Elemento RC

Em RC, os elementos são entendidos nos circuitos elétricos de uma resistência ôhmica ( resistor R -. Engl ) e um capacitor (C - engl. Capacitor ) são construídos. Os elementos RC são sistemas lineares e invariantes no tempo . Em um sentido mais restrito, isso se refere aos filtros , como passa-baixa ou passa-alta . No caso de passagem baixa, como na imagem ao lado, o capacitor é conectado em paralelo na saída do sinal; no caso de passagem alta, o capacitor e o resistor são trocados.

Um capacitor e um resistor são conectados em paralelo para ligação equipotencial e aterramento funcional . Para limitar a interferência eletromagnética, existem conexões em série de capacitor e resistor, como é o caso do snubber , por exemplo .

Simples RC passa baixa
U _e : tensão de entrada
U _a : tensão de saída

Comportamento no domínio do tempo

Descrição geral teórica do sistema do filtro passa-baixa RC

Tensões e correntes na passagem baixa RC

O elemento RC na configuração passa-baixo é um elemento de transmissão integrado, contínuo no tempo, linear e invariante no tempo. A descrição teórica geral do sistema resulta das regras de Kirchhoff e das relações corrente / tensão no capacitor ou resistor. A equação da malha dá

${\ displaystyle -u _ {\ text {e}} (t) + u _ {\ text {r}} (t) + u _ {\ text {c}} (t) = 0}$.

Por ser um circuito não ramificado, aplica-se o seguinte . O seguinte se aplica à queda de tensão no resistor ${\ displaystyle i _ {\ text {c}} (t) = i _ {\ text {r}} (t)}$

${\ displaystyle u _ {\ text {r}} (t) = Ri _ {\ text {r}} (t)}$

e a corrente através do capacitor é através do relacionamento

${\ displaystyle i _ {\ text {c}} (t) = C {\ frac {{\ text {d}} u _ {\ text {c}} (t)} {{\ text {d}} t }}}$

definir. Se agora inserirmos a equação da tensão através da resistência na equação da malha, obteremos

${\ displaystyle -u _ {\ text {e}} (t) + Ri _ {\ text {r}} (t) + u _ {\ text {c}} (t) = 0}$.

A inserção da corrente, em última análise, dá a equação diferencial

${\ displaystyle RC {\ frac {{\ text {d}} u _ {\ text {c}} (t)} {{\ text {d}} t}} + u _ {\ text {c}} ( t) = u _ {\ text {e}} (t)}$,

que descreve completamente o elemento de transmissão: O elemento RC tem um comportamento de transmissão proporcional com um atraso de primeira ordem e corresponde a um elemento PT1 com a constante de tempo T = RC .

Para esclarecer o caráter integrador do filtro passa-baixo, faremos mais algumas transformações. A equação é integrada em ambos os lados

${\ displaystyle \ int RC {\ frac {{\ text {d}} u_ {c} (t)} {{\ text {d}} t}} \, {\ text {d}} t + \ int u_ {\ text {c}} (t) \, {\ text {d}} t = \ int u _ {\ text {e}} (t) \, {\ text {d}} t}$,

onde os operadores diferenciais e integrais se cancelam em um termo e seguem

${\ displaystyle RCu _ {\ text {c}} (t) + \ int u _ {\ text {c}} (t) \, {\ text {d}} t = \ int u _ {\ text {e }} (t) \, {\ text {d}} t}$.

Mudar de acordo com a tensão de saída resulta${\ displaystyle u _ {\ text {c}} (t)}$

Diagrama de blocos da passagem baixa RC

${\ displaystyle u _ {\ text {c}} (t) = {\ frac {1} {RC}} \ left (\ int u _ {\ text {e}} (t) \, {\ text {d }} t- \ int u _ {\ text {c}} (t) \, {\ text {d}} t \ right) = {\ frac {1} {RC}} \ int \ left (u _ { \ text {e}} (t) \, - u _ {\ text {c}} (t) \ direita) \, {\ text {d}} t}$.

