Dodecaedro

Dodecaedro pentágono regular
Tipo de superfícies laterais	pentágonos regulares
Número de faces	12º
Número de cantos	20o
Número de arestas	30º
Ícone Schläfli	{5.3}
dual para	Icosaedro
Rede corporal
Número de redes diferentes	43380
Número de arestas em um canto	3
Número de cantos de uma superfície	5

O dodecaedro [ ˌdodekaʔeːdɐ ] (do grego. Dodecaedro ; dt. E (as) Doze planas ) é um corpo com doze faces. Normalmente entende-se um sólido platônico , ou seja, o pentágono regular dodecaedro , um sólido com

• 12 pentágonos regulares congruentes
• 30 arestas de igual comprimento, cada uma das quais é o lado de dois pentágonos
• 20 cantos, em cada um dos quais três desses pentágonos se encontram

Mas também existem outros dodecaedros de alta simetria .

O dodecaedro pentágono regular

Por causa de sua alta simetria - todos os cantos , arestas e superfícies são semelhantes entre si - o dodecaedro é um poliedro regular . Tem:

• 6 eixos quíntuplos de rotação (através dos centros de duas superfícies opostas )${\ displaystyle C_ {5}}$
• 10 eixos triplos de rotação (através de cantos opostos)${\ displaystyle C_ {3}}$
• 15 eixos duplos de rotação (através dos centros de bordas opostas)${\ displaystyle C_ {2}}$
• 15 planos de simetria (devido às bordas opostas e paralelas )

e é

• ponto simétrico (ponto de reflexão em relação ao centro do dodecaedro)

No total, o grupo de simetria do dodecaedro - o grupo do dodecaedro ou grupo do icosaedro  - possui 120 elementos. As 60 simetrias de manutenção da orientação correspondem ao grupo alternado . Às vezes, esse subgrupo também é chamado de grupo icosaédrico . O grupo de simetria completo é isomórfico ao produto direto . O fato de o produto ser direto pode ser visto pelo fato de que o ponto de reflexão no ponto central comuta com as rotações . ${\ displaystyle A_ {5}}$ ${\ displaystyle A_ {5} \ times C_ {2}}$

A simetria do dodecaedro não é compatível com uma estrutura espacial periódica devido aos cinco eixos de simetria que ocorrem aqui (ver lado a lado ). Portanto, não pode haver estrutura de cristal com simetria icosaédrica (ver quasicristais ).

estrutura

O icosaedro é o poliedro dual do dodecaedro e vice-versa.

Com a ajuda do dodecaedro e do icosaedro , podem ser construídos vários corpos que também possuem o grupo do dodecaedro como um grupo de simetria . Então você consegue, por exemplo

• o dodecaedro truncado com 12 decágonos e 20 triângulos truncando os cantos de um dodecaedro
• o icosidodecaedro com 12 pentágonos e 20 triângulos
• o icosaedro truncado (bola de futebol) com 12 pentágonos e 20 hexágonos como a interseção de um dodecaedro com um icosaedro (ver sólidos arquimedianos , fulerenos )
• e o triacontaedro rômbico com 12 + 20 = 32 cantos e 30 losangos como faces . É criado colocando pirâmides retas no dodecaedro, das quais duas faces laterais se complementam, ou seja, H. situam-se em um plano e têm uma vantagem em comum.

Das arestas do dodecaedro, 3 pares de arestas opostas podem ser selecionados de modo que esses pares abranjam 3 retângulos congruentes que são ortogonais entre si em pares . Os 8 cantos restantes formam então os cantos de um cubo inscrito no dodecaedro. Há um total de cinco dessas posições, cada aresta do dodecaedro pertencendo a exatamente uma dessas posições e cada vértice sendo o ponto de canto de dois cubos inscritos . O grupo de simetria do dodecaedro causa todos os 5! = 120 permutações dessas cinco posições ou cubos.

Uma vez que as arestas do cubo Inscribed são diagonais dos pentágonos, o rácio dos comprimentos das bordas da dodecaedro e que corresponde de um cubo inscritos para o dourado proporção .

