Teoria geométrica da medida

A teoria da medida geométrica é o estudo das propriedades geométricas pela teoria da medida . Situa-se entre a geometria diferencial e a topologia e fornece abordagens mais gerais do que a geometria diferencial, uma vez que superfícies e imagens com singularidades também são consideradas. É uma ferramenta importante na teoria das equações diferenciais parciais e no cálculo das variações .

Os problemas de aplicação clássicos são superfícies mínimas com singularidades e PDEs não lineares com singularidades.

história

Um dos problemas mais antigos da teoria da dimensão geométrica é a prova da existência de uma superfície mínima , onde uma condição de contorno é dada. Esse problema é chamado de problema do platô .

Os resultados de Abram Besikowitsch estão entre os primeiros trabalhos no campo da teoria da medição geométrica .

Nos anos 1950-1960, resultados fundamentais surgiram de matemáticos como Ennio De Giorgi , Ernst Robert Reifenberg , Herbert Federer e Wendell Fleming . O termo eletricidade vem de Georges de Rham .

Um dos marcos é o trabalho Normal and Integral Currents de Federer e Fleming.

Dimensões

Os termos básicos são a medida de Hausdorff dimensional e a medida esférica dimensional . ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {m}}$${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {m}}$

Medida de Hausdorff e medida esférica

Medida de radon

Densidade de uma medida

Seja o volume dimensional da esfera unitária no espaço euclidiano${\ displaystyle \ Omega _ {m}}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle \ Omega _ {m} = {\ frac {2 \ pi ^ {m / 2}} {m \ Gamma (m / 2)}} = {\ frac {[\ Gamma (1/2)] ^ {m}} {\ Gamma (m / 2 + 1)}}}$.

Seja uma medida de , um ponto fixo e . ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle p \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle 0 \ leq m <\ infty}$

• A densidade dimensional superior${\ displaystyle m}$ de em é definida como${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ Theta ^ {* m} (\ mu, p) = \ limsup \ limits _ {r \ downarrow 0} {\ frac {\ mu \ left [{\ bar {B_ {r}}} (p) \ right]} {\ Omega _ {m} r ^ {m}}}}$

• A densidade de dimensão inferior${\ displaystyle m}$ de em é definida como${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ Theta _ {*} ^ {m} (\ mu, p) = \ liminf \ limits _ {r \ downarrow 0} {\ frac {\ mu \ left [{\ bar {B_ {r}}} (p) \ right]} {\ Omega _ {m} r ^ {m}}}}$

• Se for assim , então se fala da densidade dimensional de dentro .${\ displaystyle \ Theta ^ {* m} (\ mu, p) = \ Theta _ {*} ^ {m} (\ mu, p)}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle {\ bar {B_ {r}}} (p)}$denota a esfera fechada ao redor com raio . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle r}$

Conjuntos Caccioppoli

Definição (Caccioppoli)

Deixe Lebesgue mensurável definido . é uma quantidade Caccioppoli ou uma quantidade de perímetro finito (local) no caso de qualquer conjunto compacto se aplicar${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle K \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ operatorname {P} (E, K): = \ sup \ left \ {\ int _ {E} \ mathrm {div} \ T (x) \ mathrm {d} x: T \ in C_ {c } ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {n}, \ mathbb {R} ^ {n}), \ operatorname {supp} T \ subconjunto K, \ sup \ limits _ {\ mathbb {R} ^ { n}} | T | \ leq 1 \ right \} <\ infty}$

A multidão leva o nome de Renato Caccioppoli .

Rectificabilidade

Objetos centrais são as quantidades retificáveis ​​com as quais o espaço tangencial aproximado pode ser definido.