A equação integral no domínio do tempo pode ser submetida diretamente à transformada de Laplace , que leva a

${\ displaystyle u _ {\ text {c}} (s) = {\ frac {1} {RC}} {\ frac {1} {\ text {s}}} \ left (u _ {\ text {e }} (s) -u _ {\ text {c}} (s) \ right)}$

resultados. Ao dividir o sinal de saída pelo sinal de entrada , a função de transferência da passagem baixa RC é obtida: ${\ displaystyle u _ {\ text {c}} (t)}$${\ displaystyle u _ {\ text {e}} (t)}$

${\ displaystyle G _ {\ text {TP}} (s) = {\ frac {u _ {\ text {c}} (s)} {u _ {\ text {e}} (s)}} = { \ frac {1} {1 + RCs}}}$.

Ao definir (com a unidade imaginária e a frequência angular ) a transformação de Fourier e, assim, a representação espectral dos resultados do sistema: ${\ displaystyle s = \ mathrm {j} \ omega}$ ${\ displaystyle \ mathrm {j}}$ ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle G _ {\ text {TP}} (\ mathrm {j} \ omega) = {\ frac {u _ {\ text {c}} (\ mathrm {j} \ omega)} {u _ {\ texto {e}} (\ mathrm {j} \ omega)}} = {\ frac {1} {1+ \ mathrm {j} \ omega RC}}}$.

Provavelmente, a classe de sinais mais importante para considerar o comportamento do filtro são os sinais harmônicos, e é por isso que muitas vezes é de grande interesse qual comportamento de amortecimento o filtro tem em um sinal senoidal. Pelo sinal de entrada

Simulação transitória com sinal de entrada senoidal, R = 1 kΩ, C = 100 nF, f = 5 kHz

${\ displaystyle u _ {\ text {e}} (t) = {\ hat {u}} \ sin (\ omega t + \ varphi)}$

então segue na equação diferencial ou integral anteriormente derivada

${\ displaystyle RC {\ frac {{\ text {d}} u _ {\ text {c}} (t)} {{\ text {d}} t}} + u _ {\ text {c}} ( t) = u _ {\ text {e}} (t) = {\ hat {u}} \ sin (\ omega t + \ varphi)}$.

Para encontrar a tensão de saída, você deve alternar para, isso é analiticamente possível. É uma equação diferencial ordinária linear para a qual existem muitos métodos de solução diferentes. Se considerarmos a condição inicial , ou seja, o caso em que o sistema está inicialmente sem energia ao se estabelecer, a solução é dada por ${\ displaystyle u _ {\ text {c}} (t)}$${\ displaystyle u _ {\ text {c}} (0) = 0}$

${\ displaystyle u _ {\ text {c, sin}} (t) = {\ frac {{\ hat {u}} \ left (\ sin \ left (\ omega t + \ varphi \ right) -RC \ omega \ cos \ left (\ omega t + \ varphi \ right) \ right) - {\ hat {u}} {\ text {e}} ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \ left (\ sin (\ varphi) -RC \ omega \ cos (\ varphi) \ right)} {\ left (\ omega RC \ right) ^ {2} +1}}}$.

Descrição geral teórica do sistema do filtro passa-alta RC

Tensões e correntes na passagem alta RC

A passagem alta RC também é um circuito não ramificado, mas a tensão de saída é derivada no resistor. Em termos de teoria do sistema, é um elemento de transferência diferenciador. A equação da malha dá

${\ displaystyle -u _ {\ text {e}} (t) + u _ {\ text {r}} (t) + u _ {\ text {c}} (t) = 0}$.

A relação integral se aplica à tensão através do capacitor

${\ displaystyle u _ {\ text {c}} (t) = {\ frac {1} {C}} \ int i _ {\ text {c}} (t) \, {\ text {d}} t }$.

