Teorema de Kolmogorow-Arnold-Moser
O teorema de Kolmogorow-Arnold-Moser (“ teorema KAM ” para breve ) é um resultado da teoria dos sistemas dinâmicos , que faz afirmações sobre o comportamento de tal sistema sob pequenas perturbações. O teorema resolve parcialmente o problema de pequenos divisores, que aparece no cálculo de perturbações de sistemas dinâmicos, especialmente em mecânica celeste .
O teorema KAM surgiu da questão de saber se uma pequena perturbação de um sistema dinâmico conservador leva a um movimento quase periódico. A descoberta de Andrei Kolmogorov em responder a esta pergunta veio em 1954 em sua palestra plenária no Congresso Internacional de Matemáticos em Amsterdã em 1954 (A teoria geral de sistemas dinâmicos e mecânica clássica). O resultado foi rigorosamente comprovado em 1962 por Jürgen Moser para os chamados mapas de torção suave e em 1963 por Wladimir Arnold para sistemas hamiltonianos .
Heurística
O principal resultado da teoria KAM garante a existência de soluções quase periódicas para uma determinada classe de equações diferenciais . Uma subclasse importante disso são as equações diferenciais para o chamado problema de n-corpos . As soluções quase periódicas podem estar próximas umas das outras, mas podem haver órbitas instáveis entre elas, de modo que na prática, por exemplo, devido à precisão finita da medição, não se pode decidir se se está em uma órbita estável ou instável. Para o sistema planetário, pode-se mostrar que as órbitas instáveis são muito mais raras do que as estáveis.
O teorema
Se um sistema não perturbado não é degenerado, a maioria dos toros não ressonantes são apenas ligeiramente deformados para perturbações hamiltonianas autônomas suficientemente pequenas , de modo que toros invariantes também existem no espaço de fase do sistema perturbado, que são apertada e quase periodicamente enrolados pelas trajetórias de fase, em que as frequências são racionalmente independentes. Esses toros invariantes formam a maioria no sentido de que o grau de complemento de sua união é pequeno quando a perturbação é fraca.
literatura
- Jürgen Pöschel : Uma palestra sobre o teorema KAM clássico . In: Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (AMS) . 69, 2001, pp. 707-732.
- Rafael de la Llave: Um tutorial sobre a teoria KAM . 2001, cópia online .
- Hendrik Broer : KAM-Theory - o legado do artigo de Kolmogorovs 1954 . Bulletin American Mathematical Society, 2004
- H. Scott Dumas: A história KAM. Uma introdução amigável ao conteúdo, significado e história da teoria de Kolmogorov-Arnold-Moser, World Scientific 2014
- Alessandra Celletti , Luigi Chierchia : estabilidade KAM e mecânica celeste, Memoirs AMS 2007
- Luigi Chierchia, John Mather: teoria de Kolmogorov-Arnold-Moser , Scholarpedia
Evidência individual
- ^ Proc. Int. Congress Math. Amsterdam 1954, North Holland 1957, Volume 1, pp. 315-333 (Russo), tradução para o inglês em Ralph Abraham, Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin-Cummings 1978 (2ª edição), Apêndice
- ↑ Kolmogorow também publicou: Sobre a conservação de movimentos condicionalmente periódicos para uma pequena mudança na função de Hamilton (russo), Docl. Akad. Nauka SSSR, Volume 98, 1954, pp. 525-530, tradução para o inglês Lecture notes in physics 93, 1975, pp. 51-56
- ^ Moser, Em curvas invariantes de mapas de preservação de área de um anel, Nachrichten Gött. Akad. Wiss., 1962, pp. 1-20
- ^ Arnold, Prova de um teorema de AN Kolmogorov sobre a invariância de movimentos quase periódicos sob pequenas perturbações do Hamiltoniano, Usp. Math. Nauka, Volume 18, 1963, pp. 13-40 ou Russian Mathematical Surveys, Volume 18, 1963, pp. 9-36
- ↑ Arnold, Pequenos denominadores e problemas de estabilidade de movimento na mecânica clássica e celeste, Russian Math. Surveys, Volume 18, 1963, pp. 85-191, correções em Russian Uspekhi Mat. Nauk., Volume 23, 1968, p. 216