Ruído de calor

O ruído térmico , térmico  ruído , ruído térmico , de Nyquist ruído , Johnson ruído ou Johnson-Nyquist ruído chamado, é um largamente ruído branco resultante do movimento térmico dos portadores de carga em eléctricos circuitos aparentes. O espectro de frequência do ruído de resistência foi pesquisado experimentalmente por John Bertrand Johnson e ao mesmo tempo teoricamente justificado por Harry Theodor Nyquist .

Manifestação

Com resistores ôhmicos descarregados , o ruído de calor é expresso como ruído de resistência térmica , geralmente chamado simplesmente de ruído de resistência . O movimento térmico dos elétrons de condução gera a corrente de ruído e a voltagem de ruído nos terminais da rede de dois terminais . Os valores presentes no caso de um curto-circuito ou circuito aberto podem geralmente ser especificados como a densidade de potência do ruído espectral . Eles são proporcionais à temperatura absoluta. No caso de um componente descarregado, a potência do ruído é independente do meio eletricamente condutivo; por outro lado, no caso de um componente através do qual flui a corrente contínua, pode ocorrer ruído de corrente, o que no caso do resistor de filme de carbono pode estar muito acima do ruído térmico. No caso de semicondutores portadores de corrente , ruído adicional surge da modulação da corrente de carga - quando a tensão é impressa - devido a flutuações induzidas termicamente no número de portadores na banda de condução e na banda de valência e, portanto, na condutividade.

Johnson fez experiências em 1927/28 em temperaturas entre o ponto de ebulição do nitrogênio e o da água com resistências de materiais muito diferentes. Entre outras coisas, foram usados ​​filmes de carbono, resistores de cobre e platina, bem como capilares preenchidos com vários eletrólitos.

Johnson anunciou que em 1918 Schottky havia reconhecido, a partir de considerações teóricas, que o ruído do calor dos elétrons de condução deve ser detectável com amplificadores valvulados, mas com um circuito de ressonância na entrada do amplificador, o efeito desejado é mascarado pelo ruído de disparo . Nyquist citou o trabalho de Schottky por causa da sugestão resultante de derivar a potência do ruído eletrodinâmico da termodinâmica e da mecânica estatística.

causas

Os elétrons de condução de materiais eletricamente condutores (metais, semicondutores) participam do movimento amplamente desordenado e termicamente excitado dos componentes do nível atômico e se movem aleatoriamente e sem direção. À temperatura ambiente, eles dão uma pequena contribuição para o calor específico, e seu movimento desordenado fornece a potência de ruído elétrico finito em questão nos terminais de um terminal bipolar. Os elétrons de condução geram pulsos de tensão e corrente estatisticamente independentes, finitos, de curta duração e alta taxa, cuja superposição leva à ampla distribuição de frequência que é percebida principalmente na engenharia elétrica como uma fonte de ruído com espectro branco. O espectro de potência de ruído varia da frequência zero a uma frequência de corte, cujo valor é determinado pelos quanta dos componentes harmônicos eletromagnéticos que ainda podem ser excitados termicamente. O primeiro cálculo do espectro de ruído por Nyquist faz uso do teorema da distribuição uniforme da termodinâmica. - Um componente finito de tensão DC não é observado; não poderia ser visto como um componente aleatório, veja termoeletricidade . Para isso, seria necessária uma quebra de simetria , para a qual não há razão aparente, pois o equilíbrio termodinâmico é assumido para o ruído de arrasto .

O ruído de resistência é caracterizado aqui pelo espectro de potência, que é branco dentro de amplos limites de frequência. Outra questão é a descrição pela distribuição da amplitude dos valores instantâneos de tensão ou corrente. A experiência mostra que existe uma distribuição normal ( distribuição gaussiana) com valor médio zero, cujo parâmetro de espalhamento é dado pela potência do ruído. Em particular, uma amplitude arbitrariamente grande pode, portanto, ser esperada com uma probabilidade decrescente exponencialmente.

As estatísticas de amplitude estocástica significam que as tensões de ruído devem ser medidas com retificação quadrática verdadeira. Para este propósito, Johnson utilizou (após amplificação eletrônica) um conversor térmico no qual o calor gerado pela potência de ruído adicionada faz com que a temperatura suba. Isso é medido com um termopar cuja tensão termoelétrica , calculada de forma linear ao longo do tempo, é proporcional ao valor médio da tensão de ruído quadrada. Esta especificação de medição é um tanto generalizada por meio da definição da função de autocorrelação matematicamente . O fator de conversão do conversor térmico é medido com uma potência que pode ser facilmente definida por meio de uma tensão contínua.

Quantidades de ruído

Análogo às flutuações aleatórias no movimento browniano , flutuações na tensão de circuito aberto são observadas ao longo do tempo em um resistor ôhmico . A média dessas tensões é zero. Após a amplificação eletrônica, o valor da raiz quadrada média da tensão é medido como a quantidade de ruído, que pode ser convertida no valor rms . O quadrado da tensão média é proporcional à temperatura absoluta , ao tamanho da resistência elétrica e à largura de banda do arranjo de medição. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle u (t)}$${\ displaystyle {\ overline {u (t) ^ {2}}}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ Delta f}$

A influência da largura de banda não é facilmente reconhecível com uma estrutura de banda larga, as estatísticas de amplitude podem ser avaliadas muito bem. Sua variação é dada por. As estatísticas de amplitude podem ser determinadas bem dentro de uma banda estreita. Na banda estreita, a influência de uma largura de banda centrada pode ser claramente vista proporcionalmente nos tempos de ataque e decaimento pelos quais os componentes do espectro de ruído são modulados. ${\ displaystyle {\ overline {u (t) ^ {2}}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ Delta f}}}$${\ displaystyle f}$

• O ruído de resistência é uma expressão do acoplamento das flutuações térmicas e eletrodinâmicas. Isso pode ser esclarecido considerando a gama de serviços no caminho escolhido por Schottky e Nyquist.

A fórmula de Nyquist estabelece a seguinte relação para a tensão de ruído em operação sem carga:

${\ displaystyle {\ overline {u ^ {2}}} = 4k _ {\ mathrm {B}} TR \ Delta f \,}$

com a tensão de ruído sem carga efetiva

${\ displaystyle U_ {R, \, \ mathrm {eff}} = {\ sqrt {\ overline {u ^ {2}}}},}$

consequentemente

${\ displaystyle U_ {R, \, \ mathrm {eff}} = {\ sqrt {4k _ {\ mathrm {B}} TR \ Delta f}}.}$

Aqui estão a constante de Boltzmann , a temperatura absoluta e a resistência ôhmica do barulhento bipolar. é a largura de banda permitida . ${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ Delta f}$

Além disso, o quadrado da corrente de ruído com média de tempo é calculado no caso de um curto-circuito ${\ displaystyle {\ overline {i ^ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ overline {i ^ {2}}} = {\ frac {4k _ {\ mathrm {B}} T \ Delta f} {R}} \,}$

com a corrente de ruído de curto-circuito efetiva

${\ displaystyle I_ {R, \, \ mathrm {eff}} = {\ sqrt {\ overline {i ^ {2}}}} = {\ sqrt {\ frac {4k _ {\ mathrm {B}} T \ Delta f} {R}}}.}$

Ginsburg fornece informações abrangentes sobre a validade geral da fórmula de Nyquist e sua importância para questões profundas na física.