Fórmulas

Tamanhos de um dodecaedro com comprimento de borda a
volume	${\ displaystyle V = {\ frac {a ^ {3}} {4}} \ cdot \ left (15 + 7 \ cdot {\ sqrt {5}} \ right) \ approx 7 {,} 663 \ cdot a ^ {3}}$	sem ângulos sólidos nos cantos${\ displaystyle \ Omega}$
Superfície	${\ displaystyle A_ {O} = 3 \ cdot a ^ {2} \ cdot {\ sqrt {5 \ cdot \ left (5 + 2 \ cdot {\ sqrt {5}} \ right)}} \; \ aprox. 20 {,} 646 \ cdot a ^ {2}}$
Umkugelradius	${\ displaystyle r_ {u} = {\ frac {a} {4}} \ cdot {\ sqrt {3}} \ cdot \ left (1 + {\ sqrt {5}} \ right) \ aprox 1 {,} 401 \ cdot a}$
Raio da esfera da borda	${\ displaystyle r_ {k} = {\ frac {a} {4}} \ cdot \ left (3 + {\ sqrt {5}} \ right) \ aprox. 1 {,} 309 \ cdot a}$
Raio da esfera Inc	${\ displaystyle r_ {i} = {\ frac {a} {20}} \ cdot {\ sqrt {250 + 110 {\ sqrt {5}}}} \ approx 1 {,} 114 \ cdot a}$
Razão de volume  para volume da esfera	${\ displaystyle {\ frac {V} {V_ {UK}}} = {\ frac {\ sqrt {15}} {6 \ cdot \ pi}} \ cdot \ left (1 + {\ sqrt {5}} \ direita) \ aprox 0 {,} 665}$
Ângulo interno do pentágono regular	${\ displaystyle \ alpha = 108 ^ {\ circ}}$
Ângulo entre faces adjacentes	${\ displaystyle \ beta = \ arccos \ left (- {\ frac {\ sqrt {5}} {5}} \ right) \ approx 116 ^ {\ circ} \; 33 ^ {\ prime} \; 54 ^ { \ prime \ prime}}$
Ângulo entre a borda e a face	${\ displaystyle \ gamma = \ arccos \ left (- {\ sqrt {{\ frac {1} {10}} \ cdot \ left (5 - {\ sqrt {5}} \ right)}} \ right)}$  ${\ displaystyle \ approx 121 ^ {\ circ} \; 43 ^ {\ prime} \; 3 ^ {\ prime \ prime}}$
Ângulos sólidos nos cantos	${\ displaystyle \ Omega = \ arccos \ left (- {\ frac {11} {25}} \ cdot {\ sqrt {5}} \ right) \ approx 2 {,} 962 \; \ mathrm {sr}}$
Esfericidade	${\ displaystyle \ Psi = {\ frac {\ sqrt [{3}] {180 \, \ pi \ left (47 + 21 {\ sqrt {5}} \ right)}} {6 {\ sqrt {\ left ( 25 + 10 {\ sqrt {5}} \ right)}}}} \ approx 0 {,} 91}$

Cálculo do dodecaedro regular

volume

O dodecaedro consiste em doze pirâmides de cinco lados montadas.

Para uma pirâmide e, portanto, para um duodécimo do dodecaedro se aplica

${\ displaystyle V_ {p} = {\ frac {1} {3}} \ cdot A_ {Gp} \ cdot h_ {p},}$

aí está a base ( pentágono regular )

${\ displaystyle A_ {Gp} = {\ frac {a ^ {2}} {4}} \ cdot {\ sqrt {25 + 10 \ cdot {\ sqrt {5}}}}}$

e a altura da pirâmide é igual ao raio da esfera${\ displaystyle h_ {p}}$ ${\ displaystyle r_ {i}}$