Devido à natureza não ramificada do circuito , ele segue após a inserção ${\ displaystyle i _ {\ text {c}} (t) = i _ {\ text {r}} (t)}$

${\ displaystyle -u _ {\ text {e}} (t) + {\ frac {1} {C}} \ int i _ {\ text {r}} (t) \, {\ text {d}} t + u _ {\ text {r}} (t) = 0}$.

A corrente na integral pode ser escrita como :, inserida na equação a seguir ${\ displaystyle i _ {\ text {r}} (t) = {\ frac {u _ {\ text {r}} (t)} {R}}}$

${\ displaystyle -u _ {\ text {e}} (t) + {\ frac {1} {C}} \ int {\ frac {u _ {\ text {r}} (t)} {R}} \, {\ text {d}} t + u _ {\ text {r}} (t) = 0}$,

esta é uma equação integral que agora descreve completamente o sistema. Para ilustrar o caráter diferenciador do filtro passa-altas, faremos mais algumas transformações. A equação é diferenciada em ambos os lados

${\ displaystyle - {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} t}} u _ {\ text {e}} (t) + {\ frac {1} {C}} {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} t}} \ int {\ frac {u _ {\ text {r}} (t)} {R}} \, {\ text {d} } t + {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} t}} u _ {\ text {r}} (t) = 0}$,

em que o diferencial e o operador integral se cancelam novamente

${\ displaystyle - {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} t}} u _ {\ text {e}} (t) + {\ frac {1} {RC}} u _ {\ text {r}} (t) + {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} t}} u _ {\ text {r}} (t) = 0}$.

Mudar para o tamanho inicial então resulta

Diagrama de blocos da passagem alta do RC.

${\ displaystyle u _ {\ text {r}} (t) = RC {\ frac {\ text {d}} {{\ text {d}} t}} \ left (u _ {\ text {e}} (t) -u _ {\ text {r}} (t) \ direita)}$,

em que o comportamento diferenciador torna-se evidente. A equação pode ser submetida à transformada de Laplace , por meio da qual

${\ displaystyle u _ {\ text {r}} (s) = RCs \ left (u _ {\ text {e}} (s) -u _ {\ text {r}} (s) \ right)}$

segue. Ao dividir o sinal de saída pelo sinal de entrada , a função de transferência do passa-alto RC é obtida: ${\ displaystyle u _ {\ text {r}} (t)}$${\ displaystyle u _ {\ text {e}} (t)}$

${\ displaystyle G _ {\ text {HP}} (s) = {\ frac {u _ {\ text {r}} (s)} {u _ {\ text {e}} (s)}} = { \ frac {RCs} {1 + RCs}}}$

Ao definir , a transformação de Fourier e, portanto, a representação espectral do sistema são obtidas: ${\ displaystyle s = \ mathrm {j} \ omega}$

${\ displaystyle G _ {\ text {HP}} (\ mathrm {j} \ omega) = {\ frac {u _ {\ text {r}} (\ mathrm {j} \ omega)} {u _ {\ texto {e}} (\ mathrm {j} \ omega)}} = {\ frac {\ mathrm {j} \ omega RC} {1+ \ mathrm {j} \ omega RC}}}$.

Aqui, também, consideramos a solução da equação diferencial para um sinal de entrada harmônico, para o qual a transformação de Laplace pode ser usada. O sinal de entrada é

Simulação transitória com sinal de entrada senoidal, R = 1 kΩ, C = 100 nF, f = 2 kHz

${\ displaystyle u _ {\ text {e, sin}} (t) = {\ hat {u}} \ sin (\ omega t + \ varphi)}$,

cuja transformação de Laplace é

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {{\ hat {u}} \ sin (\ omega t + \ varphi) \ right \} = {\ hat {u}} {\ frac {\ omega \ cos (\ varphi) + s \ sin (\ varphi)} {s ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}$.