Nível de ruído

A potência do ruído também pode ser especificada logaritmicamente como o nível de ruído:

${\ displaystyle P _ {\ mathrm {dBm}} = 10 \ log _ {10} {(k _ {\ mathrm {B}} T \ Delta f \ cdot 1000)} = 10 \ log _ {10} ({ k_ {\ mathrm {B}} T \ cdot 1000}) + 10 \ log _ {10} {(\ Delta f)}}$

À temperatura ambiente ( ) aplica-se o seguinte: ${\ textstyle T = 300 \, {\ text {K}}}$

${\ displaystyle P _ {\ mathrm {dBm}} = - 174 + 10 \ log _ {10} {(\ Delta f)}}$, com em Hz${\ displaystyle \ Delta f}$

A tabela a seguir mostra os níveis de ruído térmico para várias larguras de banda em temperatura ambiente:

Largura de banda ${\ displaystyle (\ Delta f)}$	Nível de ruído térmico	Dicas
1 Hz	-174 dBm
10 Hz	-164 dBm
100 Hz	-154 dBm
1 kHz	-144 dBm
10 kHz	-134 dBm	Canal FM de uma rádio
22 kHz	-130,58 dBm	ÁUDIO ITU-R 468-4 sem classificação, 22Hz-22kHz
100 kHz	-124 dBm
180 kHz	-121,45 dBm	Um bloco de recursos LTE
200 kHz	-121 dBm	Canal GSM
1 MHz	-114 dBm	Canal bluetooth
2 MHz	-111 dBm	Canal GPS público
3,84 MHz	-108 dBm	Canal UMTS
6 MHz	-106 dBm	Televisão analógica
20 MHz	-101 dBm	WLAN 802.11
40 MHz	-98 dBm	WLAN 802.11n canal de 40 MHz
80 MHz	−95 dBm	Canal WLAN 802.11ac 80 MHz
160 MHz	-92 dBm	WLAN 802.11ac canal de 160 MHz
1 GHz	-84 dBm	UWB

Circuito de substituição e equilíbrio de energia

O diagrama de circuito equivalente de um resistor ruidoso como um componente concentrado é a conexão em série do resistor R , que se imagina ser livre de ruído, como um resistor de fonte com a fonte de tensão representando seu ruído , que emite o quadrado de tensão de circuito aberto . Para representação com uma fonte de corrente de ruído , um gerador de corrente de fonte do quadrado de corrente de curto-circuito é conectado em paralelo com a resistência interna ideal . ${\ displaystyle {\ overline {u ^ {2}}}}$${\ displaystyle {\ overline {i ^ {2}}}}$${\ displaystyle R}$

No caso de um curto-circuito, a própria resistência ôhmica ruidosa dissipa a energia gerada

${\ displaystyle P _ {\ Delta f, \; \ mathrm {curto-circuito}} = {\ overline {u ^ {2}}} / R = 4k _ {\ mathrm {B}} T \ Delta f,}$

porque a tensão total da fonte cai sobre ele.

Quando a potência é combinada, cada um dos dois resistores ôhmicos barulhentos dissipa a potência no outro e em si mesmo

${\ displaystyle P _ {\ Delta f, \; \ mathrm {verf {\ ddot {u}} gbar}} = {\ overline {(u / 2) ^ {2}}} / R = k _ {\ mathrm {B}} T \ Delta f,}$

porque metade da tensão da fonte cai entre eles. Esta é a potência máxima que pode ser fornecida por uma fonte e é chamada de potência disponível . Este termo o torna independente da aleatoriedade de um circuito e é adequado para uma discussão geral em que a troca de energia termicamente ativada, mas eletrodinamicamente mediada, entre os dois resistores ruidosos , que são acoplados a um banho de calor de temperatura, ocorre simetricamente. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle T}$

Essas quatro potências de ruído dissipadas juntas novamente resultam na potência de curto-circuito, que, conseqüentemente, também é gerada em geral neste arranjo. Os dois resistores ligados entre si para ajuste de potência funcionam, entendidos como uma unidade da resistência , no curto-circuito e sua potência dissipada é do tamanho e assim também quanto para cada resistor individualmente. ${\ displaystyle 2R}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ overline {u ^ {2}}} {2R}}}$${\ displaystyle 4k _ {\ mathrm {B}} T \ Delta f,}$

• Em um circuito puramente ôhmico , a potência dissipada é independente do tamanho e apenas termodinamicamente determinada pela potência disponível quando a potência é correspondida${\ displaystyle R}$${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}} T \ Delta f.}$
• Com essa formulação em quadrados como equilíbrio de potência, a afirmação já reconhecida por Schottky é manifestamente atendida, trata-se do acoplamento das flutuações térmicas ao fenômeno eletrodinâmico mencionado acima. A energia de flutuação da ordem do quantum termodinâmico médio troca cada modo eletromagnético com o banho de calor.${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} k _ {\ mathrm {B}} T}$${\ displaystyle f}$

A formulação como balanço de potência elimina a necessidade de utilização da quantidade de resistência elétrica e, por essa generalidade, esclarece a proposta de uso do lema ruído térmico . Por causa da retificação quadrática necessária, a potência é a variável real medida de qualquer maneira.

Extensão da Teoria Quântica

A integração das equações acima em toda a faixa de frequência leva à catástrofe ultravioleta . Um espectro estritamente branco também requer a participação irreal de impulsos de qualquer curta duração para estimular os componentes harmônicos. Portanto, a extensão teórica quântica é necessária para altas frequências . Nyquist já estava fazendo isso. A energia do ponto zero da mecânica quântica reconhecida posteriormente é ocasionalmente citada como uma possível fonte não térmica de ruído.

Fórmula de Nyquist

Para frequências suficientemente altas ou temperaturas correspondentemente baixas, a fórmula já dada por Nyquist ^(*)

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ overline {u ^ {2}}} & = 4k _ {\ mathrm {B}} TR \, {\ frac {hf / k _ {\ mathrm {B}} T } {\ mathrm {e} ^ {hf / k _ {\ mathrm {B}} T} -1}} \, \ Delta f, & 0 \ leqq f <\ infty \\ & = 4k _ {\ mathrm { B}} TR \, {\ frac {f / f _ {\ mathrm {Q}}} {\ mathrm {e} ^ {f / f _ {\ mathrm {Q}}} - 1}} \, \ Delta f \ end {alinhado}}}$

ser usado. A frequência de corte teórica quântica já foi utilizada na segunda expressão , definida por

${\ displaystyle f _ {\ mathrm {Q}} = {\ frac {k _ {\ mathrm {B}} T} {h}}}$.

À temperatura ambiente (300 K) é . ${\ displaystyle f _ {\ mathrm {Q}} = 6 {,} 25 \ cdot 10 ^ {12} \, {\ text {Hz}}}$

• Acima da resistência térmica, o ruído não é mais espectralmente branco ^(**) , mas diminui exponencialmente com o aumento da frequência de acordo com o fator de Boltzmann.${\ displaystyle f _ {\ mathrm {Q}}}$
• Para baixas frequências ou temperaturas suficientemente altas, a fórmula estendida teoricamente quântica vai para o valor de baixa frequência, como esperado .${\ displaystyle {\ overline {u ^ {2}}} = 4k _ {\ mathrm {B}} TR \ Delta f}$

^(*)Nota: No trabalho original de Nyquist, um fator está faltando em sua fórmula (8). Callen e Welton deram uma derivação baseada na mecânica quântica . A fórmula de Nyquist se aplica a sistemas dissipativos lineares elétricos ou mecânicos.${\ displaystyle \ nu}$

^(**)O intervalo deve ser selecionado para ser suficientemente pequeno para que neste intervalo de medição as mudanças causadas pelo fator dependente da frequência possam ser desprezadas com a precisão desejada. Com Nyquist, sua fórmula (4) é escrita diferencialmente com o espectro de voltagem (com a designação de Nyquist) porque uma resistência dependente da frequência é realisticamente permitida; . Uma resistência efetiva independente da frequência é sempre assumida aqui.${\ displaystyle \ Delta f}$${\ displaystyle E _ {\ nu} ^ {2} \ mathrm {d} \ nu = 4R _ {\ nu} k _ {\ mathrm {B}} T \ mathrm {d} \ nu}$${\ displaystyle E _ {\ nu} ^ {2}}$${\ displaystyle R _ {\ nu}}$${\ displaystyle E _ {\ nu} ^ {2} \ mathrm {d} \ nu = \ mathrm {d} {\ overline {u ^ {2}}}}$${\ displaystyle R}$

Energia de ponto zero

Uma contribuição da energia do ponto zero para o ruído térmico é ocasionalmente colocada em discussão. A energia do ponto zero é exigida pela incerteza de Heisenberg e está no oscilador harmônico . Como uma fórmula de mecânica quântica totalmente corrigida, ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} hf}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ overline {u ^ {2}}} & = 4k _ {\ mathrm {B}} TR \ left ({\ frac {hf / k _ {\ mathrm {B}} T} {\ mathrm {e} ^ {hf / k _ {\ mathrm {B}} T} -1}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {hf} {k _ {\ mathrm {B}} T}} \ right) \ Delta f = 4k _ {\ mathrm {B}} TR \, {\ frac {{\ tfrac {1} {2}} hf / k _ {\ mathrm {B} } T} {\ tanh \ left ({\ frac {1} {2}} {hf / k _ {\ mathrm {B}} T} \ right)}} \, \ Delta f, & \ mathrm {} 0 \ leqq f <\ infty \ \ & = 4R \ left ({\ frac {hf} {\ mathrm {e} ^ {hf / k _ {\ mathrm {B}} T} -1}} + {\ frac { 1} {2}} hf \ right) \ Delta f \ end {alinhado}}}$

frequentemente sugerido. Com essa fórmula, a catástrofe ultravioleta seria cada vez mais reintroduzida.