${\ displaystyle h_ {p} = {\ frac {a} {20}} \ cdot {\ sqrt {250 + 110 {\ sqrt {5}}}},}$

a partir disso segue com variáveis inseridas para o volume do dodecaedro

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} V & = 12 \ cdot \ left ({\ frac {1} {3}} \ cdot {\ frac {a ^ {2}} {4}} \ cdot {\ sqrt { 25 +10 \ cdot {\ sqrt {5}}}} \ cdot {\ frac {a} {20}} \ cdot {\ sqrt {250 + 110 {\ sqrt {5}}}} \ right) = {\ frac {12} {3}} \ cdot {\ frac {1} {4}} \ cdot {\ frac {1} {20}} \ cdot {\ sqrt {25 + 10 \ cdot {\ sqrt {5}} }} \ cdot {\ sqrt {250 + 110 {\ sqrt {5}}}} \ cdot a ^ {3} \\ & = {\ frac {1} {20}} \ cdot {\ sqrt {\ left ( 25 +10 \ cdot {\ sqrt {5}} \ right) \ cdot \ left (250 + 110 {\ sqrt {5}} \ right)}} \ cdot a ^ {3} \; \ Rightarrow \\ & = {\ frac {a ^ {3}} {4}} \ cdot \ left (15 + 7 \ cdot {\ sqrt {5}} \ right) \ approx 7 {,} 663 \ cdot a ^ {3} \; \ end {alinhado}}}$

Superfície

O seguinte se aplica à área de superfície do dodecaedro (doze pentágonos regulares) ${\ displaystyle A_ {O}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} A_ {O} & = 12 \ cdot {\ frac {a ^ {2}} {4}} \ cdot {\ sqrt {25 + 10 \ cdot {\ sqrt {5}} }} \ cdot a ^ {2} \; \\ & = 3 \ cdot a ^ {2} \ cdot {\ sqrt {25 + 10 \ cdot {\ sqrt {5}}}} = 3 \ cdot a ^ { 2} \ cdot {\ sqrt {5 \ cdot \ left (5 + 2 \ cdot {\ sqrt {5}} \ right)}} \; \ approx 20 {,} 646 \ cdot a ^ {2} \; \ fim {alinhado}}}$

Ângulo entre faces adjacentes

Este ângulo, marcado com (veja a figura nas fórmulas ), tem seu ápice em uma das bordas do dodecaedro. Ele pode ser determinado usando o seguinte triângulo retângulo . ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle MBC}$

Os comprimentos laterais deste triângulo são: o mesmo que o raio da esfera da aresta que a hipotenusa, o mesmo que o raio do incircle como o lado grande e o mesmo que o raio do incircle do pentágono regular como o lado pequeno. ${\ displaystyle {\ overline {MB}}}$${\ displaystyle r_ {k}}$${\ displaystyle {\ overline {MC}}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle {\ overline {BC}}}$${\ displaystyle r_ {i5} = {\ frac {a} {10}} \ cdot {\ sqrt {25 + 10 \ cdot {\ sqrt {5}}}}}$

O seguinte se aplica ao ângulo${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \; \ cos {\ frac {\ beta} {2}} & = {\ frac {r_ {i5}} {r_ {k}}} = {\ frac {{\ frac {a} {10}} \ cdot {\ sqrt {25 + 10 \ cdot {\ sqrt {5}}}}} {{\ frac {a} {4}} \ cdot \ left (3 + {\ sqrt { 5}} \ direita)}} = {\ frac {2 \ cdot {\ sqrt {25 + 10 \ cdot {\ sqrt {5}}}}} {5 \ cdot \ left (3 + {\ sqrt {5} } \ right)}} = {\ sqrt {{\ frac {1} {10}} \ left (5 - {\ sqrt {5}} \ right)}} \; \ Rightarrow \\\ cos \ beta & = \ cos \ left (\ arccos \ left ({\ sqrt {{\ frac {1} {10}} \ left (5 - {\ sqrt {5}} \ right)}} \ right) \ cdot 2 \ right) = - {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ Rightarrow \\\ beta & = \ arccos \ left (- {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ right) \ aprox. 116 ^ {\ circ} \; 33 ^ {\ prime} \; 54 ^ {\ prime \ prime} \; \ end {alinhado}}}$

Ângulo entre a borda e a face

Este ângulo, denotado por , tem seu ápice em um canto do dodecaedro. ${\ displaystyle \ gamma}$

