Teoria da função

Gráfico da função de f (z) = (z ² -1) (z-2-i) ² / (z ² + 2 + 2i) em coordenadas polares . O matiz indica o ângulo, a luminosidade o valor absoluto do número complexo.

A teoria funcional é um ramo da matemática . Ele lida com a teoria das funções de valor complexo diferenciáveis com variáveis ​​complexas. Visto que a teoria da função de uma variável complexa em particular faz uso extensivo de métodos de análise real , a subárea também é chamada de análise complexa .

Augustin-Louis Cauchy , Bernhard Riemann e Karl Weierstrass estão entre os principais fundadores da teoria das funções .

Teoria da função em uma variável complexa

Funções complexas

Uma função complexa atribui um número complexo , ao qual outro número complexo. Uma vez que qualquer número complexo pode ser escrito por dois números reais na forma , uma forma geral de uma função complexa pode ser passada ${\ displaystyle x + iy}$

${\ displaystyle x + iy \ mapsto f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y)}$

representar. Onde e são funções reais que dependem de duas variáveis ​​reais e . é chamada a parte real e a parte imaginária da função. A este respeito, uma função complexa nada mais é do que um mapeamento de para (ou seja, um mapeamento que atribui dois números reais a dois números reais). Na verdade, também se pode construir a teoria das funções usando métodos de análise real. A diferença para a análise real só fica mais clara quando se consideram funções complexas diferenciáveis ​​e põe em jogo a estrutura multiplicativa do campo dos números complexos, que falta ao espaço vetorial . A representação gráfica de funções complexas é um pouco mais complicada do que o normal, pois agora quatro dimensões precisam ser representadas. Por isso, contentamo-nos com tons de cores ou saturações. ${\ displaystyle \, u (x, y)}$${\ displaystyle \, v (x, y)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \, u (x, y)}$${\ displaystyle \, v (x, y)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Função holomórfica

O conceito de diferenciabilidade da análise real unidimensional é estendido à diferenciabilidade complexa na teoria das funções . Analogamente ao caso real, define-se: Uma função de uma variável complexa é chamada de diferenciada-complexa (no ponto ) se o valor limite ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle f '(a): = \ lim _ {w \ to 0} {\ frac {f (a + w) -f (a)} {w}}}$

existe. Deve ser definido em um ambiente de . O conceito complexo de distância deve ser usado para a definição do valor limite . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$

Assim, dois conceitos diferentes de diferenciabilidade são definidos para funções de valor complexo de uma variável complexa: a diferenciabilidade complexa e a diferenciabilidade da análise real bidimensional ( diferenciabilidade real ). Funções complexas diferenciáveis ​​também são real-diferenciáveis, o inverso não é verdadeiro sem requisitos adicionais.

As funções complexamente diferenciadas na vizinhança de um ponto são chamadas de holomórficas ou analíticas . Eles têm uma série de propriedades excelentes que justificam o fato de que uma teoria própria se preocupa principalmente com eles - a teoria das funções. Por exemplo, uma função que é complexa diferenciável uma vez é automaticamente complexa diferenciável quantas vezes forem necessárias, o que obviamente não se aplica ao caso real.

O sistema de equações diferenciais de Cauchy-Riemann oferece uma abordagem diferente para a teoria das funções

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ parcial _ {x} u (x, y) & = \ parcial _ {y} v (x, y), \\\ parcial _ {y} u (x, y) & = - \ parcial _ {x} v (x, y). \ end {alinhado}}}$

Uma função é complexa diferenciável em um ponto se, e somente se, for real diferenciável e satisfizer o sistema de equações diferenciais de Cauchy-Riemann. Portanto, pode-se entender a teoria das funções como um ramo da teoria das equações diferenciais parciais . No entanto, a teoria agora é muito extensa e muito versátil em rede com outras subáreas de análise para ser inserida no contexto das equações diferenciais parciais.

A diferenciabilidade complexa pode ser interpretada geometricamente como aproximabilidade (local) por meio de mapas afins de orientação, mais precisamente por meio da concatenação de rotações, alongamentos e translações. Correspondentemente, a validade das equações diferenciais de Cauchy-Riemann é equivalente ao fato de que a matriz de Jacobi associada é a matriz de representação de uma extensão rotacional. Os mapeamentos holomórficos, portanto, provam ser localmente conformes (exceto os zeros de derivação), ou seja, fiéis ao ângulo e orientação.

Fórmula integral de Cauchy

Com um caminho de integração que não gira em torno de quaisquer singularidades de e para cujo número de revoluções um se aplica que ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle 1 = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint {\ frac {1} {wz}} \ mathrm {d} w,}$

A fórmula integral de Cauchy se aplica:

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint {\ frac {f (w)} {wz}} \ mathrm {d} w.}$

Isso significa que o valor de uma função diferenciável por complexo em um domínio depende apenas dos valores da função na fronteira do domínio.

