Ângulo interno

Ângulos internos α, β, γ de um triângulo

Os ângulos internos de um polígono são geometricamente os ângulos que são delimitados por dois lados vizinhos do polígono e que ficam dentro do polígono. Os cantos do polígono formam os vértices dos ângulos internos. Cada canto tem ângulos internos exatamente . Em um polígono que não é invertido , a soma dos ângulos internos depende apenas do número de cantos do polígono. Um ângulo secundário de um ângulo interno criado ao estender um lado do polígono é chamado de ângulo externo . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Designações

Se os cantos de um polígono são marcados com , os ângulos internos geralmente são mencionados . O canto é o vértice do ângulo , o canto é o vértice do ângulo e assim por diante. No caso de um triângulo , o lado oposto ao ângulo é designado com , o lado oposto ao ângulo com e assim por diante (veja a ilustração).${\ displaystyle A, B, C, \ ldots}$${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ gamma, \ ldots}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle b}$

Casos especiais

Um pentágono não convexo com um ângulo interno maior que 180 °

• Se todos os ângulos internos de um triângulo forem menores que , diz-se que é agudo ; mede um dos ângulos internos com precisão , em ângulos retos ; e se um dos ângulos internos for maior que , ângulo obtuso . Em um triângulo isósceles , dois dos três ângulos internos têm o mesmo tamanho.${\ displaystyle 90 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle 90 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle 90 ^ {\ circ}}$

• Se dois ângulos internos opostos são do mesmo tamanho em um quadrado , um paralelogramo está presente; dois ângulos internos adjacentes são do mesmo tamanho, um trapézio isósceles . Com um quadrilátero cordal , dois ângulos internos opostos se complementam .${\ displaystyle 180 ^ {\ circ}}$

• Com um polígono equiangular , todos os ângulos internos têm o mesmo tamanho. Exemplos importantes de polígonos equiangulares são os polígonos regulares , por exemplo, o triângulo equilátero , o quadrado ou o pentágono regular , em que todos os lados também têm o mesmo comprimento.

• Em um polígono convexo , todos os ângulos internos medem no máximo . No caso de um polígono não convexo, há pelo menos um canto reentrante com um ângulo interno maior que .${\ displaystyle 180 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle 180 ^ {\ circ}}$

• Dois polígonos não são necessariamente semelhantes entre si se todos os ângulos internos correspondentes corresponderem. Por exemplo, retângulos com diferentes proporções não são semelhantes entre si.

características

Soma angular

Em um triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre α + β + γ = 180 °. Os dois ângulos azul e vermelho são ângulos escalonados ou alternados em linhas retas paralelas e, portanto, são do mesmo tamanho.

A soma dos ângulos internos de não mais golpeado resultados -Ecks na geometria euclidiana sempre ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ alpha + \ beta + \ gamma + \ dotsb = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$.

Em um triângulo, a soma dos ângulos internos é, portanto , sempre , em um quadrado é sempre e em um pentágono é sempre . Em um polígono equiangular (e, portanto, especialmente também em um regular) com cantos, todos os ângulos internos resultam ${\ displaystyle 180 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle 360 ​​^ {\ circ}}$${\ displaystyle 540 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ alpha = \ beta = \ gamma = \ dotsb = {\ frac {n-2} {n}} \ cdot 180 ^ {\ circ}}$.

Portanto, todos os ângulos internos medem em um triângulo equilátero , em um quadrado e em um pentágono regular . No entanto, essas declarações não se aplicam mais a geometrias não euclidianas . Em uma geometria elíptica , por exemplo em uma superfície esférica , a soma dos ângulos internos é sempre maior do que na geometria euclidiana, em uma geometria hiperbólica , por exemplo em uma superfície de sela , é sempre menor. ${\ displaystyle 60 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle 90 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle 108 ^ {\ circ}}$

Bisector

Triângulo com bissetriz do ângulo interno (vermelho), bissetriz do ângulo externo (verde), círculo inscrito (azul) e círculos (laranja)

As bissetoras dos ângulos internos de um polígono tangente , por exemplo, um triângulo ou um diamante , se encontram no centro inscrito do polígono.

Em um triângulo, cada bissetriz interna divide o lado oposto na proporção dos dois lados adjacentes. Ele também corta a bissetriz dos dois ângulos externos não adjacentes no centro do círculo no lado oposto.

Frases matemáticas

As relações entre os cantos internos e os lados de um triângulo fornecem, inter alia, a lei dos senos , a lei do cosseno , a lei das tangentes , os conjuntos de meio-ângulo e as fórmulas de Mollweide adiante.

De acordo com a lei dos ângulos externos , todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes. De acordo com o teorema de Morley, o triângulo de Morley , que é criado pela divisão dos três ângulos internos de um triângulo em terços, é sempre equilátero.

Em polígonos equiangulares, aplica-se o teorema de Viviani , segundo o qual a soma das distâncias de qualquer ponto dentro do polígono até os lados do polígono é independente da posição do ponto.

literatura

• Arnfried Kemnitz: Matemática no início do curso . Springer, 2014, ISBN 978-3-658-02081-1 . 
• Ilka Agricola , Thomas Friedrich : Elementary Geometry . Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-9826-5 . 

Evidência individual

1. ^ Arnfried Kemnitz: Matemática no início do curso . Springer, 2014, p. 131-132 . 

Links da web

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