É, como na ilustração (ver figura nas fórmulas ), o ângulo z. B. procurou no canto , então pode ser determinado com a ajuda dos triângulos retângulos e . Sua hipotenusa comum , igual ao raio da esfera , divide o ângulo em ângulos que não são mostrados, ou assim se aplica${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle DMC}$${\ displaystyle MDE}$${\ displaystyle {\ overline {MD}}}$${\ displaystyle r_ {u}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$${\ displaystyle \ gamma _ {2};}$${\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {1} + \ gamma _ {2}.}$

As pernas do triângulo com um ângulo são :, igual ao raio da esfera , como uma perna grande e , igual ao raio circunferencial do pentágono regular , como uma perna pequena. ${\ displaystyle DMC}$${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$${\ displaystyle {\ overline {MC}}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle {\ overline {CD}}}$${\ displaystyle r_ {u5} = {\ frac {a} {10}} \ cdot {\ sqrt {50 + 10 \ cdot {\ sqrt {5}}}}}$

As pernas do triângulo com um ângulo são :, igual ao raio da esfera da borda , como uma perna grande e , igual à metade do lado , como uma perna pequena. ${\ displaystyle MDE}$${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$${\ displaystyle {\ overline {ME}}}$${\ displaystyle r_ {k}}$${\ displaystyle {\ overline {DE}}}$${\ displaystyle {\ frac {a} {2}}}$

O seguinte se aplica aos ângulos do triângulo${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$${\ displaystyle DMC}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathsf {(1)}} \; \ cos \ gamma _ {1} & = {\ frac {r_ {u5}} {r_ {u}}} = {\ frac {{\ frac {a} {10}} \ cdot {\ sqrt {50 + 10 \ cdot {\ sqrt {5}}}}} {{\ frac {a} {4}} \ cdot {\ sqrt {3 }} \ cdot \ left (1 + {\ sqrt {5}} \ right)}} = {\ sqrt {{\ frac {2} {15}} \ cdot \ left (5 - {\ sqrt {5}} \ right)}}, \; \ end {alinhado}}}$

para ângulos do triângulo aplica-se ${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$${\ displaystyle MDE}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathsf {(2)}} \; \ cos \ gamma _ {2} & = {\ frac {\ frac {a} {2}} {r_ {u}}} = {\ frac {\ frac {a} {2}} {{\ frac {a} {4}} \ cdot {\ sqrt {3}} \ cdot \ left (1 + {\ sqrt {5}} \ right )}} = {\ sqrt {{\ frac {1} {6}} \ cdot \ left (3 - {\ sqrt {5}} \ right)}}, \; \ end {alinhado}}}$

o teorema de adição para a função de arco dá o ângulo${\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {1} + \ gamma _ {2}}$

${\ displaystyle \ arccos x + \ arccos y = \ arccos \ left (xy - {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ cdot {\ sqrt {1-y ^ {2}}} \ right)}$

depois de inserir os valores relevantes ( ) se aplica ${\ displaystyle x = \ cos \ gamma _ {1}, \; y = \ cos \ gamma _ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathsf {(3)}} \; \ gamma & = \ arccos \ left (\ cos \ gamma _ {1} \ cdot \ cos \ gamma _ {2} - {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ gamma _ {1}}} \ cdot {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ gamma _ {2}}} \ right) \\ & = \ arccos \ left ({\ sqrt {{\ frac {2} {15}} \ cdot \ left (5 - {\ sqrt {5}} \ right)}} \ cdot {\ sqrt {{\ frac {1} {6} } \ cdot \ left (3 - {\ sqrt {5}} \ right)}} - {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {2} {15}} \ cdot \ left (5 - {\ sqrt {5}} \ right) \ right)}} \ cdot {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {1} {6}} \ cdot \ left (3 - {\ sqrt {5}} \ right) \ right)}} \ right) \\ & = \ arccos \ left ({\ frac {2} {3}} \ cdot {\ sqrt {{\ frac {1} {5}} \ cdot \ left (5- 2 \ cdot {\ sqrt {5}} \ right)}} - {\ frac {1} {30}} \ cdot {\ sqrt {\ left (25 + 11 \ cdot {\ sqrt {5}} \ right) \ cdot 10}} \ right) \\ & = \ arccos \ left (- {\ sqrt {{\ frac {1} {10}} \ cdot \ left (5 - {\ sqrt {5}} \ right)} } \ right) \; \ approx 121 ^ {\ circ} \; 43 ^ {\ prime} \; 3 ^ {\ prime \ prime}. \ end {alinhado}}}$

