iteração

Iteração (do latim iterare , repetir ') geralmente descreve um processo de repetir as mesmas ações ou ações semelhantes várias vezes para abordar uma solução ou um objetivo específico. Com esse significado usado pela primeira vez em matemática, o termo agora é usado em vários campos com um significado semelhante. Na ciência da computação, por exemplo, não apenas o processo de repetição, mas também o que se repete é denominado iteração. Em outras áreas, o significado é limitado à repetição, como na palavra inicial em latim, por exemplo, em linguística.

Sistemas dinâmicos

Em matemática , especialmente na teoria dos sistemas dinâmicos , iteração é a aplicação repetida da mesma função, ou seja, a formação (composição) de

${\ displaystyle f ^ {n}: = \ underbrace {f \ circ f \ circ \ dotsb \ circ f} _ {n {\ text {mal}}}}$

para uma determinada função em um conjunto (um espaço) . ${\ displaystyle f \ colon X \ to X}$${\ displaystyle X}$

A teoria dos sistemas dinâmicos lida em particular com o comportamento de longo prazo das órbitas de pontos sob tais iterações. ${\ displaystyle \ left \ {f ^ {n} (x) \ right \}}$${\ displaystyle x \ in X}$

exemplo

Considere a função quadrática ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$.

Então (não confundir com ) e pode-se investigar o comportamento de longo prazo de diferentes órbitas: para converge para o ponto fixo 0, para se aplica , pois a sequência é constante e também para a sequência permanece constante desde a primeira iteração. ${\ displaystyle f ^ {n} (x) = x ^ {2 ^ {n}}}$${\ displaystyle (f (x)) ^ {n} = x ^ {2n}}$${\ displaystyle \ vert x \ vert <1}$${\ displaystyle f ^ {n} (x)}$${\ displaystyle x> 1}$${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f ^ {n} (x) = \ infty}$${\ displaystyle x = 1}$${\ displaystyle x = -1}$

Grafia diferente

Devido à possibilidade de confusão, as grafias são ocasionalmente encontradas na literatura

para potência :	${\ displaystyle f ^ {\; \! 0}}$	${\ displaystyle: = \ mathrm {1}}$	e	${\ displaystyle f ^ {\; \! n + 1}}$	${\ displaystyle: = f \ cdot f ^ {\; \! n}}$	( sem parênteses sobrescritos)
para a derivação :	${\ displaystyle f ^ {(0)}}$	${\ displaystyle: = f}$	e	${\ displaystyle f ^ {(n + 1)}}$	${\ displaystyle: = (f ^ {(n)}) '}$	(com suporte redondo levantado ),
para a iteração:	${\ displaystyle f ^ {\ langle {0} \ rangle}}$	${\ displaystyle: = \ mathrm {id} _ {X}}$	e	${\ displaystyle f ^ {\ langle {n + 1} \ rangle}}$	${\ displaystyle: = f \ circ f ^ {\ langle {n} \ rangle}}$	(com colchetes pontiagudos levantados). ${\ displaystyle \ langle \ rangle}$

Então por exemplo

${\ displaystyle \ sin ^ {2} + \ cos ^ {2} = 1}$	dois poderes (quadrados), é
${\ displaystyle \ sin ^ {(2)} = - \ sin}$	a segunda derivada e
${\ displaystyle \ sin ^ {\ langle {-} 1 \ rangle} = \ arcsin}$	a função inversa (menos a primeira iteração)

a função seno.

matemática numérica

Em matemática numérica , a iteração descreve um método de abordagem gradual da solução exata de um problema computacional ( aproximação sucessiva ). Consiste no uso repetido do mesmo método de cálculo.

Os resultados de uma etapa são considerados os valores iniciais para a próxima etapa. A seqüência de resultados deve convergir . Se a diferença com a etapa de cálculo anterior for menor do que o erro aceito, o resultado foi determinado com precisão suficiente e o método foi encerrado. Um dos exemplos mais conhecidos é o método de Newton . Às vezes, os resultados de duas ou mais etapas anteriores são usados ​​na próxima etapa, por exemplo, com o Regula falsi .

A velocidade de convergência é uma medida de quão útil é o método de iteração.