A energia do ponto zero não está disponível para processos térmicos , como ruído de calor, para trocar energia com um resistor de carga . A última formulação, que expressa a abordagem da mecânica quântica muito diretamente , obviamente requer que a densidade de potência espectral disponível , que em frequências suficientemente altas ou temperaturas suficientemente baixas, seja exclusivamente atribuível à oscilação do ponto zero e seja trocada entre a fonte e a resistência de carga quando o poder é correspondido . ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle {\ overline {u ^ {2}}} (4R \ Delta f) = {\ tfrac {1} {2}} hf}$

• Isso exigiu mudanças de estado de meio quant.

Para o maser foi mostrado que a energia do ponto zero não é amplificada.

Variedade de serviços

O espectro de desempenho enfatiza o fato de que a cada componente de frequência eletromagnética deve ser concedido seu próprio grau de liberdade térmica , independentemente das oscilações de outras frequências , o teorema da equipartição . Nyquist mostra isso conceitualmente para o caso eletromagnético conectando um filtro de reatância (não dissipativo) entre os resistores que estão em ajuste de potência. Se as oscilações harmônicas de diferentes frequências não estivessem igualmente fortemente acopladas ao banho de calor, então, ao contrário da 2ª lei da termodinâmica, a resistência mais fria poderia, em média, aumentar a temperatura da mais quente.

• Cada componente espectral eletromagnético está independentemente em um equilíbrio detalhado com o banho de calor via bipolar barulhento e tem dois graus de liberdade térmica devido à sua natureza eletromagnética.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle R}$
• O suplemento teórico quântico necessário mostra que esses componentes de frequência independentes requerem a energia mínima de um fóton , o que fica claro no caso de grandes quanta, pois sua excitação térmica é prejudicada pelo “congelamento” porque a temperatura é muito baixa.${\ displaystyle hf}$

O espectro de potência para a potência disponível de qualquer resistor ôhmico é definido por ^(*)

${\ displaystyle W (f) = {\ frac {hf} {\ mathrm {e} ^ {hf / k _ {\ mathrm {B}} T} -1}} \ ,, \ qquad \ qquad \ quad 0 \ leqq f <\ infty}$

com o valor de baixa frequência

${\ displaystyle W (f) = k _ {\ mathrm {B}} T \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ \ left (f \ ll f _ {\ mathrm {Q}} \ right).}$

Nota: A densidade de potência espectral é da dimensão energia .

O seguinte se aplica ao ajuste de desempenho

${\ displaystyle P (f) _ {\ Delta f, \; \ mathrm {verf {\ ddot {u}} gbar}} = {\ frac {\ overline {u ^ {2}}} {4R}} = \ int _ {f} ^ {f + \ Delta f} \! \! W (f) \, \ mathrm {d} f}$.

A potência total disponível é

${\ displaystyle P = \ int _ {0} ^ {\ infty} \! \! W (f) \, \ mathrm {d} f = {\ tfrac {\ pi ^ {2}} {6}} {\ frac {(k _ {\ mathrm {B}} T) ^ {2}} {h}} = {\ tfrac {\ pi ^ {2}} {6}} k _ {\ mathrm {B}} Tf _ {\ mathrm {Q}}}$.

A largura de banda efetiva limitada pela teoria quântica é considerada branca, assumindo uma potência espectral continuamente constante${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}} T}$

${\ displaystyle \ Delta f _ {\ mathrm {Q, \, eff}} = {\ tfrac {\ pi ^ {2}} {6}} f _ {\ mathrm {Q}}}$

A potência total disponível à temperatura ambiente (300 K) é . ${\ displaystyle P = 4 {,} 26 \ cdot 10 ^ {- 8} \ {\ text {Watt}}}$

^(*)Deve ser mencionado novamente que por razões de simetria, o ruído térmico não pode excitar uma componente constante, que seria determinada; isso resultaria em um componente aditivo ao espectro proporcional à função de colisão de Dirac .${\ displaystyle \ delta (f)}$

Guia de onda preta e radiação da cavidade preta

Dois bipolos ôhmicos com a mesma resistência independente de frequência no banho de calor de temperatura absoluta são conectados por uma linha sem perdas da resistência de onda , consulte a impedância de onda real . Devido a essa adaptação de acordo com a resistência da onda, existem apenas ondas avançando em ambas as direções da linha. As influências das ondas estacionárias devido à reflexão não estão presentes, como resultado, não há seletividade de frequência. Com esta fiação há ajuste de potência de qualquer maneira. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle Z = R}$

• A linha ideal - de qualquer comprimento e resistência de onda definida - é interposta de modo que o acoplamento das flutuações térmicas às ondas eletrodinâmicas seja suportado pelo pensamento de ondas eletromagnéticas espacialmente estendidas .

As ondas eletromagnéticas na linha são emitidas pelos resistores ruidosos e completamente absorvidas no outro.

• As resistências simultaneamente ruidosas e de dissipação medeiam o ajuste e manutenção do equilíbrio termodinâmico entre o conteúdo de energia das ondas eletromagnéticas e o banho de calor, ver teorema da flutuação-dissipação .

A potência transferida para o outro resistor não perturba o equilíbrio termodinâmico, em média não há transporte direcionado de energia.

• Este arranjo unidimensional em relação à propagação dos processos eletromagnéticos ao longo do guia de ondas preto , como o arranjo ^(*) é chamado aqui, é um equivalente elétrico à radiação tridimensional da cavidade negra . ^(**)
• Nyquist obteve o espectro de ruído de baixa frequência considerando o arranjo descrito acima, aplicando o teorema da distribuição uniforme aos componentes espectrais das ondas eletromagnéticas , representados pela ocupação capacitiva e indutiva da linha com armazenamento de energia ou por comprimento de linha. Como uma linha, ele imaginou um cabo coaxial ideal com uma impedância característica .${\ displaystyle C ^ {\ prime}}$${\ displaystyle L ^ {\ prime}}$${\ displaystyle Z = {\ sqrt {L ^ {\ prime} / C ^ {\ prime}}} = R}$
• Em altas frequências, ele olhou para os quanta e corrigiu a fórmula do espectro branco de acordo com os resultados da fórmula de Planck .${\ displaystyle hf}$

Na faixa de baixa frequência, a excitação das ondas eletromagnéticas não é reduzida pela teoria quântica. O espectro branco diz: por meio da linha, a energia de flutuação disponível é transmitida de um resistor a outro através de cada componente espectral da frequência . Corresponde a dois graus de liberdade, o que é consistente com a natureza eletromagnética do mecanismo de transmissão. Cada campo elétrico e magnético contribui com um grau de liberdade e, portanto, de acordo com a lei de distribuição uniforme, a energia de flutuação média . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}} T}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2k _ {\ mathrm {B}} T}}}$

A aproximação de baixa frequência na figura fornece o número de fótons excitados com o fator . Quase 10 ¹⁰ quanta são condensados na onda eletromagnética da frequência em temperatura ambiente , o caráter potencialmente quântico da onda não é óbvio. - O componente espectral de uma onda eletromagnética pode acomodar qualquer número de quanta , veja fótons e bósons . ${\ displaystyle f \, \ ll \, f _ {\ mathrm {Q}}}$${\ displaystyle W (f) \ approx hf {\ tfrac {k _ {\ mathrm {B}} T} {hf}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {k _ {\ mathrm {B}} T} {hf}}}$${\ displaystyle hf}$${\ displaystyle f = 1 \, {\ text {kHz}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle hf}$

