Conjectura de Poincaré

A conjectura de Poincaré diz que um objeto geométrico, desde que não tenha furo, pode ser deformado em uma esfera (ou seja, encolhido, comprimido, inflado, etc.). E isso se aplica não apenas no caso de uma superfície bidimensional no espaço tridimensional, mas também para uma superfície tridimensional no espaço quadridimensional.

A conjectura de Poincaré é um dos teoremas matemáticos mais conhecidos e não comprovados , e foi considerada um dos problemas não resolvidos mais importantes na topologia , um ramo da matemática. Henri Poincaré o lançou em 1904. Em 2000, o Clay Mathematics Institute incluiu a conjectura de Poincaré entre os sete problemas matemáticos não resolvidos mais importantes, os Problemas do Milênio , e premiou com um milhão de dólares americanos por sua solução. Grigori Perelman provou a conjectura em 2002. Em 2006, ele recebeu a Medalha Fields por sua prova, que ele recusou. Em 18 de março de 2010, ele também recebeu o Prêmio Millennium do Clay Institute, que também recusou.

Em um espaço tridimensional, uma superfície é homeomórfica a uma superfície esférica (não bidimensional limitada ) se todos os laços fechados nessa superfície puderem ser unidos em um ponto . A conjectura Poincaré afirma que isto também se aplica no caso de um espaço de quatro dimensões, se a superfície é descrita por um 3-dimensional colector (por exemplo, um 3-esfera , uma "superfície não-visual de um equivalente esférico 4-dimensional ").

Redação e descrição

Cada variedade tridimensional simplesmente conectada , compacta , irrestrita , é homeomórfica à esfera tridimensional .

Além disso, há uma generalização da conjectura em variedades n- dimensionais da seguinte forma:

Cada variedade n fechada com o tipo de homotopia de uma esfera n é homeomórfica à esfera n.

No caso, essa conjectura generalizada é consistente com a conjectura de Poincaré original.

Em termos simplificados, a conjectura de Poincaré pode ser descrita da seguinte forma: A superfície de uma esfera é bidimensional, limitada e sem bordas, e cada curva fechada pode ser desenhada junto a um ponto que também está na esfera. Do ponto de vista topológico, é também a única estrutura bidimensional com essas propriedades. A conjectura de Poincaré é sobre o análogo tridimensional: trata-se de uma "superfície" tridimensional de um corpo quadridimensional.

Explicações

Múltiplo
Uma variedade tridimensional é algo que se parece com um espaço euclidiano tridimensional em uma vizinhança de cada ponto na variedade .
Fechadas
Nesse contexto, fechado significa que a variedade é compacta (ou seja, não se expande até o infinito) e que não tem limite . Uma esfera tridimensional é aproximadamente uma variedade tridimensional, mas tem uma borda (a superfície). Portanto, não está fechado. Por outro lado, sua superfície é uma variedade bidimensional fechada. A conjectura de Poincaré faz apenas uma reivindicação para variedades fechadas.
Simplesmente conectado
Simplesmente conectado significa que qualquer curva fechada pode ser contraída em um ponto. Um elástico em uma superfície esférica sempre pode ser movido na superfície de forma que se torne um ponto. Em um toro (por exemplo, um tubo de bicicleta), por exemplo, a contração nem sempre funciona: Se o elástico corre ao redor do lado mais fino do tubo da bicicleta, ele nunca pode ser puxado junto a um ponto (você teria que cortar o tubo, o que não é permitido na topologia). Conseqüentemente, um toro não está simplesmente conectado.
3 esferas
Em geral, uma n-esfera (designação :) é a aresta de uma esfera (n + 1) -dimensional . Uma esfera 1 é a linha circular de uma área circular . Uma esfera 2 é a superfície de uma esfera tridimensional. Uma esfera tridimensional é a superfície de uma esfera quadridimensional. É claro que esse objeto não pode mais ser simplesmente imaginado, porque na verdade "vive" em um espaço quadridimensional. Matematicamente, a esfera 3 pode ser facilmente descrita por uma fórmula, ou seja, como o conjunto de todos os pontos no espaço real 4-dimensional que estão a uma distância de 1 do ponto zero:
Uma esfera 2 consiste em dois hemisférios (ocos) que são unidos nas bordas. Topologicamente, esses hemisférios ocos são, na verdade, superfícies circulares (se você pressioná-los de cima para baixo, dois discos são criados). Com isso, você pode obter uma esfera 2 colando duas áreas circulares nas bordas. Da mesma forma, pode-se construir uma imagem relativamente clara de uma 3-esfera. Você pega duas esferas (corresponde às áreas circulares em 2 dimensões) e as "cola" nos pontos correspondentes na superfície. Um caminho na esfera 3, portanto, começa em uma das duas esferas. Quando você chega à borda, pula para o ponto correspondente na segunda bola e vice-versa. Desta forma, pode-se descrever caminhos na esfera tridimensional no espaço tridimensional. Você também pode ver dessa forma que não há limite em nenhum lugar. A 3-esfera é então fechada.

A conjectura em dimensões superiores

Chamamos um colector M como m-ligada se cada imagem de uma k -sphere para H para k <= m pode ser efectuada por um ponto. Para m = 1, isso dá exatamente o conceito de 'simplesmente conectado' descrito acima. Uma formulação da conjectura de Poincaré n- dimensional agora diz o seguinte:

Uma variedade n- dimensional compacta e irrestrita é (n-1) -conectada se e somente se for homeomórfica à n- esfera.