Ângulos sólidos nos cantos

A fórmula a seguir, descrita em sólidos platônicos , mostra uma solução para o ângulo sólido${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ Omega = 2 \ pi -2n \ cdot \ arcsin \ left (\ cos \ left ({\ frac {\ pi} {n}} \ right) \ cdot {\ sqrt {\ tan ^ {2} \ esquerda ({\ frac {\ pi} {n}} \ direita) - \ tan ^ {2} \ esquerda ({\ frac {\ alpha} {2}} \ direita)}} \ direita)}$

Com o número de arestas / faces em um canto e o ângulo interno do pentágono regular, o seguinte se aplica ${\ displaystyle {n = 3}}$${\ displaystyle {a = 108 ^ {\ circ}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ mathsf {(1)}} \; \ Omega & = 2 \ pi -2 \ cdot 3 \ cdot \ arcsin \ left (\ cos \ left ({\ frac {\ pi } {3}} \ right) \ cdot {\ sqrt {\ tan ^ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {3}} \ right) - \ tan ^ {2} \ left ({\ frac {108 ^ {\ circ}} {2}} \ right)}} \ right) \ Rightarrow \\ & = 2 \ pi -6 \ cdot \ arcsin {\ left ({\ sqrt {\ frac {5 - {\ sqrt {5}}} {10}}} \ right)} \ approx 2 {,} 961739154 \; \ mathrm {sr}. \ end {alinhado}}}$

Por causa disso ${\ displaystyle \ cos (\ arcsin x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathsf {(2)}} \; \ cos (\ arcsin x) & = {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {5 - {\ sqrt {5} }} {10}} \ right)}} \; \ Rightarrow \\\ end {alinhado}}}$

utilizado em e formado ${\ displaystyle {\ mathsf {(2)}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {(1)}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ mathsf {(3)}} \; \ Omega & = 2 \ pi -6 \ cdot \ arccos \ left ({\ sqrt {{\ frac {1} {10}} \ cdot \ left (5 + {\ sqrt {5}} \ right)}} \ right) \ approx 2 {,} 961739154 \; \ mathrm {sr}. \ end {alinhado}}}$

simplificação

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ mathsf {(4)}} \; \ cos \ Omega & = \ cos \ left (2 \ pi -6 \ cdot \ arccos \ left ({\ sqrt {{\ frac {1} {10}} \ cdot \ left (5 + {\ sqrt {5}} \ right)}} \ right) \ right) = - {\ frac {11} {5 \ cdot {\ sqrt {5} }}} = - {\ frac {11 \ cdot {\ sqrt {5}}} {25}} \ Rightarrow \\\ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathsf {(5)}} \; \ Omega & = \ arccos \ left (- {\ frac {11 \ cdot {\ sqrt {5}}} {25}} \ direita) = \ pi - \ arcsin \ left ({\ frac {2 \ cdot {\ sqrt {5}}} {25}} \ right) \ approx 2 {,} 9617391546 \; \ mathrm {sr}. \ end {alinhado}}}$

Formulários

• Algumas cúpulas geodésicas são poliedros derivados do dodecaedro pela divisão adicional dos pentágonos em triângulos isósceles .
• Existem dados dodecaédricos .
• Os dodecahedra também são usados ​​como lixeiras originais para reciclagem , por exemplo, em Paris.
• Na acústica de edifícios , são utilizados alto-falantes dodecaédricos para obter a melhor característica omnidirecional possível.
• Em vez de uma bola de vidro, painéis de cristal de doze lados são usados ​​para iluminar a sala.
• O propósito do dodecaedro do pentágono romano ainda não está claro hoje.