A inserção na função de transferência oferece

${\ displaystyle u _ {\ text {r, sin}} (s) = {\ frac {RCs} {1 + RCs}} {\ hat {u}} {\ frac {\ omega \ cos (\ varphi) + s \ sin (\ varphi)} {s ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}$.

Uma transformação inversa abrangente, então, resulta na solução da equação diferencial e, portanto, o comportamento transiente para um sinal de entrada senoidal:

${\ displaystyle u _ {\ text {r, sin}} (t) = {\ frac {{\ hat {u}} {\ text {e}} ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \ left (\ sin (\ varphi) - \ omega RC \ cos (\ varphi) \ right) + {\ hat {u}} \ omega RC \ left (\ cos (\ omega t + \ varphi) + \ omega RC \ sin (\ omega t + \ varphi) \ right)} {\ left (\ omega RC \ right) ^ {2} +1}}}$

Processo de carregamento

A resposta do sistema a uma função degrau é mostrada aqui como exemplo. A tensão é zero volts até o ponto no tempo zero e então aumenta imediatamente . A corrente flui para o capacitor até que as placas estejam eletricamente carregadas e não aceitem mais nenhuma carga. Isso ocorre quando a tensão do capacitor U ( t ) igual à tensão aplicada U _max é. Uma placa é então eletricamente positiva, a outra carregada negativamente. Há um excesso de elétrons no lado carregado negativamente . ${\ displaystyle U _ {\ rm {max}}}$

O tempo de carga do capacitor é proporcional ao tamanho do resistor R e à capacitância C do capacitor. O produto da resistência e da capacitância é chamado de constante de tempo .${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle \ tau = R \ cdot C \,}$

Teoricamente, leva um tempo infinito até U (t) = U _max . Para fins práticos, o tempo de carga t _L pode ser usado, após o qual o capacitor pode ser considerado como aproximadamente totalmente (mais de 99%) carregado.

${\ displaystyle t_ {L} = 5 \ cdot \ tau \,}$

Curva de tensão U e corrente I durante o processo de carregamento,
U _max é a tensão da fonte de tensão como a tensão máxima possível

A constante de tempo τ também marca o ponto no tempo em que a tangente aplicada no início da curva atinge o valor final da tensão. Após este tempo , o capacitor seria carregado com seu valor final se pudesse ser carregado com a corrente constante . Na verdade, entretanto, a intensidade da corrente diminui exponencialmente ao longo do tempo com uma tensão aplicada constante. ${\ displaystyle I _ {\ rm {max}}}$

A corrente máxima flui no tempo t = 0. Isso resulta da resistência R de acordo com a lei de Ohm , onde U _{max é} a tensão aplicada da fonte de tensão: ${\ displaystyle I _ {\ rm {max}}}$

${\ displaystyle I _ {\ rm {max}} = {\ frac {U _ {\ rm {max}}} {R}} \,}$

O curso da tensão de carregamento U ( t ) ou seu respectivo valor de tempo é descrito com a seguinte equação, onde e é o número de Euler , t é o tempo após o início do carregamento e a constante de tempo: ${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle U (t) = U _ {\ rm {max}} \ cdot (1-e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}}) \,}$,

Supõe-se que o capacitor no início não foi acusado: . A tensão é, portanto, zero pela primeira vez e, em seguida, aumenta na forma de uma função exponencial . Após este tempo , a tensão atingiu cerca de 63% da tensão aplicada U _máx . Após esse tempo, o capacitor é carregado em mais de 99%. ${\ displaystyle U (t = 0) = 0}$${\ displaystyle t = \ tau}$${\ displaystyle t = 5 \ tau}$

O curso da intensidade de corrente I ( t ) ou seu respectivo valor de tempo é descrito com a seguinte equação:

${\ displaystyle I (t) = I _ {\ rm {max}} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} \,}$

