Ângulo sólido em uma esfera com raio R.
O ângulo sólido é a tridimensional homólogo ao bidimensional ângulo definido para o avião . Ele descreve a proporção de todo o espaço tridimensional que z. B. encontra-se dentro de um determinado cone ou jaqueta piramidal .
definição
O ângulo sólido é definida como a área de uma área parcial de uma superfície esférica dividida pelo quadrado do raio da esfera :
-
.
Ao considerar a esfera unitária ( ) é igual ao ângulo sólido correspondente. Portanto, o ângulo sólido completo é igual à superfície da esfera unitária, a saber .
A área parcial pode ter qualquer formato. Escrito vetorialmente como uma integral de superfície é
-
.
É o vetor unitário da origem das coordenadas , o elemento diferencial de superfície e sua distância da origem.
Ao contrário do que a imagem pode sugerir, a forma da área não é importante. Cada forma de contorno na superfície esférica com a mesma área define um ângulo sólido do mesmo tamanho. Se você colocar um raio através de cada ponto do contorno com o centro da esfera como o ponto de partida, você tem uma figura geométrica que ilustra o ângulo sólido. Isso é comparável à representação de um ângulo no plano : duas meias-linhas com um ponto de partida comum.
unidades
Embora o ângulo sólido seja uma quantidade do número da dimensão , geralmente é dado na unidade esteradiana (sr) para maior clareza ; isso corresponde à medida em radianos com a unidade de radianos (rad) para um ângulo plano. Um ângulo sólido de 1 sr envolve uma área de 1 m 2 em uma esfera com um raio de 1 m . Uma vez que toda uma superfície esférica tem a área , o ângulo sólido total correspondente é
-
.
Ocasionalmente, ângulos sólidos também são dados em graus quadrados , (°) ². 1 (°) ² é o mesmo .
O uso de uma unidade de medida auxiliar para uma grandeza do número da dimensão tem a vantagem, como em muitas áreas, em particular também no caso de ângulos sólidos, que a unidade usada mostra a que grandeza física se refere. Em contraste com o fluxo luminoso (lm), a intensidade luminosa (cd = lm / sr) mostra sua dependência do ângulo sólido por meio da ocorrência do esteradiano na unidade. A intensidade da luz, portanto, descreve um fluxo luminoso que depende do ângulo sólido.
Representação com vetores
Três vetores partindo de um ponto P , e definem um triângulo geral . O seguinte se aplica ao ângulo sólido estendido com vértice P:
-
.
É o produto triplo de vectores , e , é o produto escalar e é o comprimento do vector.
Esta representação foi dada e comprovada em 1983 por Oosterom e Strackee.
Representação com coordenadas esféricas
Um ângulo sólido de um segmento de coordenadas polares cartesianas
O ângulo sólido de um triângulo esférico é esteradiano dependendo de seus ângulos internos (veja triângulo esférico - propriedades ).
Em um sistema de coordenadas esféricas , o ângulo sólido pode ser claramente definido, uma vez que não há variável radial. Dois ângulo meridiano , e duas de grande angular , determinar um elemento de superfície sobre uma superfície esférica . O ângulo sólido correspondente é:
Ângulo sólido de um cone
Se você escolher um círculo como forma de contorno na superfície esférica , obterá o ângulo sólido canônico. O ângulo sólido, em seguida, forma o revestimento de um cone circular em frente , na ponta do qual o centro da esfera está situado.