Um argumento com a dualidade de Poincaré mostra que também se pode substituir (n-1) por (n-1) / 2 aqui . Para n = 3 , a formulação da conjectura de Poincaré dada acima resulta exatamente.

Existem várias outras formulações equivalentes que são frequentemente encontradas na literatura. Um substitui a condição (n-1) -contígua exigindo que a variedade já seja homotópica equivalente à n- esfera. Essas duas condições são equivalentes pelo teorema de Hurewicz . A equivalência de homotopia é uma relação de equivalência mais grosseira do que o homeomorfismo, mas geralmente é mais fácil de verificar. A conjectura de Poincaré afirma que, no caso da esfera, essas duas relações felizmente coincidem.

Outra condição equivalente é que a variedade esteja simplesmente conectada e tenha a mesma homologia de uma n- esfera. Embora esta descrição seja mais técnica, tem a vantagem de ser relativamente fácil calcular a homologia de uma variedade.

Embora se saiba há muito tempo na dimensão 3 que toda variedade homeomórfica à esfera também é difeomórfica à esfera, esse não é o caso nas dimensões superiores. Da dimensão 7 existem as chamadas esferas exóticas que são homeomórficas, mas não difeomórficas da esfera padrão. Assim, na conjectura de Poincaré de n> 6 'homeomórfico' não pode ser substituído por 'difeomórfico'.

história

Poincaré apresentou originalmente uma conjectura um tanto diferente: ele acreditava que toda variedade fechada tridimensional que tem a mesma homologia de uma esfera tridimensional já deve ser topologicamente uma esfera. Embora Poincaré inicialmente acreditasse que tinha uma prova que se contentava com essa suposição mais fraca, a exigência de que o coletor fosse simplesmente conectado tornou-se indispensável. Com a esfera de homologia de Poincaré , o próprio Poincaré encontrou um contra-exemplo para sua conjectura original: ela tem a mesma homologia de uma esfera 3, mas não está simplesmente conectada e, portanto, não pode nem mesmo ser homotópica equivalente a uma esfera 3. Portanto, ele mudou sua suposição para a declaração conhecida hoje.

É interessante que a conjectura de Poincaré n-dimensional tem provas muito diferentes em dimensões diferentes, enquanto a formulação é geral.

Pois a afirmação é considerada clássica; neste caso, mesmo todas as variedades bidimensionais (fechadas) são conhecidas e classificadas .

No caso , a conjectura de Stephen Smale foi comprovada em 1960 (para variedades suaves e PL) usando técnicas da teoria de Morse . Segue-se de seu teorema H-cobordismo . Por essa prova, entre outras coisas, ele recebeu a Medalha Fields em 1966 . Mais tarde, Max Newman estendeu seu argumento às variedades topológicas.

Michael Freedman resolveu o caso em 1982. Ele também recebeu a Medalha Fields por isso em 1986 .

O caso provou (sem surpresa) ser o mais difícil. Muitos matemáticos apresentaram evidências, mas elas se revelaram falsas. Ainda assim, algumas dessas evidências falhas ampliaram nossa compreensão da topologia de baixa dimensão.

prova

No final de 2002, surgiram relatos de que Grigori Perelman, do Instituto Steklov em São Petersburgo, havia provado a suspeita. Ele usa o método analítico do fluxo de Ricci desenvolvido por Richard S. Hamilton para provar a conjectura mais geral da geometrização de três variedades por William Thurston , da qual a conjectura de Poincaré segue como um caso especial. Perelman publicou sua cadeia de evidências, que abrange várias publicações e um total de cerca de 70 páginas, no arquivo online arXiv . Desde então, o trabalho foi revisado por matemáticos de todo o mundo e, em reconhecimento à precisão de sua prova, Grigori Perelman foi premiado com a Medalha Fields no Congresso Internacional de Matemáticos de Madri em 2006 , que, como ele havia anunciado anteriormente, não aceitou .

Como o próprio Perelman não mostra interesse em uma apresentação mais detalhada de sua prova, vários grupos de matemáticos assumiram isso: Bruce Kleiner e John Lott publicaram sua elaboração de muitos detalhes logo depois que o trabalho de Perelman se tornou conhecido e os adicionaram várias vezes a 192 páginas. John Morgan e Tian Gang publicaram um relatório completo de 474 páginas sobre o arXiv em julho de 2006 . Além disso, Huai-Dong Cao e Zhu Xiping em 2006 publicaram uma prova da conjectura de Poincaré e da geometrização, Holdingforn realizou exatamente a prova de Perelman em 300 páginas.

Significado do palpite

A prova da conjectura de Poincaré é uma contribuição importante para a classificação de todas as três variedades. Isso ocorre porque Perelman realmente prova a conjectura de geometria mais geral sobre variedades de 3 fechadas, que contém a conjectura de Poincaré como um caso especial.

literatura

Ciência popular

Links da web

Alemão:

Inglês:

Referências e comentários individuais

  1. ↑ claymath.org (PDF) Primeiro Prêmio Milênio do Clay Mathematics Institute anunciado hoje, Prêmio para Resolução da Conjectura de Poincaré concedido ao Dr. Grigoriy Perelman
  2. ↑ Prêmio recusado: gênio da matemática renuncia a um milhão de dólares . Handelsblatt , 1º de julho de 2010.
  3. ↑ Smale: Conjectura de Poincaré Generalizada em Dimensões Maiores que Quatro . In: Ann. Math. , Vol. 74, 1961, pp. 391-406