Aqui, a corrente é inicialmente e depois diminui na forma de uma função exponencial como no processo de descarga. Após o tempo, a corrente é apenas cerca de 37% do seu valor inicial e após o tempo caiu para menos de 1%. ${\ displaystyle I (t = 0) = I _ {\ rm {max}}}$${\ displaystyle t = \ tau}$${\ displaystyle t = 5 \ tau}$

Equação diferencial do processo de cobrança

O seguinte se aplica ao processo de carregamento do capacitor para uma fonte de tensão ideal com a tensão : ${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle Q (t) = EC \ cdot \ left (1-e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \ right)}$

Isso é derivado da seguinte maneira. O seguinte se aplica à amperagem:

${\ displaystyle I (t) = {\ frac {\ mathrm {d} Q (t)} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {Q}} (t)}$

O seguinte se aplica à tensão no resistor ôhmico:

${\ displaystyle U_ {R} = R \ cdot I (t) = R \ cdot {\ dot {Q}} (t)}$

O seguinte se aplica à tensão no capacitor:

${\ displaystyle U_ {C} = {\ frac {Q (t)} {C}}}$

Para um circuito simples que consiste em um capacitor e um resistor ôhmico, o seguinte se aplica de acordo com o conjunto de malhas :

${\ displaystyle {\ begin {array} {crcl} & U_ {C} + U_ {R} & = & E \\\ Leftrightarrow & {\ frac {Q (t)} {C}} + R \ cdot {\ ponto {Q}} (t) & = & E \\\ Leftrightarrow & {\ frac {1} {RC}} \ cdot Q (t) + {\ dot {Q}} (t) & = & {\ frac {E} {R}} \\\ end {array}}}$

Esta equação diferencial é resolvida resolvendo primeiro a equação homogênea pela primeira configuração: ${\ displaystyle E / R = 0}$

${\ displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t} {\ frac {{\ dot {Q}} (t)} {Q (t)}} \, \ mathrm {d} t = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} - {\ frac {1} {RC}} \, \ mathrm {d} t}$

Uma vez que é constante, o seguinte se aplica: ${\ displaystyle - {\ tfrac {1} {RC}}}$

${\ displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t} {\ frac {{\ dot {Q}} (t)} {Q (t)}} \, \ mathrm {d} t = - {\ frac {1} {RC}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} 1 \, \ mathrm {d} t}$

De acordo com a regra de substituição :

${\ displaystyle \ ln \ left | Q (t) \ right | - \ ln \ left | Q (t_ {0}) \ right | = - {\ frac {t-t_ {0}} {RC}}}$

${\ displaystyle Q_ {v}}$é o nome antecipado para o método usado nas próximas etapas de variação das constantes , é a carga elétrica do capacitor no ponto no tempo , ela não pode se tornar negativa, é o ponto no tempo no início da carga e tem o valor 0 s; segue-se: ${\ displaystyle Q (t)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t_ {0}}$

${\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {Q (t)} {Q_ {v}}} \ right) = - {\ frac {t} {RC}}}$

Elevar a base e ao poder dá:

${\ displaystyle {\ frac {Q (t)} {Q_ {v}}} = e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \ Leftrightarrow Q (t) = Q_ {v} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC}}}}$

Para poder resolver a equação diferencial não homogênea agora, aplicamos o método de variar as constantes considerando-as como dependentes do tempo e inserindo -as como estão e diferenciadas na equação de saída. ${\ displaystyle Q_ {v} (t)}$

${\ displaystyle {\ dot {Q}} (t) = {\ dot {Q}} _ {v} (t) \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} - {\ frac { Q_ {v} (t)} {RC}} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC}}}}$

usar em:

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} {\ frac {E} {R}} & = & {\ frac {1} {RC}} \ cdot Q (t) + {\ dot {Q}} ( t) \\ & = & {\ frac {Q_ {v} (t)} {RC}} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} + {\ dot {Q}} _ { v} (t) \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} - {\ frac {Q_ {v} (t)} {RC}} \ cdot e ^ {- {\ frac {t } {RC}}} \\ & = & {\ dot {Q}} _ {v} (t) \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \\\ end {array}} }$