O Hochfrequenznäherung com leva ao fator de Boltzmann correspondente à disponibilidade reduzida de correspondentemente grandes quantidades de energia no banho de calor. Os quanta podem ser excitados termodinamicamente com alta eficiência apenas até a ordem de magnitude , quanta maiores são congelados em energias termicamente disponíveis comparativamente pequenas no sentido de congelamento, por exemplo, os graus de liberdade de rotação do calor específico em baixas temperaturas. ${\ displaystyle f \, \ gg \, f _ {\ mathrm {Q}}}$${\ displaystyle W (f) \ approx hf \, \ mathrm {e} ^ {- hf \! / \! k _ {\ mathrm {B}} T}}$${\ displaystyle hf}$${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}} T}$${\ displaystyle hf}$${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}} T}$

Com is e com o limite de frequência teórica quântica seria claramente perceptível, o modo eletromagnético só seria ocupado por um fóton em cerca de metade do tempo. Para frequências de até 1 GHz, no entanto, o guia de onda preto ideal dificilmente pode ser realizado com precisão suficiente usando os meios de engenharia elétrica atuais. ${\ displaystyle T = 0 {,} 05 \, {\ text {K}}}$${\ displaystyle f _ {\ mathrm {Q}} = 1 \, {\ text {GHz}}}$${\ displaystyle W (f _ {\ mathrm {Q}}) _ {T = 0,05 \; \ mathrm {K}} = {\ tfrac {1} {1,718}} = 0 {,} 58}$

Uma comparação: Acima, a potência total P  = 4,26 · 10 ⁻⁸  watts para a temperatura ambiente foi calculada. Também em T  = 300 K, o corpo negro emite  aproximadamente a mesma potência 4,6 · 10 ⁻⁸ watts no meio espaço de uma área de 10 ⁻¹⁰ m² de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann .

^(*)'Este' corpo negro 'permite assim a investigação da própria radiação, não afetada pelas propriedades materiais do corpo radiante, um caso quase ideal de verificação experimental de uma abstração perfeita, um conceito teórico.' O autor Walther Gerlach (1936) enfatizou essa citação. Ele continua a descrever a maneira de pesquisar a fórmula de Planck: o desenvolvimento da conexão entre a energia da radiação e o comprimento de onda não levou a vários fatos que primeiro tiveram que ser classificados, mas diretamente às leis físicas.

^(**)Uma diferença clara para a radiação da cavidade é particularmente enfatizada, o que simplifica a fórmula de Nyquist de acordo. O poder espectral finito do ruído de resistência varia como um espectro branco até quaisquer pequenas frequências, enquanto o da radiação da cavidade negra desaparece proporcionalmente a para , porque, como resultado da radiação em um ângulo sólido finito, a frequência é incluída no cálculo da densidade de estados (número de osciladores no intervalo de frequência). Com o guia de onda preto , por outro lado, a radiação da potência disponível para a resistência de carga adaptada é unidimensional, de modo que o número de osciladores por intervalo de frequência é 1, consulte Nyquist. Os estados densamente situados com energia podem ser ocupados cada um com muitos fótons de acordo com a densidade média de ocupação${\ displaystyle f ^ {2}}$${\ displaystyle f \, \ rightarrow 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle hf}$${\ displaystyle {\ tfrac {W (f)} {hf}} = {\ tfrac {1} {\ mathrm {e} ^ {hf / k _ {\ mathrm {B}} T} -1}}.}$

Carga capacitiva

A resistência barulhenta funciona no capacitor ideal da capacitância . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle C}$

O espectro de tensão sem carga do ruído de calor é reduzido na carga capacitiva pelo quadrado do fator divisor de tensão. ${\ displaystyle 4RW (f)}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {1+ (f / f _ {\ mathrm {E}}) ^ {2}}}}$

${\ displaystyle f _ {\ mathrm {E}} = {\ tfrac {1} {2 \ pi RC}}}$   é a frequência limite eletrotécnica do arranjo RC para a constante de tempo${\ displaystyle \ tau = RC.}$

Cada resistência ôhmica como um componente tem uma pequena capacitância parasita em paralelo , o espectro de sua tensão terminal está na prática ^(*)

${\ displaystyle W _ {\ mathrm {Terminals}} (f) = {\ frac {4 \, Rk _ {\ mathrm {B}} T} {1+ (f / f _ {\ mathrm {E}}) ^ {2}}}.}$

Em equilíbrio térmico, a fórmula para a energia em um capacitor em uma tensão de capacitor é a energia média ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} CU ^ {2}}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ tfrac {1} {2}} \, C \, {\ overline {u ^ {2}}} & = {\ tfrac {1} {2}} C {\ int _ {0} ^ {\ infty} \! 4 \, R \, W (f) \, {\ frac {1} {1+ (f / f _ {\ mathrm {E}}) ^ {2} }} \; \ mathrm {d} f} \ approx {\ tfrac {1} {2}} C \; \ cdot \; 4 \, Rk _ {\ mathrm {B}} T {\ int _ {0} ^ {\ infty} \! \! {\ frac {1} {1+ (f / f _ {\ mathrm {E}}) ^ {2}}} \; \ mathrm {d} f} \\\\ & = {\ tfrac {1} {2}} C \; \ cdot \; 4 \, Rk _ {\ mathrm {B}} T \; \ Delta f _ {\ mathrm {eff}} = {\ tfrac { 1} {2}} k _ {\ mathrm {B}} T \ end {alinhado}}}$

armazenado, com o último sendo substituído pelo valor de baixa frequência . O capacitor é constantemente alimentado e retirado em torno da duração , o tempo de correlação , por exemplo . ${\ displaystyle W (f)}$${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}} T}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2k _ {\ mathrm {B}} T}}}$

A largura de banda efetiva de o RC elemento é definido pela

${\ displaystyle \ Delta f _ {\ mathrm {eff}} = {\ int _ {0} ^ {\ infty} \! \! {\ frac {1} {1+ (f / f _ {\ mathrm {E }}) ^ {2}}} \; \ mathrm {d} f} = {\ tfrac {\ pi} {2}} f _ {\ mathrm {E}} = {\ tfrac {1} {4}} (RC) ^ {- 1}.}$

• O capacitor é acoplado ao seu banho de calor por meio do resistor e armazena a energia em média${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} k _ {\ mathrm {B}} T.}$
• Em termos de termodinâmica, o condensador tem um certo grau de liberdade, como é o caso de um armazenamento de energia. Ambas as declarações se aplicam de acordo com a indutância.

A energia que é complementar para a energia armazenada da energia total gerada termicamente por no intervalo de frequência eficaz é dissipada em si. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \, C \, {\ overline {u ^ {2}}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} k _ {\ mathrm {B}} T}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ Delta f _ {\ mathrm {eff}}}$${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}} T}$${\ displaystyle R}$

Esse equilíbrio é conhecido pelo carregamento de um capacitor com tensão constante e pode ser derivado do princípio da produção de entropia mínima . Obviamente, a potência gerada fora da largura de banda efetiva é dissipada por si mesma; porque à medida que a resistência aumenta, ele funciona cada vez mais em um curto-circuito. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f \, \ gg \, f _ {\ mathrm {E}}}$

A constante de tempo e, portanto, a banda de frequência efetiva são tais que o único grau de liberdade térmica do capacitor é suficiente. ${\ displaystyle RC}$${\ displaystyle \ Delta f _ {\ mathrm {eff}}}$

Conclusão 1: No diagrama de circuito equivalente, todo capacitor real consiste em um capacitor ideal com uma resistência de isolamento finita conectado em paralelo, o que significa que ele está acoplado a um banho de calor. Portanto, as lojas de capacitores real, a fornecidos, dependentes apenas da energia média de temperatura de acordo localizado no capacitor, a tensão de ruído eficaz para que o valor absoluto das médias cargas de elétrons são armazenados. Em um capacitor de 1 pF, a tensão de ruído efetiva à temperatura ambiente é de 64 µV, o que requer 402 cargas elementares, que são transportadas em média para as flutuações de tensão aleatórias. O fato é lembrado e . ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} k _ {\ mathrm {B}} T.}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \, C \, {\ overline {u ^ {2}}} \, = \, {\ tfrac {1} {2}} \, {\ tfrac { \ overline {q ^ {2}}} {C}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ overline {u ^ {2}}}} \, = \, {\ sqrt {\ tfrac {k _ {\ mathrm {B}} T} {C}}},}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ sqrt {\ overline {q ^ {2}}}} {| e |}} \, = \, {\ tfrac {\ sqrt {Ck _ {\ mathrm {B}} T} } {| e |}}}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle {\ overline {u}} = 0}$${\ displaystyle {\ overline {q}} = 0}$

