Rayleigh Jeans Law

Comparando a lei de Rayleigh-Jeans (azul) com a lei de radiação de Wien (vermelha) e de Planck (preta), para um corpo negro de temperatura de 1000 K.

A lei de Rayleigh-Jeans descreve a dependência da radiação específica de um corpo negro no comprimento de onda da luz , o que é teoricamente esperado a uma dada temperatura no contexto da eletrodinâmica clássica e da termodinâmica estatística . Foi derivado pela primeira vez em 1900 pelo físico inglês John William Strutt, 3º Barão Rayleigh , mas sua fórmula ainda tinha um prefator incorreto. A fórmula correta foi publicada cinco anos depois pelo físico, astrônomo e matemático inglês Sir James Jeans .${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

A lei de Rayleigh-Jeans só concorda com as medições em grandes comprimentos de onda (veja a imagem, os valores medidos correspondem à curva de Planck). No caso de comprimentos de onda pequenos, por outro lado, ele fornece valores muito grandes, que fazem com que a energia da radiação total, a radiação espectral integrada em toda a faixa de comprimento de onda, se esforce para o infinito em qualquer temperatura . Esse comportamento marca um fracasso da física clássica e, portanto, é conhecido como uma catástrofe ultravioleta .${\ displaystyle T> 0 \; \ mathrm {K}}$

A Lei Rayleigh Jeans diz:

${\ displaystyle M (\ lambda) \, \ mathrm {d} \ lambda = {\ frac {2 \, c \, \ pi} {\ lambda ^ {4}}} \, k _ {\ mathrm {B}} \, T \, \ mathrm {d} \ lambda}$

Com

• ${\ displaystyle M (\ lambda)}$: Emissão espectral específica
• ${\ displaystyle c}$: Velocidade da luz
• ${\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}$: Constante de Boltzmann
• ${\ displaystyle T}$: temperatura absoluta do corpo negro.

O comportamento em pequenos comprimentos de onda, ou seja, altas frequências (e, portanto, correspondentemente alta energia dos quanta), é corretamente descrito pela lei de radiação de Wien de 1896, que, no entanto, não pode ser explicada com a física clássica. Em 1900, Max Planck encontrou a lei da radiação com seu nome , que concorda com as medições em todas as temperaturas em toda a faixa de comprimento de onda, e cuja primeira interpretação teórica bem-sucedida é considerada o início da física quântica . A lei da radiação de Planck é uma fórmula de interpolação para as outras duas leis e as contém como o caso limite de comprimentos de onda grandes e pequenos.

Derivação

O ponto de partida para derivar a lei de Rayleigh-Jeans é a radiação da cavidade . As ondas de luz estacionárias são formadas em uma cavidade que, devido às condições de contorno de ter que formar nós de onda nas paredes da cavidade, só pode assumir números de onda discretos . Por uma questão de simplicidade, um cubo com o comprimento da aresta é assumido abaixo . Então a condição no número da onda é${\ displaystyle a}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle k = {\ frac {\ pi} {a}} {\ sqrt {n_ {x} ^ {2} + n_ {y} ^ {2} + n_ {z} ^ {2}}}}$

com três números inteiros . O número de modos por unidade de volume é, portanto, dado por ${\ displaystyle n_ {x}, n_ {y}, n_ {z}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle n = {\ frac {8 \ pi \ nu ^ {3}} {3c ^ {3}}}}$

com frequência . ${\ displaystyle \ textstyle \ nu = {\ frac {k} {2 \ pi}} c}$

A densidade do modo espectral , ou seja, o número de modos por intervalo de frequência é: ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ nu}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} n} {\ mathrm {d} \ nu}} \ mathrm {d} \ nu = {\ frac {8 \ pi \ nu ^ {2}} {c ^ { 3}}} \ mathrm {d} \ nu}$

e a densidade de energia espectral é o produto da densidade de modo espectral com a energia média por modo : ${\ displaystyle w (\ nu)}$${\ displaystyle {\ bar {E}} _ {\ nu}}$

${\ displaystyle w (\ nu) \ mathrm {d} \ nu = {\ frac {\ mathrm {d} n} {\ mathrm {d} \ nu}} {\ bar {E}} _ {\ nu} \ mathrm {d} \ nu}$

A lei de Rayleigh-Jeans assume a validade da lei de distribuição uniforme para a energia média . Isso diz