Isso será convertido e integrado de acordo com: ${\ displaystyle {\ dot {Q}} _ {v} (t)}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} {\ dot {Q}} _ {v} (t) \, \ mathrm {d} t & = & \ int _ {t_ {0}} ^ {t} {\ frac {E} {R}} \ cdot e ^ {\ frac {t} {RC}} \, \ mathrm {d} t \\ Q_ {v } (t) -Q_ {v} (t_ {0}) & = & {\ frac {E} {R}} \ cdot RC \ left (e ^ {\ frac {t} {RC}} - e ^ { \ frac {t_ {0}} {RC}} \ right) \ end {array}}}$

Conforme mencionado acima, o carregamento começa no momento . Neste ponto, a carga do capacitor é : ${\ displaystyle t_ {0} = 0}$${\ displaystyle Q_ {v} (t_ {0}) = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} Q_ {v} (t) -0 & = & EC \ left (e ^ {\ frac {t} {RC}} - e ^ {\ frac {0} { RC}} \ direita) \\ Q_ {v} (t) & = & EC \ cdot \ esquerda (e ^ {\ frac {t} {RC}} - 1 \ direita) \\\ end {matriz}}}$

Isso deve ser colocado na solução do DGL:

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} Q (t) & = & Q_ {v} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \\ & = & EC \ cdot \ left (e ^ {\ frac {t} {RC}} - 1 \ direita) \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \\ & = & EC \ cdot \ esquerda (1-e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \ right) \ end {array}}}$

Essa é a equação acima. Se você escolher um capacitor teoricamente totalmente carregado como o valor, a equação se torna: ${\ displaystyle EC = Q_ {E}}$

${\ displaystyle Q (t) = Q_ {E} \ cdot \ left (1-e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \ right)}$

O mesmo se aplica à tensão : ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle U (t) = {\ frac {Q (t)} {C}} = E \ cdot \ left (1-e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \ right)}$

e para a amperagem : ${\ displaystyle I (t)}$

${\ displaystyle I (t) = {\ dot {Q}} (t) = \ left ({\ frac {EC} {RC}} \ right) \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC} }} = I_ {0} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC}}}}$

Processo de descarga

Curva de tensão U e corrente I durante o processo de descarga,
U _max é a tensão inicial

A imagem mostra o processo de descarga quando o capacitor é inicialmente carregado no valor U _máx e é descarregado através do resistor R. Tanto a tensão quanto a corrente são maiores aqui no início:

Para t = 0, o seguinte se aplica:    e é a qualquer momento depois disso    ${\ displaystyle I _ {\ rm {max}} = {\ frac {U _ {\ rm {max}}} {R}}}$${\ displaystyle I (t) = {\ frac {U (t)} {R}}}$

A tensão diminui ao longo do tempo de acordo com o curso da descarga

${\ displaystyle U (t) = U _ {\ rm {max}} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} \,}$

A corrente que está ligada à tensão U (t) através do resistor de descarga R mostra a curva correspondente

${\ displaystyle I (t) = I _ {\ rm {max}} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} \,}$

A corrente de descarga é negativa na direção especificada da seta de contagem.

Equação diferencial de descarga

O seguinte se aplica ao processo de descarga do capacitor:

${\ displaystyle Q (t) = Q_ {0} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC}}}}$

Isso é derivado como no processo de carregamento. A equação diferencial resolvida pode ser obtida a partir daí. As condições iniciais são apenas diferentes e o método de variar as constantes não é necessário:

${\ displaystyle \ ln \ left | Q (t) \ right | - \ ln \ left | Q (t_ {0}) \ right | = - {\ frac {t-t_ {0}} {RC}}}$

${\ displaystyle Q (t)}$é a carga elétrica do capacitor no ponto no tempo , não pode se tornar negativa, é o ponto no tempo no início da descarga e tem o valor 0 s. Não há descarga aqui, mas uma carga inicial ; segue-se: ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle Q_ {0}}$

