divisor

O termo divisor desempenha um papel importante na geometria algébrica e análise complexa ao examinar variedades algébricas ou variedades complexas e as funções definidas neles. Uma distinção deve ser feita entre o divisor de Weil e o divisor de Cartier , que em certos casos são iguais.

Originalmente, o divisor no caso unidimensional tem o significado de prescrever o conjunto de zero e pólo de uma função racional ou meromórfica , e surge a questão de quais divisores tal realização é possível, o que está intimamente relacionado com a geometria da variedade ou variedade é ligado.

Caso unidimensional

Teoria da função

definição

Seja uma área ou superfície Riemanniana . Um mapeamento é chamado de divisor em se sua portadora em for fechada e discreta . O conjunto de todos os divisores em forma um grupo abeliano em relação à adição, que é denotado por. Uma ordem parcial é introduzida neste grupo . Seja , então você aposta , se aplica a todos . ${\ displaystyle \ Omega \ subseteq \ mathbb {C}}$${\ displaystyle D \ colon \ Omega \ rightarrow \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle T: = \ {z \ in \ Omega \ ,: \, D (z) \ neq 0 \}}$${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ operatorname {Div} (\ Omega)}$${\ displaystyle D, D '\ in \ operatorname {Div} (\ Omega)}$${\ displaystyle D \ leq D '}$${\ displaystyle D (x) \ leq D '(x)}$${\ displaystyle x \ in \ Omega}$

Divisor principal

Um divisor pode ser definido para cada função meromórfica diferente de zero atribuindo a ordem de zero ou pólo a cada ponto : ${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle (f)}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ left (f \ right) (x): = {\ begin {cases} 0, & f {\ mbox {holomorphic and not zero in}} x \\ k, & f {\ mbox {has a zero of order }} k {\ mbox {in}} x \\ - k, & f {\ mbox {tem um pólo de ordem}} k {\ mbox {in}} x \ end {cases}}}$

Um divisor igual ao divisor de uma função meromórfica é denominado divisor principal .

O teorema do produto de Weierstrass afirma que em qualquer divisor um divisor principal é. Em uma superfície compacta e Riemanniana, entretanto, isso não se aplica mais e depende do gênero da superfície. Isso é explicado com mais detalhes no artigo do Teorema de Riemann-Roch . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Curvas algébricas

Let Ser uma curva algébrica plana . Uma soma formal é chamada de divisor em , exceto para um número finito . Por adição pontual, o conjunto de todos os divisores em torna-se um grupo Abeliano livre . ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {P \ in C} a_ {P} \ cdot P, \; a_ {P} \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle a_ {P} = 0}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle C}$

Análogo ao anterior A definição um define o divisor da função para uma função racional. Um divisor igual ao divisor de uma função racional é chamado de divisor principal .

No caso de um divisor, o mapeamento é um divisor no sentido da teoria das funções. No entanto, existem divisores no sentido da teoria da função que não surgem dessa forma, uma vez que é permitido um número infinito (que, entretanto, não deve ter um ponto de acumulação). ${\ displaystyle C = \ mathbb {C}}$${\ displaystyle P \ mapsto a_ {P}}$${\ displaystyle a_ {P} \ neq 0}$${\ displaystyle P}$

definição geral

Porque divisor

Seja um esquema separado integral de Noether , regular na codimensão 1. Um divisor primo em é um subesquema inteiro fechado da codimensão um. Um divisor de Weil (de acordo com André Weil ) é então um elemento do grupo Abeliano de divisores primos gerado livremente e é geralmente escrito como uma soma formal , com apenas um número finito diferente de zero. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathrm {Div} \, X}$${\ displaystyle \ textstyle D = \ sum _ {j} a_ {j} \ cdot Y_ {j}, \; a_ {j} \ in \ mathbb {Z},}$${\ displaystyle a_ {j}}$

• A porque o divisor é chamado efetivo (ou positivo ) se se aplica a todos .${\ displaystyle a_ {j} \ geq 0}$${\ displaystyle j}$

• A porque divisor é chamado de divisor principal se for igual ao divisor de uma função racional diferente de zero: Seja uma função racional on , diferente de zero. Para cada divisor primo, in denota a avaliação de no anel de avaliação discreto que pertence a um ponto genérico de . A avaliação é independente da escolha do ponto genérico. No caso unidimensional, a avaliação corresponde ao grau do zero ou pólo de neste ponto. é então chamado de divisor de e na verdade define um divisor de Weil, as somas são diferentes de zero apenas para divisores primos finitos.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle v (f, Y)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ textstyle (f): = \ sum _ {Y} v (f, Y) \ cdot Y}$${\ displaystyle f}$

• Dois divisores Weil são chamados de equivalentes lineares se sua diferença for um divisor principal. O quociente de em relação a essa equivalência é o grupo de classes divisórias e é denotado por.${\ displaystyle \ mathrm {Div} \, X}$${\ displaystyle \ mathrm {Cl} \, X}$

Divisor Cartier

Let Ser uma variedade complexa ou uma variedade algébrica e denotar o feixe de funções holomórficas ou algébricas e denotar o feixe de funções meromórficas ou racionais . O maço quociente é chamado o maço de divisores e um corte no é chamado de divisor Cartier (após Pierre Cartier ), geralmente apenas referido como um divisor . O conjunto de todos os cortes forma um grupo Abeliano. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}: = {\ mathcal {M}} ^ {*} / {\ mathcal {O}} ^ {*}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle \ Gamma (X, {\ mathcal {M}} ^ {*} / {\ mathcal {O}} ^ {*})}$

• Um divisor de Cartier é chamado de divisor principal se estiver na imagem do mapeamento natural , ou seja , é o divisor de uma função meromórfica permanente.${\ displaystyle \ Gamma (X, {\ mathcal {M}} ^ {*}) \ to \ Gamma (X, {\ mathcal {M}} ^ {*} / {\ mathcal {O}} ^ {*} )}$

• Dois divisores Cartier são chamados de equivalentes lineares se seu quociente for um divisor maior. O quociente com relação a essa equivalência é denotado por.${\ displaystyle \ mathrm {CaCl} \, X}$

Relação entre os divisores Cartier e Weil

Let Ser um esquema separado integral Noetherian cujos anéis locais são todos fatoriais . Então, o grupo de divisores Weil é isomórfico ao grupo de divisores Cartier . Este isomorfismo é dada a propriedade de ser o principal divisor e converte os grupos de quociente e um no outro. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathrm {Div} \, X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Gamma (X, {\ mathcal {M}} ^ {*} / {\ mathcal {O}} ^ {*})}$${\ displaystyle \ mathrm {Cl} \, X}$${\ displaystyle \ mathrm {CaCl} \, X}$

Links da web

Wikcionário: Divisor  - explicações de significados, origens de palavras, sinônimos, traduções

literatura

• Joseph L. Taylor: várias variáveis ​​complexas com conexões para geometria algébrica e grupos de Lie. American Mathematical Society 2002, ISBN 0-8218-3178-X
• William Fulton: Curvas algébricas. Uma introdução à geometria algébrica. Mathematics lecture note series, 30. Benjamin / Cummings, New York 1969, ISBN 0-201-51010-3
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry . Springer-Verlag 1977. ISBN 0-387-90244-9
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: teoria da função 2. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-57052-3