Conclusão 2: A proporcionalidade fundamental da potência do ruído para a temperatura absoluta é imediatamente reconhecível quando o quadrado da tensão do ruído é medido com alta resistência sobre um capacitor. Um resistor de fio é convenientemente usado como um resistor barulhento porque permite mudanças de temperatura muito grandes; De acordo com a fórmula, sua inevitável dependência da temperatura não afeta o resultado da medição com este circuito . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ overline {u ^ {2}}} = k _ {\ mathrm {B}} T / C}$${\ displaystyle R}$

Este arranjo é adequado para um experimento de demonstração impressionante . deve ser sempre grande o suficiente para que o ruído inerente do amplificador não interfira. ${\ displaystyle RT}$

• O resultado torna particularmente claro que o componente de resistência serve apenas como um mediador entre o acumulador de calor, o banho de calor e o acumulador elétrico. O mesmo se aplica ao armazenamento magnético.

^(*)A capacitância parasita de um componente de resistência praticamente limita o espectro antes que uma influência da frequência limite teórica quântica se torne perceptível. No caso de altas frequências, um componente indutivo também deve ser levado em consideração. No entanto, isso atingiu o limite de frequência a partir do qual o componente não pode mais ser visto como concentrado ; a resistência impetuosa agora teria de ser tratada sob as condições da teoria da linha . Em última análise, os grampos do dispositivo não são mais bem definidos e um conceito de antena é mais apropriado.${\ displaystyle f _ {\ mathrm {Q}}}$

Dissipação e armazenamento

Na verdade, o espectro de tensão teria que ser integrado como uma fórmula teórica quântica, mas a banda de frequência de um capacitor real atingindo a frequência de corte eletrotécnica limita o espectro efetivo em 300 K, muito abaixo do corte teórico quântico -frequência fora${\ displaystyle W (f)}$${\ displaystyle f _ {\ mathrm {E}}}$${\ displaystyle f _ {\ mathrm {Q}}}$

Este fato é usado a seguir para calcular a potência dissipada no resistor ruidoso, mesmo sob uma carga capacitiva. Em contraste com o acima, o quadrado da tensão deve ser considerado aqui sobre a própria resistência, que deve ser avaliada com o quadrado da magnitude do fator divisor de tensão complexo. A potência dissipada em é ${\ displaystyle {\ tfrac {(f / f _ {\ mathrm {E}}) ^ {2}} {1+ (f / f _ {\ mathrm {E}}) ^ {2}}}}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle P = {\ frac {\ overline {u ^ {2}}} {R}} = 4 {\ int _ {0} ^ {\ infty} \! W (f) \, {\ frac {( f / f _ {\ mathrm {E}}) ^ {2}} {1+ (f / f _ {\ mathrm {E}}) ^ {2}}} \; \ mathrm {d} f}}$.

Adicionando e subtraindo 1 ao fator de divisão eletrotécnica na integral e incluindo -1 neste fator de divisão, a frequência limite teórica quântica é inicialmente obtida

${\ displaystyle P = 4 \, k _ {\ mathrm {B}} T {\ int _ {0} ^ {\ infty} \! \! {\ frac {f / f _ {\ mathrm {Q}}} {\ mathrm {e} ^ {f / f _ {\ mathrm {Q}}} - 1}} \ left (1 - {\ frac {1} {1+ (f / f _ {\ mathrm {E}} ) ^ {2}}} \ right) \ mathrm {d} f}.}$

A integral sobre o primeiro somand, a potência de curto-circuito no próprio R , já foi avaliada acima, a integral sobre o segundo é calculada - principalmente em uma excelente aproximação - definindo o fator igual a 1 por uma questão de simplicidade , porque a banda de frequência é geralmente muito mais ampla do que a eletrotécnica até . O resultado obtido imediatamente é expresso com as larguras de banda ou as larguras de banda efetivas ${\ displaystyle {\ tfrac {f \! / \! f _ {\ mathrm {Q}}} {\ mathrm {e} ^ {f \! / \! f _ {\ mathrm {Q}}} - 1} }}$${\ displaystyle f _ {\ mathrm {Q}}}$${\ displaystyle f _ {\ mathrm {E}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} P & \ approx 4 \, k _ {\ mathrm {B}} T \ left ({\ tfrac {\ pi ^ {2}} {6}} f _ {\ mathrm { Q}} - {\ tfrac {\ pi} {2}} f _ {\ mathrm {E}} \ right) = 4 \, k _ {\ mathrm {B}} T \ left (\ Delta f _ {\ mathrm {Q, \, eff}} - \ Delta f _ {\ mathrm {eff}} \ right) \\ & \ approx k _ {\ mathrm {B}} T \ left ({\ tfrac {2} {3 }} \, \ pi ^ {2} {\ frac {k _ {\ mathrm {B}} T} {h}} - {\ frac {1} {RC}} \ right) \ !. \ End {alinhado }}}$

O segundo termo é pequeno em relação ao primeiro, que representa a potência média total dissipada em R em caso de curto-circuito. Isso é reduzido pela capacidade devido à carga capacitiva   , pois a tensão do capacitor reduz a queda de tensão em R e a corrente no circuito. A tensão e a corrente do capacitor estão defasadas, caracterizando o armazenamento de energia e o transporte da potência reativa ao longo do tempo . ${\ displaystyle {\ tfrac {\ overline {u ^ {2}}} {R}} = {\ tfrac {k _ {\ mathrm {B}} T} {RC}},}$${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}} T}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} RC}$

Função de autocorrelação

Os processos de impacto e os processos de emissão e absorção no material de resistência são, em média, uniformemente distribuídos ao longo do tempo, desde que a resistência não envelheça. Nesse aspecto, o ruído de resistência é estacionário. A marcação de um carimbo de hora como t  = 0 não tem significado para a caracterização geral do ruído. Assim, a distinção não é necessária para compartilhar a tensão da fonte ímpar e par, para que a tangente de um ângulo de fase do que a medida usual de sua relação não seja um indicador importante para o ruído estacionário em si. Consequentemente, a descrição matematicamente invariante em vez de a transformada de Fourier , o espectro de amplitude, tamanhos quadrados podem ser escolhidos, como acima da faixa de serviços. Eles já contêm informações suficientes sobre a estrutura do tempo . ${\ displaystyle u (t)}$${\ displaystyle u (t)}$

Como informação sobre amplitudes, facilita a comparação usual com uma tensão direta com a mesma geração de calor. Além da estrutura temporal que pode acima mencionada distribuição de amplitude são avaliados. As duas distribuições são independentes uma da outra, mas uma limitação da banda de frequência influencia a propagação das estatísticas de amplitude. O espectro branco não inclui necessariamente uma distribuição normal dos valores instantâneos, como é o caso do ruído de resistência. ^(*)${\ displaystyle u _ {\ mathrm {eff}} \, = \, {\ sqrt {\ overline {u ^ {2}}}}}$${\ displaystyle {\ overline {u ^ {2}}}}$

Para caracterizar o ruído estacionário ao longo do tempo, não apenas o quadrado da tensão média permanece . ${\ displaystyle {\ overline {u ^ {2}}}}$

• Em vez disso, há invariante para ser descrito relação temporal interior do representado pela função de autocorrelação é medido:${\ displaystyle u (t)}$

${\ displaystyle \ rho (\ Delta t) = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {2T}} {\ int _ {- T} ^ {+ T}} \! u (t ) u (t + \! \ Delta t) \, \ mathrm {d} t}$

A função de autocorrelação, daqui em diante referida como AKF, é independente da direção do tempo: e tem o mesmo AKF. A fórmula de definição mostra imediatamente que marcar qualquer hora como a nova hora de referência não tem influência. ${\ displaystyle u (+ t)}$${\ displaystyle u (-t)}$${\ displaystyle t = t_ {0}}$${\ displaystyle t \, '\, = \, t \, - \, t_ {0}}$

O AKF tem seu máximo ${\ displaystyle \ Delta t = 0}$

${\ displaystyle \ rho (0) = {\ overline {u ^ {2}}}}$.