Se o ângulo de abertura está no ápice do cone , então o ângulo sólido resulta da integral dupla
Ângulo de abertura em graus
|
0 |
1 |
2 |
5 |
10 |
Dia 15 |
30º |
45 |
57,2958
|
---|
Ângulo de abertura em radianos
|
0,0000 |
0,0175 |
0,0349 |
0,0873 |
0,1745 |
0,2618 |
0,5236 |
0,7854 |
1,0000
|
---|
Ângulo sólido em graus quadrados
|
0,00 |
0,79 |
3,14 |
19,63 |
78,49 |
176,46 |
702,83 |
1570,10 |
2525,04
|
---|
Ângulo sólido em esteradianos
|
0,0000 |
0,0002 |
0,0010 |
0,0060 |
0,0239 |
0,0538 |
0,2141 |
0,4783 |
0,7692
|
---|
|
Ângulo de abertura em graus
|
60 |
65,5411 |
75 |
90 |
120 |
150 |
180 |
270 |
360
|
---|
Ângulo de abertura em radianos
|
1.0472 |
1,1439 |
1,3090 |
1.5708 |
2.0944 |
2,6180 |
3,1416 |
4.7124 |
6,2832
|
---|
Ângulo sólido em graus quadrados
|
2763,42 |
3282,81 |
4262,39 |
6041,36 |
10313,24 |
15287,95 |
20626,48 |
35211,60 |
41.252,96
|
---|
Ângulo sólido em esteradianos
|
0,8418 |
1,0000 |
1.2984 |
1.8403 |
3,1416 |
4,6570 |
6,2832 |
10,7261 |
12.5664
|
---|
Ângulo sólido de uma pirâmide
Para o ângulo sólido de uma pirâmide
O caso especial do ângulo sólido com contorno retangular e plano corresponde à forma geométrica de uma pirâmide , sendo a origem exatamente perpendicular ao centro do retângulo plano (ver ilustração). Este ângulo sólido ocorre z. B. ao calcular o étendue de sistemas ópticos com aberturas retangulares.
Pode ser calculado facilmente usando a fórmula de Oosterom e Strackee. Com as bases da pirâmide e assim como a altura h obtemos:
Se os dois ângulos de abertura e , onde e é, são usados para o cálculo , então, após algumas transformações trigonométricas , segue-se :
Exemplos
Uma abertura retangular na frente de uma fonte de luz pontual limita o feixe de luz aos ângulos de 45 ° ( ) e 20 ° ( ). O ângulo sólido é 0,27 sr.
Se for uma abertura quadrada e ambos os ângulos forem de 20 °, o ângulo sólido será 0,12 sr. O ângulo sólido canônico de uma abertura circular de 20 ° é 0,10 sr.
Ângulo sólido de um poliedro
O ângulo sólido no canto de um poliedro pode ser calculado usando o teorema de L'Huilier.
Para o ângulo sólido no canto com os ângulos internos , , é, aplica
em que , , e é.
Exemplos
Os seguintes ângulos sólidos resultam das fórmulas semi-ângulo , os teoremas de adição para a tangente e as equações , e .
Tetraedro regular
Um tetraedro regular tem 4 cantos , cada um com 3 ângulos internos iguais de 60 °, porque todas as 4 faces laterais são triângulos equiláteros . Assim é e
Pirâmide quadrada
Uma sequência pirâmide quadrada tendo um quadrado e quatro triângulos equiláteros como superfícies laterais , tem tem no quadrado de base 4 cantos com os ângulos internos , , . O seguinte se aplica ao ângulo sólido nestes 4 cantos
octaedro
Um octaedro consiste em 2 pirâmides quadradas retas congruentes , cada uma com um quadrado e 4 triângulos equiláteros como faces . O ângulo sólido nos 6 cantos do octaedro - e no topo da pirâmide quadrada - é, portanto, duas vezes maior que o ângulo sólido nos outros 4 cantos da pirâmide quadrada e é
prisma
Um prisma reto tem cantos com qualquer ângulo interno e dois ângulos retos de 90 °, porque a superfície externa de um prisma reto consiste em retângulos . O seguinte se aplica ao ângulo sólido nos cantos
Este ângulo sólido, obviamente, tem a mesma participação no ângulo sólido completo como o ângulo interior no bidimensional ângulo completo .
Octaedro truncado
Um octaedro truncado tem 24 cantos , onde um quadrado e dois hexágonos regulares se encontram. Cada canto tem assim os ângulos internos , , e o ângulo sólido
Os ângulos sólidos nos cantos da truncado octaedro são, portanto, igual para o ângulo sólido integral. Este resultado é confirmado pelo fato de que o espaço euclidiano tridimensional pode ser completamente preenchido com octaedros truncados congruentes , onde 4 octaedros truncados se encontram em cada canto (ver preenchimento da sala ).
Links da web
Evidência individual
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^ A. Van Oosterom, J. Strackee: O ângulo contínuo de um triângulo plano . In: Biomedical Engineering, IEEE Transactions on . BME-30, no. 2 , 1983, p. 125-126 , doi : 10.1109 / TBME.1983.325207 .
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↑ Oleg Mazonka: Ângulo sólido de superfícies cônicas, cones poliédricos e tampas esféricas de interseção
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^ Wolfram MathWorld: Excesso esférico