Montante retificável

Espaço tangente aproximado

Correntes

atual

Deixe e com denotar o espaço dual topológico de . Então, um fluxo -dimensional está ativado . ${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {m} (U)}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} ^ {m} (U): = C_ {c} ^ {\ infty} \ left (U, \ wedge ^ {m} \ mathbb {R} ^ {n} \ right )}$${\ displaystyle T \ in {\ mathcal {D}} _ {m} (U)}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle U}$

Explicações

A atual é, portanto, uma constante, linear funcional no espaço de - moldagem em com compacto de apoio. é o espaço vetorial de todos os fluxos . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {m} (U)}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle U}$

Classes importantes de correntes são correntes normais (correntes com massa finita) e correntes integrais .

Aids

Taxas de cobertura

Teoremas centrais são teorema de cobertura do Vitali e da Besikowitsch teorema de cobertura .

Teorema da cobertura de Besikowitsch

Deixe e seja uma família de bolas não degeneradas fechadas em e ou o conjunto dos centros das bolas em é limitado ou . Então, há uma constante positiva e subfamílias tais que ${\ displaystyle n \ geq 1}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle \ sup \ left \ {\ operatorname {diam} ({\ bar {B}}): {\ bar {B}} \ in {\ mathcal {B}} \ right \} <\ infty}$${\ displaystyle K (n)}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {1} \ dots, {\ mathcal {B}} _ {K (n)}}$

• Cada um é desconexo e, no máximo, contável.${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {i}}$
• ${\ displaystyle C \ subset \ bigcup _ {i = 1} ^ {K (n)} \ bigcup _ {{\ bar {B}} \ in {\ mathcal {B}} _ {i}} {\ bar { B}}}$.

Fórmula de área e co-área

Seja uma função de Lipschitz e com denotamos a medida de Lebesgue externa e denotamos o determinante de Jacobi dimensional de${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {m} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {m}}$${\ displaystyle J_ {m} f}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle J_ {m} f (a) = {\ sqrt {\ operatorname {det} [(Df (a)) ^ {t} (Df (a))]}}}$

Fórmula de área

Se então se aplica ${\ displaystyle m \ leq n}$

${\ displaystyle \ int _ {A} J_ {m} f (x) \ mathrm {d} {\ mathcal {L}} ^ {m} x = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} { \ mathcal {H}} ^ {0} \ left (A \ cap f ^ {- 1} (y) \ right) \ mathrm {d} {\ mathcal {H}} ^ {m} y}$

para cada quantidade mensurável de Lebesgue . ${\ displaystyle A \ subset \ mathbb {R} ^ {m}}$

Fórmula da área da cozinha

Se então se aplica ${\ displaystyle m \ geq n}$

${\ displaystyle \ int _ {A} J_ {n} f (x) \ mathrm {d} {\ mathcal {L}} ^ {m} x = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} { \ mathcal {H}} ^ {mn} \ left (A \ cap f ^ {- 1} (y) \ right) \ mathrm {d} {\ mathcal {L}} ^ {n} y}$

para cada quantidade mensurável de Lebesgue . ${\ displaystyle A \ subset \ mathbb {R} ^ {m}}$

Desigualdades

Desigualdades de Poincaré

Desigualdade isoperimétrica

A desigualdade de Sobolev

literatura

• Steven G. Krantz, Harold R. Parks: Teoria da Integração Geométrica . Ed .: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4676-9 , doi : 10.1007 / 978-0-8176-4679-0 . 
• Francesco Maggi: Conjuntos de Perímetro Finito e Problemas Variacionais Geométricos - Uma Introdução à Teoria da Medida Geométrica . Ed.: Cambridge University Press. 
• Frank Morgan: Teoria da medida geométrica - um guia para iniciantes . Ed.: Academic Press. ISBN 978-0-12-804489-6 . 
• Herbert Federer: Teoria da Medida Geométrica . Ed.: Springer Verlag. 1969. 

Evidência individual

1. ↑ Herbert Federer, Wendell H. Fleming: correntes normais e integrais . In: Annals of Mathematics, 2ª Série, Vol. 72 . Não. 3 , 1960, pág. 458-520 . 
2. ^ Francesco Maggi: Conjuntos de Perímetro Finito e Problemas Variacionais Geométricos - Uma Introdução à Teoria da Medida Geométrica . Ed.: Cambridge University Press.