Funções com singularidades

Como o conjunto de funções holomórficas é muito pequeno, também se consideram funções na teoria das funções que são holomórficas em todos os lugares, exceto em pontos isolados . Esses pontos isolados são chamados de singularidades isoladas . Se uma função é limitada por uma singularidade em uma vizinhança, a função pode ser continuada holomorficamente na singularidade. Essa afirmação é chamada de teorema da dedutibilidade de Riemann . Se uma singularidade de uma função não elevável, entretanto, tem a função em uma singularidade removível, então se fala de uma ordem de pólos k-th, onde k é o mínimo selecionado. Se uma função tiver pólos isolados e for holomórfica, a função é chamada de meromórfica . Se a singularidade não é elevável nem pólo, fala-se de uma singularidade essencial. De acordo com o teorema de Picard , funções com singularidade essencial são caracterizadas pelo fato de haver no máximo um valor excepcional a, de modo que em qualquer pequena vizinhança da singularidade elas assumem qualquer número complexo com no máximo a exceção a. ${\ displaystyle z_ {0}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (z-z_ {0}) ^ {k} f (z)}$${\ displaystyle z_ {0}}$

Uma vez que cada função holomórfica pode desenvolver uma série de potências , também é possível desenvolver funções com singularidades removíveis em séries de potências. As funções meromórficas podem ser expandidas em uma série de Laurent que tem apenas muitos termos finitos com expoentes negativos, e a série de funções de Laurent com singularidade essencial tem uma expansão não-terminal das potências com expoentes negativos. O coeficiente da expansão de Laurent é denominado residual . De acordo com o teorema dos resíduos , integrais sobre funções meromórficas e sobre funções com singularidades significativas só podem ser determinadas com a ajuda desse valor. Este teorema não é importante apenas na teoria das funções, porque com a ajuda desta afirmação também se pode determinar integrais de análise real que, como a integral de erro de Gauss, não têm uma representação fechada da antiderivada. ${\ displaystyle a _ {- 1}}$${\ displaystyle (z-z_ {0}) ^ {- 1}}$

Outros tópicos e resultados importantes

Resultados importantes são também o teorema do mapeamento de Riemann e o teorema fundamental da álgebra . Este último diz que um polinômio na área dos números complexos pode ser completamente decomposto em fatores lineares . Para polinômios na faixa de números reais, isso geralmente não é possível (com fatores lineares reais).

Outros focos de pesquisa importantes são a continuação analítica das funções holomórficas e meromórficas até os limites de seu domínio e além.

Teoria da função em várias variáveis ​​complexas

Existem também funções de valor complexo de várias variáveis ​​complexas. Em comparação com a análise real, existem diferenças fundamentais na análise complexa entre as funções de uma e mais variáveis. Na teoria das funções holomórficas de várias variáveis, não há análogo ao teorema integral de Cauchy . O teorema da identidade também se aplica apenas de forma enfraquecida às funções holomórficas de várias variáveis. No entanto, a fórmula integral de Cauchy pode ser generalizada para várias variáveis ​​de uma maneira muito análoga. Nesta forma mais geral, também é chamada de fórmula de Bochner-Martinelli . Além disso, as funções meromórficas de várias variáveis ​​não têm singularidades isoladas , o que segue do chamado teorema da bola de Hartogs e, como consequência, também não há zeros isolados . Mesmo o teorema de mapeamento Riemanniano - um ponto alto da teoria da função em uma variável - não tem equivalente em dimensões superiores . Nem mesmo as duas generalizações naturais do disco circular unidimensional , a esfera unitária e o poli cilindro , são biolomorficamente equivalentes em várias dimensões . Uma grande parte da teoria da função de várias variáveis ​​lida com fenômenos de continuação (teorema da levitação de Riemann, teorema da bola de Hartogs, teorema de Bochner sobre regiões tubulares, teoria de Cartan-Thullen). A teoria da função de várias variáveis ​​complexas é usada, por exemplo, na teoria quântica de campos .

Geometria complexa

A geometria complexa é um ramo da geometria diferencial que usa métodos da teoria das funções. Em outras subáreas da geometria diferencial, como topologia diferencial ou geometria Riemanniana , variedades suaves são examinadas usando técnicas de análise real. Na geometria complexa, entretanto, variedades com estruturas complexas são examinadas. Em contraste com as variedades suaves, em variedades complexas é possível definir mapas holomórficos com a ajuda do operador Dolbeault . Essas variedades são então investigadas usando métodos da teoria das funções e geometria algébrica . Na seção anterior, foi explicado que existem grandes diferenças entre a teoria da função de uma variável e a teoria da função de várias variáveis. Essas diferenças também se refletem na geometria complexa. A teoria das superfícies de Riemann é um ramo da geometria complexa e lida exclusivamente com superfícies com uma estrutura complexa, ou seja, com variedades complexas unidimensionais. Esta teoria é mais rica do que a teoria das variedades complexas n-dimensionais.