${\ displaystyle {\ bar {E}} _ {\ nu} = k _ {\ mathrm {B}} T}$

e assim

${\ displaystyle w (\ nu) \, \ mathrm {d} \ nu = {\ frac {8 \, \ pi \, \ nu ^ {2}} {c ^ {3}}} \, k _ {\ mathrm {B}} \, T \, \ mathrm {d} \ nu}$

Para reescrever isso em termos de comprimento de onda, a relação e, portanto, se aplica${\ displaystyle \ nu = c / \ lambda}$

${\ displaystyle w (\ lambda) \, \ mathrm {d} \ lambda = {\ frac {8 \, \ pi} {c \, \ lambda ^ {2}}} \, k _ {\ mathrm {B}} \, T \, \ left | {\ frac {\ mathrm {d} \ nu} {\ mathrm {d} \ lambda}} \ right | \, \ mathrm {d} \ lambda = {\ frac {8 \, \ pi} {\ lambda ^ {4}}} \, k _ {\ mathrm {B}} \, T \, \ mathrm {d} \ lambda}$.

A lei de Rayleigh-Jeans segue da relação entre densidade de radiação e densidade de energia . ${\ displaystyle \ textstyle M = {\ frac {c} {4 \ pi}} w}$

Lei de Rayleigh-Jeans como uma aproximação da lei da radiação de Planck

A lei da radiação de Planck lê

${\ displaystyle M (\ lambda) \, \ mathrm {d} \ lambda = {\ frac {2 \ pi hc ^ {2}} {\ lambda ^ {5}}} {\ frac {1} {e ^ { \ left ({\ frac {hc} {\ lambda k _ {\ mathrm {B}} T}} \ right)} - ​​1}} \, \ mathrm {d} \ lambda}$

• ${\ displaystyle h}$é o quantum de ação de Planck

Na longa faixa de comprimento de onda

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} & \ lambda && \ gg {\ frac {hc} {k _ {\ mathrm {B}} T}} \ Leftrightarrow \\ & {\ frac {hc} {\ lambda k _ {\ mathrm {B}} T}} && \ ll 1, \ end {alinhado}}}$

a aproximação pode ser usada ( ) e a lei de Rayleigh-Jeans é obtida imediatamente. ${\ displaystyle e ^ {x} -1 \ approx x}$${\ displaystyle x = (hc) / (\ lambda k _ {\ mathrm {B}} T)}$

Os diagramas adjacentes mostram uma comparação das três fórmulas de radiação de acordo com Planck, Vienna e Rayleigh-Jeans (acima em linear, abaixo em dupla representação logarítmica ). As previsões de Rayleigh-Jeans e Planck estão de acordo para comprimentos de onda longos, enquanto Rayleigh-Jeans desvia-se cada vez mais fortemente para comprimentos de onda menores. Viena, por outro lado, descreve o caso limite de pequenos comprimentos de onda (aqui μm) muito bem, mas é claramente muito baixo para comprimentos de onda maiores. ${\ displaystyle \ lambda <5}$

Links da web

• Michael Komma: fórmula de radiação de Planck. Acessado em 8 de agosto de 2017 (comparação das leis de radiação de Planck, Vienna e Rayleigh / Jeans com Maple). 

Evidência individual

1. ^ L. Rayleigh: Observações sobre a lei da radiação completa . In: Phil. Mag. Band 49 , 1900, pp. 539-540 . 
2. ^ JH Jeans: Sobre a partição de energia entre a matéria e o Éter . In: Phil. Mag. Band 10 , 1905, pp. 91-98 . 
3. ↑ Esta divergência fisicamente absurda da lei de Rayleigh-Jeans em pequenos comprimentos de onda (altas frequências de radiação) foi descrita pela primeira vez (independentemente uma da outra) em 1905 por Einstein, Rayleigh e Jeans. O termo catástrofe ultravioleta foi usado pela primeira vez por Paul Ehrenfest em 1911:
   P. Ehrenfest : Quais características da hipótese quântica de luz desempenham um papel essencial na teoria da radiação térmica? In: Annals of Physics . fita 341 , no. 11 , 1911, pp. 91-118 . 
4. ^ Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2: Eletricidade e óptica . 3. Edição. Springer, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-20210-2 , pp. 201-203 . 
5. ↑ Wolfgang Demtröder: Experimental Physics 3: Atoms, Molecules and Solids . 3. Edição. Springer, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 3-540-21473-9 , pp. 76 .