Aplicação do método

• A iteração é usada nos casos em que o resultado não pode ser calculado na forma fechada, por exemplo com a equação de Kepler , o cálculo da forma da superfície de uma lente asférica ou a distribuição de calor em uma placa de circuito.
• Sistemas de equações lineares podem ser resolvidos iterativamente sob certas condições.
• No caso de problemas de aplicação, os dados de entrada podem conter erros, caso em que a “solução exata” do problema dado não é necessariamente melhor do que sua aproximação. O método de iteração é preferível se fornecer uma boa aproximação mais rápido do que o cálculo da solução exata leva.
• Algumas funções em calculadoras de bolso ou fractais são calculadas iterativamente.

Exemplo: Determinação de zeros de uma função contínua

Aproximações em zeros de uma função contínua , se houver, são frequentemente encontradas iterativamente mais rapidamente do que com outros métodos algébricos (por exemplo, como uma expressão fechada):

1. Escolhe-se dois valores aproximados para o zero da função de tal forma que seja.${\ displaystyle x_ {1}, \, x_ {2}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (x_ {1}) \ cdot f (x_ {2}) <0}$
2. Estabelece-se a equação da secante dada por e .${\ displaystyle (x_ {1}; f (x_ {1}))}$${\ displaystyle (x_ {2}; f (x_ {2}))}$
3. A interseção da secante com o eixo x é, então, uma aproximação "melhor" para o zero pesquisado de .${\ displaystyle x_ {3} = x_ {1} - {\ frac {x_ {2} -x_ {1}} {f (x_ {2}) - f (x_ {1})}} \ cdot f (x_ {1})}$${\ displaystyle f}$
4. As duas etapas anteriores são repetidas até que o ponto zero seja encontrado com a precisão desejada ( Regula falsi ).

Ciência da Computação

Além da resolução de problemas matemáticos iterativos, a ciência da computação também fala de iteração, se

• o acesso aos dados de uma estrutura de dados ocorre passo a passo (repetido da mesma forma), por exemplo, por meio de um loop FOREACH .
  Um ponteiro especial para os objetos individuais é chamado de iterador se mudar (geralmente automaticamente) após cada acesso à próxima data / objeto na estrutura de dados.
• um bloco de instrução (o chamado "corpo de loop") - controlado por instruções de controle de loop - é executado repetidamente ; cada execução é uma iteração do circuito . Este tipo de programação é conhecido como programação iterativa .
  Está em contraste com a programação recursiva , na qual o bloco de instruções é inserido em um procedimento e suas repetições são formuladas por chamadas (self) recursivas.

linguística

Lingüisticamente, iterativo denota o tipo de ação de um verbo que expressa uma ocorrência que consiste em processos semelhantes repetidamente repetidos, por exemplo, B. de esvoaçar , rastejar ou cutucar . Esses verbos repetitivos também são chamados de iterativos .

No caso da formação de palavras, a iteração é usada quando as mesmas partes da palavra ou semelhantes são repetidas duas ou mais vezes, por exemplo, na tataravó (consulte também reduplicação ou triplicação ).

Desenvolvimento de software

No desenvolvimento de software , uma iteração descreve um único ciclo de desenvolvimento , começando com planejamento, análise ou design e terminando com implementação, teste ou manutenção , dependendo do modelo de processo . As iterações desempenham um papel especial na Extreme Programming e no Rational Unified Process . No Scrum é um processo iterativo vem para o desenvolvimento de produtos são usados. Fala-se aqui de ciclos de feedback em todas as fases de planejamento, implementação, revisão e ajuste.

História

Em estudos históricos, iteração denota o exercício repetido do mesmo escritório no oficial de carreira do a República Romana . Após o Mos maiorum , a iteração foi mal vista. No consulado , o múltiplo, em casos excepcionais também imediatamente consecutivo, vestimenta do ofício ocorria desde o início da república; desde a reforma constitucional do ditador Sulla em 82 aC Chr. Repetidas roupas do consulado só foram permitidas depois de dez anos. Juntamente com os princípios de colegialidade e anuidade, a proibição de iteração era o meio mais importante de impedir que os funcionários públicos ganhassem um nível perigoso de poder.