${\ displaystyle \ ln \ left ({\ frac {Q (t)} {Q (0)}} \ right) = - {\ frac {t} {RC}}}$

Elevar a base e ao poder dá:

${\ displaystyle {\ frac {Q (t)} {Q_ {0}}} = e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \ Leftrightarrow Q (t) = Q_ {0} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC}}}}$

O mesmo se aplica à tensão : ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle U (t) = {\ frac {Q (t)} {C}} = U_ {0} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC}}}}$

e para a amperagem : ${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle I (t) = {\ dot {Q}} (t) = - I_ {0} \ cdot e ^ {- {\ frac {t} {RC}}}}$

Resposta de impulso

Curso da corrente de carga (azul) e tensão do capacitor (rosa) em um elemento RC em um pulso de tensão

A resposta ao impulso descreve a curva de tensão de saída em uma tensão de entrada em forma de pulso direto . A curva de tensão de saída é descrita por sua derivada de tempo:

${\ displaystyle {\ dot {U}} (t) = {\ frac {dU} {dt}} = {\ frac {U_ {q}} {\ tau}} e ^ {- {\ frac {t} { \ tau}}} \,}$

Esta é a tensão instantânea através do resistor que faz com que o capacitor carregue a reversão. O pulso de tensão é integrado pelo elemento RC e deixa uma carga no capacitor, que é então descarregada na forma de uma função exponencial. ${\ displaystyle {U_ {q}}}$

A taxa de aumento da tensão (volts por segundo) é uma variável importante na eletrônica e na eletrônica de potência. ${\ displaystyle {\ frac {dU} {dt}}}$

Sinais periódicos

Curva de tempo da tensão (azul) em um capacitor, que é periodicamente carregado e descarregado por meio de um resistor de uma fonte de tensão de onda quadrada ideal (vermelho)

O efeito do filtro é particularmente claro com sinais de onda quadrada; a resposta do filtro é composta de segmentos do comportamento de carga e descarga. A inclinação torna-se mais baixa e, consequentemente, as altas frequências estão faltando no espectro de frequência. Os elementos RC são usados ​​de acordo com a supressão de interferências e como um filtro passa-baixa .

A inclinação da borda da tensão no capacitor em uma amplitude U _{0 da} fonte de tensão de onda quadrada cai do valor infinito da tensão de onda quadrada de alimentação para um máximo

${\ displaystyle {\ frac {dU} {dt}} = {\ frac {U_ {0}} {RC}} = {\ frac {U_ {0}} {\ tau}}}$.

a partir de. A corrente de carga máxima (corrente de pico, corrente de pulso I _p ) é

${\ displaystyle {I_ {p}} = {\ frac {U_ {0}} {R}}}$.

Contatos de chaveamento ou interruptores semicondutores conectados a um supressor RC , por exemplo, devem ser capazes de suportar essa corrente .

Comportamento no domínio da frequência

Passe baixo

Resposta de amplitude de um filtro passa-baixo RC. A ordenada mostra a relação de amplitude em decibéis , a abscissa a frequência angular normalizada Ω em uma representação logarítmica .${\ displaystyle | H |}$

Mudança de fase em função da frequência normalizada Ω no elemento RC.

Mudança de fase de 90 ° entre a corrente e a tensão no capacitor

Z, R, Xc

V, Vr, Vc

O resistor e o capacitor formam um divisor de tensão dependente da frequência , que também causa uma mudança de fase de no máximo (90 °). As impedâncias Z são R e . O seguinte se aplica ao elemento RC para uma tensão oscilante harmônica da frequência : ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$ ${\ displaystyle 1 / (\ mathrm {j} \ omega C)}$ ${\ displaystyle f = {\ frac {\ omega} {2 \ pi}}}$

