Equação de onda

A equação de onda , também equação de D'Alembert segundo Jean-Baptiste le Rond d'Alembert , determina a propagação de ondas como som ou luz . É uma das equações diferenciais hiperbólicas .

Se o meio ou vácuo apenas passa a onda e não gera ondas, é mais precisamente a equação da onda homogênea , a equação diferencial parcial linear de segunda ordem

${\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} - \ sum _ {i = 1} ^ { n} {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial x_ {i} ^ {2}}} = 0}$

para uma função real do espaço-tempo. Aqui está a dimensão da sala. O parâmetro é a velocidade de propagação da onda, ou seja, a velocidade do som para o som (em um meio homogêneo e isotrópico) e a velocidade da luz para a luz. ${\ displaystyle u (t, x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle c}$

O operador diferencial da equação de onda é chamado de operador D'Alembert e é indicado com o símbolo . ${\ displaystyle \ Box}$

${\ displaystyle \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x_ {i} ^ {2}}}}$,

As soluções para a equação de onda são chamadas de ondas . Como a equação é linear, as ondas se sobrepõem sem afetar umas às outras. Como os coeficientes da equação de onda não dependem do lugar ou do tempo, as ondas se comportam independentemente de onde, quando e em que direção são excitadas. Ondas deslocadas, atrasadas ou giradas também são soluções para a equação de onda.

A equação de onda não homogênea é entendida como a equação diferencial parcial linear não homogênea

${\ displaystyle \ Box u = v \.}$

Ele descreve o desenvolvimento temporal de ondas em um meio que gera as próprias ondas. A não homogeneidade também é chamada de fonte da onda . ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle u}$

A equação de onda em uma dimensão espacial

O operador D'Alembert em uma dimensão espacial

${\ displaystyle \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - {\ frac {\ partial ^ { 2}} {\ parcial x ^ {2}}}}$

decompõe-se no produto devido ao teorema do preto como na fórmula binomial${\ displaystyle (a ^ {2} -b ^ {2}) = (ab) (a + b)}$

${\ displaystyle \ Box = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} - {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right) \ esquerda ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} \ direita)}$.

Portanto, a equação de onda tem a solução geral em uma dimensão espacial

${\ displaystyle u \ left (t, x \ right) = f (x + ct) + g (x-ct)}$

com quaisquer funções duplamente diferenciáveis e . O primeiro soma é uma onda que se move para a esquerda e o segundo soma é uma onda que se move para a direita com uma forma inalterada. As linhas retas são as características da equação de onda. ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle g (x)}$${\ displaystyle f (x + ct)}$${\ displaystyle g (x-ct)}$${\ displaystyle x \ pm ct = {\ text {constante}}}$

Ser

${\ displaystyle \ phi (x) = u (0, x) = f (x) + g (x)}$

o valor inicial e

${\ displaystyle \ psi (x) = {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} (0, x) = f '(x) -g' (x) }$

a derivada de tempo inicial da onda. Essas funções do espaço são chamadas coletivamente de valores iniciais da onda.

A integração da última equação dá

${\ displaystyle f (x) -g (x) = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \.}$

Ao dissolver, obtém-se

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {2}} \ left (\ phi (x) + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \ right) \,}$

${\ displaystyle g (x) = {\ frac {1} {2}} \ left (\ phi (x) - \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \ right) \.}$

A solução da equação de onda é, portanto, expressa em termos de seus valores iniciais

${\ displaystyle u (t, x) = {\ frac {1} {2}} \ left (\ phi (x + ct) + \ phi (x-ct) + \ int _ {x-ct} ^ {x + ct} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \ right) \.}$

Isso também é conhecido como a solução de D'Alembert para a equação de onda ( d'Alembert , 1740).

A equação da onda em três dimensões espaciais

A solução geral da equação de onda pode ser expressa como uma combinação linear de ondas planas

${\ displaystyle u ({\ vec {x}}, t) = \ int \ mathrm {d} \ omega \ int \ mathrm {d} ^ {3} {\ vec {k}} \, A (\ omega, k) e ^ {\ mathrm {i} ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}} - \ omega t)} \ delta (\ omega -c | {\ vec {k}} |) }$

Escreva. A distribuição delta garante que a relação de dispersão seja preservada. Essa onda plana se move na direção de . Com a superposição de tais soluções, entretanto, não é óbvio como seus valores iniciais estão relacionados à solução posterior. ${\ displaystyle \ omega = c | {\ vec {k}} |}$${\ displaystyle {\ vec {k}}}$