${\ displaystyle {\ tfrac {\ rho (0)} {R}}}$é a potência dissipada no resistor pela tensão do terminal . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle u (t)}$

O AKF é sempre uma função uniforme de . Isso significa que nenhuma sequência causal é indexada pelo tempo . No entanto, e não são independentes, não podem mudar à vontade. O espectro de potência determina a mudança efetiva e mais rápida possível, por exemplo, por meio de sua frequência limite superior. ${\ displaystyle \ Delta t}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle u (t)}$${\ displaystyle u (t + \ Delta t)}$${\ displaystyle u (t)}$

Com o AKF, o nível de descrição point-in-time (ou local ) ( domínio do tempo ) corresponde ao espectro de frequência. O último descreve a relação interna para o nível de descrição com oscilações harmônicas ( faixa de frequência ).

• Uma ou outra das representações equivalentes é selecionada dependendo da intenção ou dos requisitos de medição .

Para verificar experimentalmente o ruído de resistência, a possibilidade de representação da frequência foi importante. Na época da descoberta de Johnson, era até necessário porque a tecnologia de curto prazo e de correlação não era tão desenvolvida quanto a tecnologia de filtro orientado por frequência devido aos avanços na tecnologia de rádio com seu conhecimento de circuitos ressonantes.

Na verdade, uma transformação matemática justifica a representação equivalente do processo estacionário pelo AKF ou pelo espectro de frequência. Wiener e Chintchin forneceram a prova afirmando que a transformada de Fourier fornece o resultado desejado:

${\ displaystyle {\ begin {align} & S (f) = \! \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \! \! \ rho (\ Delta t) \, \ mathrm {e} ^ {-j2 \ pi f \ Delta t} \, \ mathrm {d} \ Delta t \ quad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \; \, S (f) = 2 \ int _ {0} ^ {\ infty } \! \! \ rho (\ Delta t) \ cos (2 \ pi f \ Delta t) \, \ mathrm {d} \ Delta t \\ & \ rho (\ Delta t) = \! \ int _ { - \ infty} ^ {+ \ infty} \! \! S (f) \, \ mathrm {e} ^ {+ j2 \ pi f \ Delta t} \, \ mathrm {d} f \ quad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ quad \ rho (\ Delta t) = 2 \! \ int _ {0} ^ {\ infty} \! \! S (f) \ cos (2 \ pi f \ Delta t) \, \ mathrm {d} f \ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle S (f)}$é definido por razões de simetria das fórmulas de transformação para frequências negativas. Deve - se notar, portanto , que ele foi definido apenas acima com base no processo de medição . ${\ displaystyle S (f) \, = \, {\ tfrac {1} {2}} \, W (f)}$${\ displaystyle W (f)}$${\ displaystyle f \, \ geqq \, 0}$

Como espectros automáticos, os espectros de ruído de resistência são funções reais e diretas de frequência. A posição dos sinais no expoente é a este respeito convenção, é escolhida como indicado no que diz respeito às funções de correlação cruzada , em que a ligação causal é um objetivo da análise.

No par de transformação à direita, a função exponencial complexa é substituída por no integrando e os limites de integração são 0 e porque as funções são transformadas. Esta é a formulação clássica de chintchin vienense, embora seja frequentemente substituída por algo mais próximo da tecnologia de medição . ${\ displaystyle 2 \ cos {(2 \ pi f \ Delta t)}}$${\ displaystyle \ infty,}$${\ displaystyle 2S (f)}$${\ displaystyle W (f)}$

^(*) Nota: Como o pré-fator 2 é omitido na formulação com o espectro (medido) em vez de na fórmula no canto inferior direito, um fator 4 é criado na fórmula no canto superior direito.${\ displaystyle W (f)}$${\ displaystyle 2S (f)}$

Resistência com capacitância paralela

O AKF para o espectro da tensão terminal do resistor com capacitância parasita paralela é ${\ displaystyle W _ {\ mathrm {Terminais}} (f)}$

${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {Terminals}} (\ Delta t) = {\ tfrac {1} {2}} \! \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \! \! { \ frac {4 \, Rk _ {\ mathrm {B}} T} {1+ (f / f _ {\ mathrm {E}}) ^ {2}}} \, \ mathrm {e} ^ {j2 \ pi f \ Delta t} \, \ mathrm {d} f = {\ tfrac {2} {\ pi}} {\ frac {Rk _ {\ mathrm {B}} T} {\ tau}} \! \ Int _ {0} ^ {\ infty} \! \! {\ Frac {\ mathrm {d} x} {1 + x ^ {2}}} \, \ cos \ left (x {\ tfrac {\ Delta t} {\ tau}} \ right) = {\ frac {Rk _ {\ mathrm {B}} T} {\ tau}} \, \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {| \ Delta t |} { \ tau}}}.}$

A potência que é dissipada no próprio resistor barulhento quando o capacitor está paralelo à capacitância${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {Terminais}} (0) \! / \! R = k _ {\ mathrm {B}} T \! / \! \ tau.}$

O ACF padronizado é determinado unicamente pela relação estatística

${\ displaystyle {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {Terminais}} (\ Delta t)} {\ rho _ {\ mathrm {Terminais}} (0)}} = \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {| \ Delta t |} {\ tau}}}.}$

A duração média da correlação é definida por

${\ displaystyle {\ overline {\ Delta t}} = {\ frac {\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \! | \ Delta t | \, {\ frac {\ rho _ {\ mathrm {Terminais}} (\ Delta t)} {\ rho _ {\ mathrm {Terminais}} (0)}} \, \ mathrm {d} \ Delta t} {\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \! {\ tfrac {\ rho _ {\ mathrm {Terminais}} (\ Delta t)} {\ rho _ {\ mathrm {Terminais}} (0)}} \, \ mathrm {d} \ Delta t }} = \ tau \; {\ frac {\ int _ {0} ^ {+ \ infty} \! {\ frac {\ Delta t} {\ tau}} \, \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {\ Delta t} {\ tau}}} \, \ mathrm {d} {\ frac {\ Delta t} {\ tau}}} {\ int _ {0} ^ {+ \ infty} \ mathrm {e } ^ {- {\ frac {\ Delta t} {\ tau}}} \, \ mathrm {d} {\ tfrac {\ Delta t} {\ tau}}}} = \ tau = RC = {\ frac { 1} {2 \ pi f _ {\ mathrm {E}}}}.}$

• Esta fiação do resistor ruidoso força o ruído a ter uma duração média de correlação; é igual às suas constantes de tempo , veja acima .${\ displaystyle \ tau = RC}$
• Longos períodos de correlação são representados com peso decrescente exponencialmente.

Excurso na significância metrológica do tempo de correlação. Medir a deflexão barulhenta de um instrumento de medição requer muitasleituras independentes para estatísticas suficientes para calcular o valor médio e seu erro com a precisão desejada. (O ruído gaussiano é uma vantagem aqui.)

• A duração mínima da medição necessária é calculada a partir do número de medições individuais necessárias para a precisão desejada multiplicado por um pequeno múltiplo do tempo de correlação da perturbação.