Métodos de teoria de funções em outras subáreas matemáticas

Uma aplicação clássica da teoria das funções é a teoria dos números . Se alguém usa métodos da teoria das funções lá, chama-se essa área de teoria analítica dos números . Um resultado importante, por exemplo, é o teorema dos números primos .

Funções reais que podem ser expandidas em uma série de potências também são partes reais de funções holomórficas. Isso permite que essas funções sejam estendidas ao nível complexo. Por meio dessa extensão, muitas vezes podemos encontrar conexões e propriedades de funções que permanecem ocultas no real, por exemplo, a identidade de Euler . Aqui Sobre a abrir-se em numerosas aplicações física (por exemplo, na mecânica quântica a representação de funções de onda , bem como na eléctrica bidimensional corrente - tensão - diagramas ). Essa identidade também é a base para a forma complexa da série de Fourier e para a transformada de Fourier . Em muitos casos, eles podem ser calculados usando métodos da teoria das funções.

Para funções holomórficas, as partes reais e imaginárias são funções harmônicas , ou seja , elas satisfazem a equação de Laplace . Isso liga a teoria da função com as equações diferenciais parciais , ambas as áreas influenciam regularmente uma à outra.

A integral de caminho de uma função holomórfica é independente do caminho. Este foi historicamente o primeiro exemplo de invariância de homotopia . Muitas idéias de topologia algébrica surgiram desse aspecto da teoria das funções , começando com Bernhard Riemann.

Os meios funcionais desempenham um papel importante na teoria das álgebras de Banach complexas , sendo um exemplo típico o teorema de Gelfand-Mazur . O cálculo funcional holomórfico permite a aplicação de funções holomórficas a elementos de uma álgebra de Banach, um cálculo funcional holomórfico de várias variáveis também é possível.

Veja também

Frases importantes

• Teorema integral de Cauchy
• Conjunto de identidade
• Teorema da lealdade à área
• Teorema de Liouville
• Teorema de Morera
• Teorema de convergência de Weierstrasse
• Teorema da ilustração de Riemann

Mais frases

• Lema do Negro
• Princípio de reflexão de Schwarz
• Lema de Schwarz-Pick

Funções inteiras

• Função exponencial
• Funções trigonométricas
• Funções hiperbólicas

Funções meromórficas

• Função gama
• Funções elípticas

literatura

• Lars Ahlfors : Complex Analysis . McGraw-Hill, 1953. 
• Heinrich Behnke , Friedrich Sommer: Teoria das funções analíticas de uma variável complexa . 3. Edição. Springer, Berlin 1976, ISBN 978-3-540-07768-8 . 
• Ludwig Bieberbach : Livro didático da teoria das funções . 2 volumes. Teubner, 1923. 
• Rolf Busam, Eberhard Freitag : Teoria da Função 1 . 4ª edição. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-31764-3 . 
• Heinrich Durege: Elementos da teoria das funções de uma quantidade variável complexa . 1-5 Edição. Teubner ( archive.org - 1882–1906). 
• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: teoria da função . 8ª edição. Vieweg, Braunschweig 2003, ISBN 3-528-77247-6 . 
• Joseph Anton Gmeiner, Otto Stolz : Introdução à Teoria da Função . Volumes 1. e 2. Teubner, 1904. 
• Klaus Jänich : Teoria da Função . 6ª edição. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20392-3 . 
• William Fogg Osgood : Livro de Teoria da Função . Volumes 1.2.3. Teubner, 1923 ( hti.umich.edu ). 
• Alfred Pringsheim : Palestras sobre teoria funcional . Teubner, 1925 (ponto de vista da Weierstrasse). 
• Reinhold Remmert , Georg Schumacher: teoria das funções 1 . 5ª edição. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-59075-7 . 
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: teoria das funções 2 . 3. Edição. Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-40432-5 . 
• Volker Scheidemann: Introdução à análise complexa em várias variáveis . Birkhäuser, Basel 2005, ISBN 3-7643-7490-X . 
• Ian Stewart , David Tall: Complex Analysis . Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-24513-3 . 
• Carl Johannes Thomae : Teoria elementar das funções analíticas de uma variável complexa . Nebert, Halle (Saale) 1898 ( resolver.library.cornell.edu ). 

Links da web