}} _ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {f} {\ frac {\ partial {\ vec {\ varphi}} _ {i} } {\ partial q_ {j}}} \, {\ ddot {q}} _ {j} + {\ vec {\ alpha}} _ {i} ^ {\, *}}$.

Isso permite que o sistema de equações diferenciais de segunda ordem seja representado em forma de matriz .

${\ displaystyle \ mathbf {M} \, {\ ddot {\ vec {q}}} = {\ vec {F}} ^ {*} + {\ vec {M}} ^ {*}}$

Existem:

${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ a matriz de massa f × f

${\ displaystyle {\ vec {F}} ^ {*}}$o vetor de forças generalizadas

${\ displaystyle {\ vec {M}} ^ {*}}$ o vetor de momentos generalizados

Os elementos da matriz de massa são calculados da seguinte forma:

${\ displaystyle M_ {m, n} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left (m_ {i} \, {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i} ^ { \, T}} {\ parcial q_ {m}}} \ cdot {\ frac {\ parcial {\ vec {r}} _ {i}} {\ parcial q_ {n}}} + {\ frac {\ parcial {\ vec {\ varphi}} _ {i} ^ {\, T}} {\ parcial q_ {m}}} \ cdot I_ {i} \ cdot {\ frac {\ parcial {\ vec {\ varphi}} _ {i}} {\ parcial q_ {n}}} \ direita)}$

Os seguintes resultados para os componentes de forças ou momentos generalizados:

${\ displaystyle F_ {m} ^ {*} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left ({\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i} ^ {\, T} } {\ partial q_ {m}}} \ left [{\ vec {F}} _ {i} {^ {e}} - m_ {i} \, {\ vec {a}} _ {i} ^ { \, *} \ certo, certo)}$

${\ displaystyle M_ {m} ^ {*} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ left ({\ frac {\ partial {\ vec {\ varphi}} _ {i} ^ {\, T }} {\ partial q_ {m}}} \ left [{\ vec {M}} _ {i} {^ {e}} - I_ {i} \, {\ vec {\ alpha}} _ {i} ^ {\, *} - {\ vec {\ omega}} _ {i} \ vezes I_ {i} \, {\ vec {\ omega}} _ {i} \ right] \ right)}$

O cálculo da matriz de massa, bem como das forças e momentos generalizados, pode ser realizado numericamente no computador. O sistema de equações diferenciais também pode ser resolvido numericamente com programas comuns. O tratamento de grandes sistemas multicorpos com ligações cinemáticas só é possível desta forma.

Exemplo de um pêndulo de rosca

No caso de um pêndulo de rosca plana com a massa , o ângulo em que a rosca é defletida da posição de repouso é escolhido como o grau de liberdade. O comprimento constante da rosca representa uma restrição holonômica. Posição, velocidade e aceleração da massa podem, portanto, ser expressas em função deste ângulo: ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle l}$

${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ begin {bmatrix} l \ sin {\ varphi} \\ - l \ cos {\ varphi} \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle {\ dot {\ vec {r}}} = {\ frac {\ partial {\ vec {r}}} {\ partial \ varphi}} \, {\ dot {\ varphi}} = {\ begin {bmatriz} l \ cos {\ varphi} \\ l \ sin {\ varphi} \ end {bmatriz}} {\ dot {\ varphi}}}$

${\ displaystyle {\ ddot {\ vec {r}}} = {\ begin {bmatrix} l \ cos {\ varphi} \\ l \ sin {\ varphi} \ end {bmatrix}} {\ ddot {\ varphi} } + {\ begin {bmatrix} -l \ sin {\ varphi} \\ l \ cos {\ varphi} \ end {bmatrix}} {\ dot {\ varphi}} ^ {2}}$

A mudança virtual resulta de:

${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}} = {\ frac {\ partial {\ vec {r}}} {\ partial \ varphi}} \, \ delta \ varphi = {\ begin {bmatrix} l \ cos {\ varphi} \\ l \ sin {\ varphi} \ end {bmatrix}} \ delta \ varphi}$

A força do peso atua como a força aplicada:

${\ displaystyle {\ vec {G}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ - m \, g \ end {bmatrix}}}$

A equação do movimento resulta da condição de que o trabalho virtual das forças limitadoras desapareça.