AKF teoricamente limitado quântico do ruído de resistência

O ACF para o espectro limitado teoricamente quântico da potência disponível é calculado abaixo. ${\ displaystyle W (f)}$

Nota 1: definido em vai para esta fórmula. ${\ displaystyle S (f) \, = \, {\ tfrac {1} {2}} \, W (f)}$${\ displaystyle - \ infty \, <\, f \, <\, + \ infty}$

Nota 2: A função de correlação da tensão terminal foi tratada acima , agora é da dimensão potência . ${\ displaystyle \ rho (\ Delta t)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ rho (\ Delta t) & = {\ tfrac {1} {2}} k _ {\ mathrm {B}} T \! \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} \! \! {\ tfrac {| f / f _ {\ mathrm {Q}} |} {\ mathrm {e} ^ {| f / f _ {\ mathrm {Q}} |} \; - \; 1}} \, \ mathrm {e} ^ {j2 \ pi f \ Delta t} \, \ mathrm {d} f \\ & = k _ {\ mathrm {B}} Tf _ {\ mathrm { Q}} \! \ Int _ {0} ^ {\ infty} \! \! {\ Tfrac {f / f _ {\ mathrm {Q}}} {\ mathrm {e} ^ {f / f _ {\ mathrm {Q}}} \; - \; 1}} \, \ cos {\ left [2 \ pi {\ tfrac {f} {f _ {\ mathrm {Q}}}} (f _ {\ mathrm { Q}} \ Delta t) \ right]} \, \ mathrm {d} {\ tfrac {f} {f _ {\ mathrm {Q}}}} = k _ {\ mathrm {B}} Tf _ {\ mathrm {Q}} \! \ int _ {0} ^ {\ infty} \! \! {\ frac {x} {\ mathrm {e} ^ {x} \; - \; 1}} \, \ cos {\ left (2 \ pi xf _ {\ mathrm {Q}} \ Delta t \ right)} \, \ mathrm {d} x \ end {alinhado}}}$

A potência total disponível já calculada acima segue a partir deste

${\ displaystyle P = \ rho (0) = {\ tfrac {\ pi ^ {2}} {6}} \, k _ {\ mathrm {B}} Tf _ {\ mathrm {Q}}.}$

O ACF normalizado do espectro de ruído limitado mecanicamente quântico descreve novamente a estrutura temporal interna sozinha

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {\ rho (\ Delta t)} {\ rho (0)}} & = 3 \ left [(\ omega _ {\ mathrm {Q}} \ Delta t) ^ {- 2} - \ sinh ^ {- 2} (\ omega _ {\ mathrm {Q}} \ Delta t) \ right] \\ & = 3 \ sinh ^ {- 2} (\ omega _ {\ mathrm {Q}} \ Delta t) \ left [\ left ({\ frac {\ sinh (\ omega _ {\ mathrm {Q}} \ Delta t)} {\ omega _ {\ mathrm {Q}} \ Delta t }} \ right) ^ {2} -1 \ right] \\ {\ text {with}} \ omega _ {\ mathrm {Q}} & = 2 \ pi f _ {\ mathrm {Q}} = {\ frac {k _ {\ mathrm {B}} T} {\ hbar}}. \ end {alinhado}}}$

mostra que

${\ displaystyle {\ frac {\ rho (\ Delta t)} {\ rho (0)}} = {\ begin {cases} 1 \ ,, & {\ text {if}} \ quad \ Delta t \ to 0 \ \\ 0 {,} 522 \ ,, & {\ text {if}} \ quad \ omega _ {\ mathrm {Q}} | \ Delta t | = 2 \ \\ 3 \, (\ omega _ {\ mathrm {Q}} \ Delta t) ^ {- 2} \ ,, & {\ text {if}} \ quad \ omega _ {\ mathrm {Q}} | \ Delta t | \ gg 1 {\ text {. }} \ end {cases}}}$

• O ruído, limitado pela teoria quântica, tem uma duração de correlação de aprox. ${\ displaystyle | \ Delta t | = 2 / \ omega _ {\ mathrm {Q}} = 2 \, {\ frac {\ hbar} {k _ {\ mathrm {B}} T}}.}$
• Os longos períodos de correlação devem ser ponderados proporcionalmente .${\ displaystyle \ Delta t ^ {- 2}}$

Isso deixa claro, por exemplo, que uma queda fraca no espectro resulta em uma função de correlação acentuada e vice-versa. O espectro, que é proporcionalmente limitado em termos de capacitância , está ligado a uma diminuição exponencial no peso estatístico de tempos de correlação crescentes. - O espectro, limitado pela teoria quântica, cai praticamente exponencialmente com o aumento da frequência, sua função de correlação, em última análise, apenas aproximadamente correspondentemente${\ displaystyle f ^ {- 2}}$${\ displaystyle | \ Delta t | ^ {- 2}.}$

ruído branco

O caso extremo é citado em relação à questão do amplo espectro no caso de um contexto interno de curta duração e vice-versa. Qualquer processo de curto prazo corresponde ao espectro branco. Um impulso que desaparece à medida que surge pode servir a esse propósito e é matematicamente bem definido com a distribuição de Dirac . Para este objeto de curto prazo arbitrário, apenas os valores para finito podem ser especificados. No entanto, esta distribuição delta é adequada por causa da propriedade de valor médio ${\ displaystyle \ delta (t)}$${\ displaystyle \ delta (t) = 0}$${\ displaystyle t \, \ neq \, 0}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \! \ delta (t) \, \ mathrm {d} t = 1}$

para a representação de fatos físicos. ^(*)

${\ displaystyle \ delta (t)}$necessariamente leva a funções de correlação: Como nenhum quadrado da distribuição pode ser formado, o ACF deve ser usado para calcular a potência, consulte a integral de convolução :

${\ displaystyle \ delta (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \! \ delta (t) \ delta (t + \ theta) \, \ mathrm {d} \ theta}$

O pulso de tensão no momento ${\ displaystyle t_ {0}}$

${\ displaystyle u (t) = p \ delta (t-t_ {0}) \, \!}$

gera o surto de tensão

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \! \! u (t) \, \ mathrm {d} \ Delta t \ = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty } \! \! p \, \ delta (t-t_ {0}) \, \ mathrm {d} \ Delta t = p}$

da unidade 1 Vs e o AKF tem qualquer tempo de correlação curto

${\ displaystyle \ rho (\ Delta t) = p ^ {2} \! \! \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \! \ delta (t-t_ {0}) \ delta (t ) \, \ mathrm {d} \ Delta t = p ^ {2} \ delta (\ Delta t)}$

bem como o espectro de frequência branco

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} S (f) & = p ^ {2} \! \! \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \! \ delta (\ Delta t) \, \ mathrm {e} ^ {- j \, 2 \ pi \! f \ Delta t} \, \ mathrm {d} \ Delta t = p ^ {2}, & \ quad & \ - \ infty \ leq f \ leq + \ infty \ ,. \\\ end {alignat}}}$

Por outro lado, a banda de frequência arbitrariamente estreita leva a ${\ displaystyle f_ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} S (f) & = {\ tfrac {1} {2}} {\ hat {u}} ^ {2} \ left [\ delta (f-f_ {0 }) + \ delta (f + f_ {0}) \ right], \ quad \ - \ infty <f <+ \ infty \ ,; & \ quad & \ qquad \ \, W (f) = {\ hat { u}} ^ {2} \ delta (f-f_ {0}), \ quad f \ geq 0 \\\ end {alignat}}}$

correlação periódica de correlação periódica de longo alcance arbitrário no AKF

${\ displaystyle \ rho (\ Delta t) = {\ hat {u}} ^ {2} \ cos (2 \ pi f_ {0} t) \,.}$

Com a correlação, o tempo torna-se arbitrariamente longo. O seguinte se aplica à tensão direta${\ displaystyle f_ {0} \, \ rightarrow 0}$${\ displaystyle u (t) = {\ hat {u}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} S (f) & = {\ hat {u}} ^ {2} \ delta (f), \ \ quad - \ infty <f <+ \ infty \,; & \ quad & \ qquad \ \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad W (f) = {\ hat {u}} ^ {2} \ delta (f), \ quad f \ geq 0 \\\ rho (\ Delta t) & = {\ hat {u}} ^ {2}, \, \ quad \ quad \ quad - \ infty <\ Delta t <+ \ infty \ ,. \\\ end {alignat}}}$

Aqui, pode-se simplesmente falar de uma duração de correlação infinitamente longa com um espectro que também é estritamente localizado.

