Reductio ad absurdum

O Reductio ad absurdum (do latim para remontar ao que soa negativo, inconsistente, impróprio, sem sentido ) é uma figura final e uma técnica de prova em lógica . Na Reductio ad absurdum, uma afirmação é refutada mostrando que daí decorre uma contradição lógica ou uma contradição com uma tese já reconhecida .

Como técnica de prova, o reductio ad absurdum é conhecido sob a designação de “ prova indireta ” ou “ prova de contradição ”, “ prova por contradição ”. Esta prova indireta é caracterizada pelo fato de que não se obtém a afirmação a ser provada diretamente, mas que seu oposto adversário (ou seja, a suposição de que a afirmação é incorreta) é refutada. Na lógica clássica de dois valores , em que cada afirmação é verdadeira ou falsa, essa refutação do oposto de uma afirmação mostra que a afirmação em questão está correta.

Explicação e justificativa intuitiva

Um exemplo simples: para mostrar que nem todas as pessoas são gregas, primeiro presume-se que todas as pessoas são gregas. Dessa suposição segue-se, por exemplo, que Cícero era grego. Sabe-se, porém, que Cícero não era grego (mas romano). O fato de Cícero ser grego e não grego ao mesmo tempo é uma contradição . Com isso, a afirmação de que todas as pessoas são gregas foi reduzida a uma contradição (reductio ad absurdum) e, assim, mostrou que nem todas as pessoas são gregas.

Um exemplo menos simples de um reductio ad absurdum - e talvez além da prova da irracionalidade da raiz quadrada de 2 em Euclides, o melhor exemplo disso - é a prova do teorema de Euclides , que mostra que não há maior número primo dê can (que para cada número primo existe um maior) refutando a suposição de que existe um maior. Provas de contradição foram frequentemente utilizadas por Euclides e já podem ser encontradas na prova do teorema de Dinostratos , transmitida por Pappos .

A prova indireta pode ser justificada intuitivamente da seguinte forma: Se uma contradição pode ser derivada de uma suposição, o seguinte se aplica: Se a suposição for verdadeira , a contradição também é verdadeira. Mas uma contradição nunca pode ser verdadeira. A suposição não pode, portanto, ser verdadeira, portanto, deve ser falsa.

Representação formal

Formalmente, a prova de contradição pode ser apresentada da seguinte forma:

Aplica-se e , em seguida: . ${\ displaystyle \ Gamma \ cup \ {\ mathrm {A} \} \ vdash \ mathrm {B}}$${\ displaystyle \ Gamma \ cup \ {\ mathrm {A} \} \ vdash \ neg \ mathrm {B}}$${\ displaystyle \ Gamma \ vdash \ neg \ mathrm {A}}$

Leia: Se for verdade que do conjunto de afirmações juntamente com a afirmação, tanto a afirmação como a afirmação não seguem, então decorre de não- . ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ mathrm {A}}$${\ displaystyle \ mathrm {B}}$${\ displaystyle \ mathrm {B}}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ mathrm {A}}$

Essa conexão também é conhecida como a introdução da negação no cálculo da inferência natural .

Prova de contradição clássica e intuicionista

Existe uma segunda forma de reductio ad absurdum que é importante no conflito entre a lógica clássica e a intuicionista :

Aplica-se e , em seguida: . ${\ displaystyle \ Gamma \ cup \ {\ neg \ mathrm {A} \} \ vdash \ mathrm {B}}$${\ displaystyle \ Gamma \ cup \ {\ neg \ mathrm {A} \} \ vdash \ neg \ mathrm {B}}$${\ displaystyle \ Gamma \ vdash \ mathrm {A}}$

Leia: Se for verdade que do conjunto de afirmações juntamente com a afirmação, ele não segue - tanto a afirmação como a afirmação não - então decorre de . ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ mathrm {A}}$${\ displaystyle \ mathrm {B}}$${\ displaystyle \ mathrm {B}}$${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$

A diferença entre as duas formas é que na primeira inferia-se de um enunciado e uma contradição sobre a negação do enunciado, enquanto na segunda inferia-se da negação e uma contradição sobre o próprio enunciado. A segunda forma pode ser reduzida à fórmula curta: uma afirmação é considerada provada se uma contradição pode ser derivada de sua negação.

A primeira forma pode ser convertida na segunda por meio da eliminação clássica da negação :

Aplica-se , por isso, é igualmente aplicável: . ${\ displaystyle \ Gamma \ vdash \ neg \ neg \ mathrm {A}}$${\ displaystyle \ Gamma \ vdash \ mathrm {A}}$

Uma vez que esta lei é apenas classicamente válida, não intuicionisticamente, a segunda forma geralmente também não é válida intuicionisticamente.

Opcionalmente, a segunda forma também pode ser derivada da primeira com a frase do terceiro excluído . Mas essa proposição também não é válida intuicionisticamente.

A rejeição da segunda forma de prova de contradição tem como consequência que na matemática intuicionista a existência de certos objetos da matemática clássica não é reconhecida (ver também construtivismo ).

exemplo

Um exemplo relativamente conhecido de uma prova indireta em matemática é a prova de que um número não é um número racional porque a afirmação leva ao arbitrário e à contradição. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ tfrac {p} {q}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

Links da web

• Nicholas Rescher :  Entrada em J. Fieser, B. Dowden (Eds.): Internet Encyclopedia of Philosophy .

Evidência individual

1. ^ Ivor Bulmer-Thomas, Artigo Dinostratus , Dicionário de Biografia Científica , Volume 4, página 104