Na crise da república em particular , a iteração ocorreu repetidamente: os exemplos mais conhecidos são Gaius Sempronius Gracchus , que queria ser eleito tribuno por três anos consecutivos , e Gaius Marius , que ocupou o consulado por cinco anos consecutivos ( 104 a 100 aC). E exerceu um total de sete vezes, assim como Caio Júlio César , que dirigiu o consulado em 59, 48, 46, 45 e 44 aC. Clad. No período imperial de Augusto em diante, a iteração do consulado era um sinal de uma posição sócio-política proeminente. Os consulados que se sucediam só existiam para membros da família imperial.

filosofia

Jacques Derrida introduziu a iteração na linguagem da filosofia . "Iteração" aqui descreve a repetição de um termo no discurso filosófico e social. De acordo com Derrida, a cada iteração de um termo, seu significado muda, de forma que o mesmo significado nunca é reproduzido como quando o termo foi usado antes. Em vez disso, cada iteração resulta em uma variação de significado que adiciona algo e enriquece o termo original. Portanto, não pode haver definição original de termos aos quais se possa rastrear seu significado.

Economia da construção

Na economia da construção , um processo iterativo é a abordagem passo a passo dos objetivos de construção originais para a implementação viável.

Teoria da construção

Na teoria do design , fala-se de uma abordagem iterativa , às vezes também de busca iterativa , quando a abordagem para encontrar uma solução é que a solução seja gradualmente aprimorada com base na inspiração do designer.

gestão

Em gerenciamento , a iteração é uma forma de lidar com as incertezas e surpresas em situações complexas. Em caso de mudanças, o curso dos projetos ou o efeito das ações nem sempre podem ser previstos. Considerar qualquer gerenciamento de mudança como um "grande plano" com objetivos inamovíveis leva, na maioria dos casos, a surpresas para as quais os planejadores e implementadores não estão preparados. Isso não significa desistir de planos, mas sim apenas ter certeza, por enquanto, sobre sua própria abordagem. O pensamento de projeto causal linear é substituído por uma abordagem iterativa : ao investigar objetivos, interesses e constelações de poder, a ambigüidade é gradualmente reduzida, a aceitação alcançada, o efeito gerado e a rotina estabelecida. A ordem dos tópicos e conteúdos só surge no decorrer da mudança. "Um processo iterativo de interpretação inicial e design, implementação e improvisação, aprendendo com o esforço de mudança e, em seguida, compartilhando esse aprendizado em todo o sistema, levando à contínua reinterpretação e redesenho da mudança conforme necessário." (Anthony F. Buono / Kenneth W Kerber : Construindo Capacidade de Mudança Organizacional).

Links da web

Evidência individual

1. ↑ Helmut Glück (ed.), Com a ajuda de Friederike Schmöe : Metzler Lexikon Sprach . 4ª edição atualizada e revisada. Verlag JB Metzler, Stuttgart / Weimar 2010, ISBN 3-476-02335-4 . Palavras-chave: iteração , iterativa .
2. ↑ Jacques Derrida: Contexto do evento de assinatura. In: Peter Engelmann (Ed.): Randgang der Philosophie , Passagen, Viena 1988. Ver também Jacques Derrida: Limited Inc. Passagen, Viena 2001. Embora Derrida tenha popularizado o termo, Edmund Husserl já usava o termo (mais ou menos terminológico) usado : por exemplo, nas palestras sobre a fenomenologia da consciência do tempo interior : “O continuum constituinte do tempo é um fluxo de produção constante de modificações e modificações. Partindo do atual agora, a respectiva impressão original u, as modificações procedem no sentido de iterações, mas progressivamente para a frente; não são apenas modificações em relação a u, mas também modificações sucessivas umas das outras na ordem em que ocorrem. "(P. 451, online na Universidade de Freiburg ).
3. ^ Robert Fischer, Peter Schwer: Módulos para a casa do futuro . VDF Hochschulverlag AG em ETH Zurich e Interact Verlag, Hochschule Luzern, Luzern 2009, p. 14, ISBN 978-3-7281-3286-4 (VDF) ou ISBN 978-3-906413-72-3 (interagir), livros online no google .
4. ↑ Markus Bürger, Michael Dambacher, entre outros: Teoria da construção - engenharia mecânica . Verlag Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten 2009, página 11, ISBN 978-3-8085-1400-9 , fs-fachbuch.at (PDF).
5. ↑ Faculdade de Pesquisa e Treinamento Interdisciplinar (PDF) University of Klagenfurt, acessado em 25 de abril de 2019.