^(*) Observação: O impacto sempre tem o valor recíproco da dimensão de seu argumento para a dimensão física: é, portanto, da dimensão 1. Aqui o tempo com a unidade 1 se expressões com argumento dimensional como o objeto que toda aplicação em última análise equivale , sempre significa em pensamento a expressão ; porque a distribuição é definida puramente matematicamente. A fórmula faz parte do argumento.${\ displaystyle \ delta (t)}$${\ displaystyle \ delta (t) \ mathrm {d} t}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ delta (t) \ mathrm {d} t,}$${\ displaystyle \ delta ({\ tfrac {t} {\ mathrm {s}}}) \, \ mathrm {d} ({\ tfrac {t} {\ mathrm {s}}})}$${\ displaystyle \ delta (\ alpha t) \, = \, | \ alpha | ^ {- 1} \, \ delta (t), \ \ alpha \, \ neq \, 0.}$ ${\ displaystyle \ delta (t) = \ delta (-t)}$

Sequência estacionária de funções de colisão

Os pulsos de tensão definidos acima devem ser gerados independentemente um do outro a qualquer momento com a mesma probabilidade com a densidade de número média por intervalo de tempo ; eles formam uma sequência estacionária. Seja dado aos picos de tensão p o mesmo número de sinais positivos ou negativos, de modo que o valor médio linear, o componente constante, desapareça. Os pulsos são estatisticamente independentes. Tal construção pode servir como uma primeira abordagem para uma descrição do ruído do calor. No entanto, os valores instantâneos obviamente não atendem a uma distribuição normal (curva em sino). ${\ displaystyle \ lambda}$

A independência estatística permite a especificação simples do ACF desta sequência com a ajuda do teorema de Campbell:

${\ displaystyle \ rho (\ Delta t) = \ lambda \, p ^ {2} \ delta (\ Delta t) \,.}$

A (dimensão AKF poder da unidade SI um W depois de divisão através de uma resistência R ) não altera o seu curso, o tempo de correlação continua a ser insignificantemente pequena. O espectro de frequência (dimensão de energia da unidade 1 Ws após divisão pela resistência R , como potência por largura de banda de frequência) também não muda, exceto para o fator${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle S (f) = \ lambda \, p ^ {2}.}$

Momento exponencial

• Sob as suposições do teorema de Campbell, as grandezas quadráticas potência e energia se somam sem alterar a relação temporal interna média do trem de pulso - medida pelo AKF - a sobreposição estatística de pulsos de duração finita (superposição incoerente) é permitida, embora a amplitude resultante espectro é alterado.

Para ilustrar isso, na sequência de pulso descrita acima - sob condições apropriadas - as funções de impacto são representadas por pulsos exponenciais

${\ displaystyle h (t) = {\ begin {cases} {\ hat {u}} \, \ mathrm {e} ^ {- t / \ tau}, & \ t \ geq 0 \\ 0, & \ t <0 \ end {casos}}}$

substituído. O AKF e o espectro de frequência, um perfil de Lorentz , da tensão modificada são:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ rho (\ Delta t) & = \ lambda {\ frac {{\ hat {u}} ^ {2} \ tau} {2}} \, \ mathrm {e} ^ {- | \ Delta t | / \ tau} + \ left [(\ lambda {\ hat {u}} \ tau) ^ {2} \ right] \\ S (f) & = \ lambda ({\ hat { u}} \ tau) ^ {2} {\ frac {1} {1+ (2 \ pi f \ tau) ^ {2}}} + \ left [(\ lambda {\ hat {u}} \ tau) ^ {2} \, \ delta (f) \ direita] \ end {alinhado}}}$

Para os termos entre colchetes, consulte a observação. ^(*)

${\ displaystyle {\ tfrac {\ rho (0)} {R}} = {\ tfrac {{\ hat {u}} ^ {2}} {2R}} \ lambda \ tau}$é a potência dissipada no resistor . O grau de sobreposição pode ser ajustado pelo produto . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ lambda \ tau}$

AKF e espectro têm a mesma dependência de ou como com o ruído do resistor com um capacitor paralelo, veja acima , embora os pulsos individuais sejam certamente significativamente diferentes. Correspondentemente , com a constante de tempo, um capacitor descarrega através de um resistor. ${\ displaystyle \ Delta t}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle h (t)}$${\ displaystyle \ tau = RC}$

• Embora a relação interna invariável seja impressa no ruído de resistência filtrado por RC , aqui ela é determinada pelo processo individual .${\ displaystyle {\ tfrac {\ rho (\ Delta t)} {\ rho (0)}} = \ mathrm {e} ^ {- | \ Delta t | / \ tau}}$
• A partir ou a partir do espectro, não é possível tirar conclusões sobre determinados processos individuais ou aleatórios.${\ displaystyle \ rho (\ Delta t)}$

^(*) Nota: Um componente constante finito surge quando todos os pulsos exponenciais são incluídos na sequência com um sinal fixo (positivo) . DC componentes dos impulsos individuais como aqui são coerentes e, por conseguinte, deve ser adicionado como amplitude: . Como resultado, a potência DC (após a divisão por ) é adicionada ao AKF e o termo correspondente é adicionado ao espectro.${\ displaystyle {\ overline {u (t)}} \, = \, \ lambda {\ hat {u}} \ tau}$${\ displaystyle u (t)}$${\ displaystyle {\ overline {h (t)}} \, = \, {\ hat {u}} \ tau}$${\ displaystyle {\ overline {u (t)}} \, = \, \ lambda \, {\ overline {h (t)}}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ overline {u}} ^ {2} \, = \, (\ lambda {\ hat {u}} \ tau) ^ {2}}$${\ displaystyle {\ overline {u}} ^ {2} \, \ delta (f) \, = \, (\ lambda {\ hat {u}} \ tau) ^ {2} \, \ delta (f) }$

Veja também

• Resistência de ruído equivalente
• 1 / f ruído (ruído rosa)
• 1 / f² ruído ( ruído marrom ou vermelho)
• Tremeluzir

literatura

• Heinz Beneking : Practice of Electronic Noise (= scripts universitários BI 734 / 734a-d, ISSN  0521-9582 ). Bibliographisches Institut, Mannheim et al. 1971.
• Heinz Bittel , Leo Storm: Noise. Uma introdução à compreensão das flutuações elétricas. Springer, Berlin et al. 1971, ISBN 3-540-05055-8 .
• Rudolf Müller: Rauschen (= eletrônica de semicondutor. Vol. 15). 2ª edição revisada e ampliada. Springer, Berlin et al. 1990, ISBN 3-540-51145-8 .

Links da web

• Ruído de calor - ruído Johnson - tensão de ruído em volts e dB

Evidência individual

1. ↑ JB Johnson: Agitação Térmica de Eletricidade em Condutores. In: Physical Review . Vol. 32, No. 1, 1928, pp. 97-109, doi: 10.1103 / PhysRev.32.97 .
2. ↑ ^{a b c d} H. Nyquist: Agitação Térmica de Carga Elétrica em Condutores. In: Physical Review. Vol. 32, No. 1, 1928, pp. 110-113, doi: 10.1103 / PhysRev.32.110 .
3. ↑ W. Schottky: Sobre flutuações espontâneas de corrente em diferentes condutores de eletricidade. In: Annals of Physics . Vol. 362, No. 23, 1918, pp. 541-567, doi: 10.1002 / andp.19183622304 .
4. ↑ ^{a b} В. Л. Гинзбург: Некоторые вопросы теории электрических флуктуации. In: Успехи физических наук. Vol. 46, No. 3, 1952, ISSN  0042-1294 , pp. 348-387; em alemão: WL Ginsburg: Alguns problemas da teoria dos fenômenos de flutuação elétrica. In: Advances in Physics. Vol. 1, No. 1953, ISSN  0015-8208 , pp. 51-87, aqui p. 67, doi: 10.1002 / prop.19530010202 .
5. ^ ^{A b} Herbert B. Callen , Theodore A. Welton: Irreversibilidade e ruído generalizado. In: Physical Review. Vol. 83, No. 1, 1951, pp. 34-40, doi: 10.1103 / PhysRev . 83.34 .
6. ^ A. van der Ziel: O efeito do ruído de energia do ponto zero em amplificadores Maser. In: Physica B C. Vol. 96, No. 3, 1979, ISSN  0165-1757 , pp. 325-326, doi: 10.1016 / 0378-4363 (79) 90015-9 .
7. ↑ Walther Gerlach : Teoria e Experimento em Ciência Exata. In: Ciências Naturais. Vol. 24, No. 46/47, 1936, ISSN  0028-1042 , pp. 721-741, aqui p. 732, doi: 10.1007 / BF01504074 .
8. ^ H. Nyquist: Agitação térmica da carga elétrica em condutores. In: Physical Review. Vol. 32, No. 1, 1928, pp. 110-113, aqui página 112. Nota: Naquela época, o autor aplicou o termo grau de liberdade aos modos de vibração .${\ displaystyle f}$