${\ displaystyle U_ {a} = U_ {e} \ cdot {\ frac {Z_ {C}} {Z_ {R} + Z_ {C}}} \,}$

e, portanto, para o comportamento de transmissão , que é definido como o quociente da tensão de saída para a tensão de entrada:

${\ displaystyle H = {\ frac {U_ {a}} {U_ {e}}} = {\ frac {Z_ {C}} {Z_ {R} + Z_ {C}}} = {\ frac {\ frac {1} {\ mathrm {j} \ omega C}} {R + {\ frac {1} {\ mathrm {j} \ omega C}}}} = {\ frac {1} {1+ \ mathrm {j } \ omega RC}} = {\ frac {1} {1+ \ mathrm {j} {\ mathit {\ Omega}}}} \,}$,

onde a frequência normalizada Ω = ω / ω ₀ resulta da divisão da frequência angular ω = 2π fe a frequência angular limite (frequência de transição, frequência de corte ) ω _c = 1 / τ = 1 / ( RC ). Isso resulta na frequência de corte f _c , na qual a reatância e a resistência assumem o mesmo valor, ou seja, o deslocamento de fase (45 °) e a atenuação é em torno de 3 dB: ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}$

${\ displaystyle f_ {c} = {\ frac {1} {2 \ pi \ cdot R \ cdot C}} \,}$

Para baixas frequências Ω  << 1, H é cerca de 1, voltagem de entrada e saída quase a mesma, razão pela qual a faixa também é chamada. conhecido como banda de passagem .
Para frequências Ω  >> 1, H cai 20 dB por década = 6 dB por oitava. A área filtrada é chamada de banda de parada .

Em frequências muito baixas, que são significativamente menores do que a frequência de corte, a corrente de carga do capacitor é irrelevante e a tensão de entrada e saída diferem apenas imperceptivelmente. O deslocamento de fase é de aproximadamente 0 °.

Se a frequência aumentar, leva cada vez mais tempo - em comparação com o período de oscilação - até que o capacitor seja carregado com a tensão de entrada. Portanto, a mudança de fase aumenta.

Em uma frequência muito alta, isso tende para o valor limite de 90 °, mas então a tensão no capacitor também é incomensuravelmente pequena.

Passe alto

A interligação de um passa-altos difere da do filtro passa-baixo permutando R e C . De acordo,

${\ displaystyle U_ {a} = U_ {e} \ cdot {\ frac {Z_ {R}} {Z_ {C} + Z_ {R}}} \,}$

e

${\ displaystyle H = {\ frac {U_ {a}} {U_ {e}}} = {\ frac {Z_ {R}} {Z_ {C} + Z_ {R}}} = {\ frac {R} {{\ frac {1} {\ mathrm {j} \ omega C}} + R}} = {\ frac {\ mathrm {j} \ omega RC} {1+ \ mathrm {j} \ omega RC}} = {\ frac {\ mathrm {j} {\ mathit {\ Omega}}} {1+ \ mathrm {j} {\ mathit {\ Omega}}}} \,}$,

A resposta de amplitude é  espelhada em relação à passagem de baixa ao longo de Ω = 1, as frequências altas podem passar quase sem amortecimento.

Descrição na faixa espectral

Com uma derivação analógica obtém-se para o passa-baixo

${\ displaystyle H (s) = {\ frac {1} {1 + sRC}} \,}$,

um poste em . ${\ displaystyle s = -1 / RC}$

Na passagem alta

${\ displaystyle H (s) = {\ frac {sRC} {1 + sRC}} \,}$,

também há um pólo em , mais um zero na origem. O elemento RC representa, portanto, um filtro Butterworth de 1ª ordem. ${\ displaystyle s = -1 / RC}$

Links da web

• Exibição interativa do processo de carga e descarga ao longo do tempo. In: GeoGebra . Recuperado em 5 de janeiro de 2021 
• Cálculo do elemento RC de frequência de transição e constante de tempo
• Animação de carga e descarga do capacitor