${\ displaystyle \ left (m {\ ddot {\ vec {r}}} - {\ vec {G}} \ right) \ cdot \ delta {\ vec {r}} = 0 \ Rightarrow \ left (m {\ ddot {\ vec {r}}} - {\ vec {G}} \ right) \ cdot {\ frac {\ partial {\ vec {r}}} {\ partial \ varphi}} = 0.}$

Ao avaliar os produtos escalares, obtém-se finalmente:

${\ displaystyle m \, l ^ {2} \, {\ ddot {\ varphi}} = - m \, g \, l \, \ sin \ varphi}$

A massa e o comprimento da rosca podem ser encurtados para que se possa usar a equação diferencial bem conhecida:

${\ displaystyle {\ ddot {\ varphi}} = - {\ frac {g} {l}} \, \ sin \ varphi}$

recebe.

O procedimento parece ser muito complicado neste exemplo simples. No entanto, como apenas produtos escalares precisam ser avaliados, isso pode ser automatizado em grandes sistemas e realizado numericamente no computador. Isso torna muito mais fácil configurar equações de movimento.

literatura

• Herbert Goldstein , Charles P. Poole, John L. Safko: Mecânica Clássica. VCH.
• Friedhelm Kuypers: Mecânica clássica. VCH, 5ª edição 1997, ISBN 3-527-29269-1 .
• Georg Hamel : Mecânica Teórica. Springer 1967.
• Werner Schiehlen: Technical Dynamics. Livros de estudo de Teubner, Stuttgart, 1986.
• Craig Fraser : Princípio de D'Alembert: The Original Formulation and Application in Jean D'Alembert's Traité de Dynamique (1743) , Parte 1,2, Centaurus, Volume 28, 1985, pp. 31-61, 145-159

Observações

1. ↑ Mudanças infinitesimais são chamadas de virtuais se forem compatíveis com as restrições. Além disso, devem ocorrer imediatamente (ou instantaneamente , em um horário determinado).

Evidência individual

1. ↑ ^{a b} Jürgen Dankert, Helga Dankert: Mecânica técnica: estática, teoria da força, cinemática / cinética . 7ª edição. Springer Vieweg, 2013, ISBN 978-3-8348-2235-2 ( visualização limitada na pesquisa de livros do Google). 
2. ↑ Klaus-Peter Schnelle: Modelos de simulação para a dinâmica de direção de automóveis de passageiros levando em consideração a cinemática não linear do chassi. VDI-Verlag, Düsseldorf 1990, ISBN 3-18-144612-2 . (Relatórios de progresso VDI No. 146), p. 73
3. ↑ Script TU Berlin, PDF 120 kB ( Memento de 5 de março de 2016 no Internet Archive )
4. ↑ Hans J. Paus: Física em experimentos e exemplos. Hanser 2007, p. 34.
5. ↑ Istvan Szabo: História dos Princípios Mecânicos. Springer-Verlag, 1987, página 40.
6. ↑ Cornelius Lanczos: The Variational Principles of Mechanics . Courier Dover Publications, New York 1986, ISBN 0-486-65067-7 , pp. 88-110 ( visualização limitada na pesquisa de livros do Google): "A adição da força de inércia I à força atuante F muda o problema do movimento para o problema do equilíbrio." 
7. ↑ István Szabó: História dos princípios mecânicos e suas principais aplicações . Springer DE, 1987, ISBN 978-3-7643-1735-5 , p. 39– (acessado em 8 de fevereiro de 2013).
8. ↑ Kurt Magnus, HH Müller-Slany: Fundamentos da mecânica técnica . 7ª edição. Vieweg + Teubner, 2005, ISBN 3-8351-0007-6 , p. 258 ( visualização limitada na pesquisa de livros do Google). 
9. ↑ Hamel Theoretical Mechanics , Springer 1967, p. 220