• Um dodecaedro também pode ser usado como calendário anual : cada mês tem seu próprio pentágono .
• Tanto o Megaminx quanto a Estrela de Alexandre são variantes do Cubo de Rubik na forma de um dodecaedro como um quebra - cabeça tridimensional .
• Nas escolas Waldorf , a pedra angular tradicionalmente colocada no portal de entrada de todas as escolas é um pentágono dodecaedro de cobre.

Diversos

• No filme de ficção científica Contact (1997), a esfera de transporte está inserida em uma grade que tem a forma de um dodecaedro.
• No jogo de computador The Dig (1995), a nave alienígena tem a forma de um dodecaedro.
• 

  Um dodecaedro como um dado

• 

  Megaminx , uma variante do cubo de Rubik

• 

  Um dodecaedro como uma poinsétia da exposição "Estrelas - não apenas na época do Natal" no Museu de Culturas Européias em Berlim

• 

  Dodecaedro romano no Museu do Estado de Württemberg , Stuttgart

O dodecaedro pentagonal cúbico

O dodecaedro pentagonal cúbico também tem 12 faces , 20 cantos e 30 arestas. Mas as superfícies não são regulares. Cada uma das 12 faces é um pentágono com quatro arestas mais curtas e uma mais longa. O poliedro tem um total de 24 arestas curtas e 6 arestas mais longas. Os 8 cantos amarelos da imagem formam um cubo. Na natureza, a pirita (FeS ₂ ) às vezes ocorre nesta forma. É por isso que o dodecaedro do pentágono cúbico também é chamado de dodecaedro de pirita ou dodecaedro de pirita. Nos cristais , os eixos quíntuplos, como o dodecaedro pentagonal regular, são impossíveis porque não há preenchimento superficial periódico sem intervalos com simetria quíntupla . Um dodecaedro pentagonal regular só é concebível para "cristais" não estritamente periódicos, ou seja , quasicristais .

Redes do dodecaedro

O dodecaedro possui 43.380 redes . Isso significa que existem 43380 maneiras de desdobrar um dodecaedro oco, cortando 19 arestas e espalhando-as no plano . As outras 11 bordas conectam cada uma os 12 pentágonos regulares da malha. Para colorir um dodecaedro de modo que nenhuma face vizinha seja da mesma cor, você precisa de pelo menos 4 cores.

Gráficos, gráficos duais, ciclos, cores

O dodecaedro possui um grafo planar não direcionado com 20 nós , 30 arestas e 12 regiões atribuídas a ele, que é 3- regular , ou seja, 3 arestas começam em cada nó, de modo que o grau é igual a 3 para todos os nós. No caso de grafos planos, o arranjo geométrico exato dos nós é insignificante. É importante, no entanto, que as bordas não tenham que se cruzar. Os nós deste gráfico do dodecaedro correspondem aos cantos do dodecaedro.

Os nós do grafo do dodecaedro podem ser coloridos com 3 cores para que os nós vizinhos sejam sempre coloridos de forma diferente. Isso significa que o número cromático deste gráfico é igual a 3 (veja a coloração dos nós ). Além disso, as bordas podem ser coloridas com 3 cores para que as bordas adjacentes sempre tenham cores diferentes. Isso não é possível com 2 cores, de modo que o índice cromático para a coloração das bordas é 3 (a imagem à direita ilustra essas cores).

O grafo dual ( grafo icosaédrico) com 12 nós , 30 arestas e 20 áreas é útil para determinar o número necessário de cores para as superfícies ou áreas . Os nós deste gráfico são atribuídos um a um (bijetivo) às áreas do gráfico dodecaédrico e vice-versa (ver função e figura do bijetivo ). Os nós do gráfico icosaédrico podem ser coloridos com 4 cores para que os nós vizinhos sejam sempre coloridos de forma diferente, mas não com 3 cores, de modo que o número cromático do gráfico icosaédrico seja 4. Disto se pode concluir indiretamente: Como o número cromático é igual a 4, 4 cores são necessárias para tal coloração da superfície do dodecaedro ou uma coloração das áreas do gráfico do dodecaedro.