A solução geral da equação de onda homogênea pode ser representada em três dimensões espaciais por meio dos valores médios dos valores iniciais. Deixe a função e sua derivada de tempo ser dada no início por funções e , ${\ displaystyle u (t, {\ vec {x}})}$${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle u (0, {\ vec {x}}) = \ phi ({\ vec {x}}), \ quad {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} u (0, {\ vec {x}}) = \ psi ({\ vec {x}}) \ ,,}$

então é a combinação linear de meios

${\ displaystyle u (t, {\ vec {x}}) = ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ psi] + {\ frac {1} {c}} {\ frac { \ parcial} {\ parcial t}} (ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ phi])}$

a solução correspondente da equação de onda homogênea. Aqui designado

${\ displaystyle M_ {t, {\ vec {x}}} [\ chi] = {\ frac {1} {4 \, \ pi}} \ int _ {- 1} ^ {1} \ mathrm {d} \ cos \ theta \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ varphi \, \ chi ({\ vec {x}} + ct {\ vec {n}} (\ theta, \ varphi )) \ quad {\ text {mit}} \ quad {\ vec {n}} (\ theta, \ varphi) = {\ begin {pmatriz} \ sin \ theta \ cos \ varphi \\\ sin \ theta \ sin \ varphi \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}}}$

é o valor médio da função calculada sobre uma camada esférica em torno do ponto com raio em particular${\ displaystyle \ chi \ ,,}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle c | t |.}$${\ displaystyle M_ {0, {\ vec {x}}} [\ chi] = \ chi ({\ vec {x}}).}$

Como esta representação da solução indicada pelos valores iniciais, a solução depende continuamente dos valores iniciais, dependendo do tempo no local apenas dos valores iniciais nos locais de, a partir dos quais um em tempo de execução com velocidade pode chegar. Assim, ele satisfaz o princípio de Huygens . ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle {\ vec {y}}}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle | t |}$${\ displaystyle c}$

Este princípio não se aplica a sistemas unidimensionais e em dimensões espaciais retas. Lá as soluções atualmente também dependem de valores iniciais em pontos mais próximos , a partir dos quais se pode chegar com menos velocidade. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ vec {y}}}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

A solução da equação de onda não homogênea em três dimensões espaciais

${\ displaystyle u (t, {\ vec {x}}) = ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ psi] + {\ frac {1} {c}} {\ frac { \ parcial} {\ parcial t}} (ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ phi]) + {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {| {\ vec {z}} | \ leq c | t |} \ mathrm {d} ^ {3} {\ vec {z}} \, {\ frac {v (ct- \ operatorname {sign} (t) | {\ vec {z}} |, {\ vec {x}} + {\ vec {z}})} {| {\ vec {z}} |}}}$

atualmente depende apenas da não homogeneidade no cone de luz posterior de , em tempos negativos apenas da não homogeneidade no cone de luz anterior. A não homogeneidade e os valores iniciais afetam a solução na velocidade da luz. ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle t> 0}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

Potencial retardado

O potencial retardado

${\ displaystyle u _ {\ text {retarded}} (t, {\ vec {x}}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ mathrm {d} ^ {3} {\ vec {z}} \, {\ frac {v (ct- | {\ vec {z}} |, \, {\ vec {x}} + {\ vec { z}})} {| {\ vec {z}} |}}}$

é uma solução da equação de onda não homogênea, que assume que a não homogeneidade em todos os cones de luz reversos cai mais rápido do que . É a onda que é completamente criada pelo meio sem uma onda passageira. ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle 1 / r ^ {2}}$

Em eletrodinâmica, a equação de continuidade limita a não homogeneidade. Assim, a densidade de carga de uma carga total que não desaparece nunca pode desaparecer em todos os lugares. Na teoria da perturbação, ocorrem inomogeneidades que não diminuem espacialmente com rapidez suficiente. Então, a integral retardada associada diverge e tem uma chamada divergência infravermelha.

A representação um pouco mais complexa da solução por meio de seus valores iniciais em tempo finito e por meio de integrais sobre seções finitas do cone de luz está livre de tais divergências infravermelhas.

Invariância de Lorentz do operador D'Alembert

O operador D'Alembert é invariante sob traduções e transformações de Lorentz no sentido de que, quando aplicado a funções concatenadas de Lorentz, dá o mesmo resultado que a função derivada concatenada de Lorentz${\ displaystyle \ Box}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle f \ circ \ Lambda ^ {- 1}}$

${\ displaystyle (\ Box f) \ circ \ Lambda ^ {- 1} = \ Box \, (f \ circ \ Lambda ^ {- 1}) \.}$

Conseqüentemente, o operador Laplace é invariante sob translações e rotações.

A equação de onda homogênea é invariante mesmo sob transformações conformes, especialmente sob alongamento.

Veja também

• Equação de Klein-Gordon
• Onda parada

literatura

• Richard Courant , David Hilbert : Métodos de Física Matemática. Volume 2. Segunda edição. Springer Verlag, Berlin 1968 ( Heidelberger Taschenbücher 31, ISSN  0073-1684 ).
• Fritz John : Equações diferenciais parciais, 4ª edição, Springer 1982

Links da web

• Gernot Pfanner, The Wave Equation (PDF)
• Norbert Dragon, Geometria da Relatividade (PDF; 2,5 MB) Capítulo 5.5

Evidência individual

1. ↑ Eric Weisstein, solução de d'Alembert, Mathworld