As 19 arestas de corte de cada rede (veja acima) junto com os cantos ( nós ) formam uma árvore geradora do grafo do dodecaedro. Cada rede corresponde exatamente a uma árvore geradora e vice-versa, de forma que haja uma atribuição um-a-um ( bijetiva ) entre as redes e as árvores geradoras. Se você considerar uma rede de dodecaedros sem a área externa como um gráfico, você obtém um gráfico dual com uma árvore com 12 nós e 11 arestas e o grau máximo de nós 3. Cada área do dodecaedro é atribuída a um nó da árvore . Nem todas as constelações teóricas de grafos (ver isomorfismo de grafos ) de tais árvores ocorrem, mas algumas ocorrem mais de uma vez .

O gráfico do dodecaedro tem 60 círculos de Hamilton , mas nenhum círculo de Euler .

Outro dodecaedro

Outros dodecaedros são, por exemplo:

• O dodecaedro rômbico tem 12 diamantes congruentes como faces , 14 cantos e 24 arestas. É um sólido catalão e dual ao cuboctaedro . Ele tem a forma típica de cristal de uma granada .
• O trigonododecaedro tem 12 triângulos equiláteros congruentes como faces, 8 cantos e 18 arestas. É um deltaedro e corpo de Johnson .
• Dodecaedro oco
• Dodecaedro grande
• Rhombicosidodecaedro
• Dodecaedro rômbico alongado

Alguns desses poliedros têm mais de 12 faces, portanto não são dodecaedros verdadeiros.

• 

  Dodecaedro rômbico

• 

  Trigonododecaedro

• 

  Dodecaedro oco

• 

  Dodecaedro grande

• 

  Rhombicosidodecaedro

• 

  Dodecaedro rômbico alongado

Links da web

• Euclides: Stoicheia. Livro XIII.17. Dodecaedro de uma esfera ...
• Derivação das fórmulas
• Folha de artesanato para calendários em forma de dodecaedro
• Dodecaedro . Consertar matemática
• Calculadora de dodecaedro para comprimento da borda, área de superfície, volume, raio esférico, raio da borda esférica e raio incircular

Evidência individual

1. ↑ Eric Weisstein: Dodecaedro. Umkugelradius, fórmula (17) ainda mais simplificada. In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, acessado em 1 de julho de 2020 . 
2. ↑ Eric Weisstein: Dodecaedro. Raio da esfera da borda, fórmula (19). In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, acessado em 1 de julho de 2020 . 
3. ↑ Eric Weisstein: Dodecaedro. Raio na esfera, fórmula (15). In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, acessado em 1 de julho de 2020 . 
4. ↑ Harish Chandra Rajpoot: ângulos sólidos subentendidos pelos sólidos platônicos (poliedros regulares) em seus vértices. SlideShare, março de 2015, acessado em 1 de julho de 2020 . 
5. ↑ Expressão alternativa para . ${\ displaystyle \ cos \ Omega}$Wolfram Alpha, acessado em 1 de julho de 2020 . 
6. ↑ Com o arco tangente para dois argumentos , pode-se escrever: ${\ displaystyle \ operatorname {arctan2},}$

   ${\ displaystyle \ Omega = \ arccos \ left (- {\ frac {11 \ cdot {\ sqrt {5}}} {25}} \ right) = \ pi - \ arcsin \ left ({\ frac {2 \ cdot {\ sqrt {5}}} {25}} \ right) = \ operatorname {arctan2} (-11 | 2) \ approx 2 {,} 9617391546 \; \ mathrm {sr}.}$

7. ↑ waldorfschule-muenster.de ( Memento de 11 de junho de 2015 no Internet Archive )
8. ^ Dodecaedro / dodecaedro do pentágono / dodecaedro pentagonal. Mineral Atlas, acessado em 25 de dezembro de 2020 . 
9. ↑ Eric Weisstein: Dodecaedro. Redes In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, acessado em 1 de julho de 2020 . 
10. ↑ Mike Zabrocki: HOMEWORK # 3 SOLUTIONS - MATH 3260. (PDF) York University, Mathematics and Statistics, Toronto, 2003, p. 4 , acessado em 31 de maio de 2020 . 
11. ↑ Eric Weisstein: Gráfico Dodecaédrico. Gráfico. In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, acessado em 1 de julho de 2020 .