Critério de quociente

O critério de quociente é um critério de convergência matemática para séries . Baseia-se no critério majorante , ou seja, uma série complexa é avaliada em alta por uma série simples, neste caso a série geométrica . A série geométrica converge exatamente quando a quantidade dos seguintes termos diminui, ou seja, o quociente (constante) de dois termos sucessivos é menor que 1. Se outra série diminui pelo menos tão rapidamente a partir de um determinado elemento, ou seja, se o quociente é menor ou igual , então isso também é convergente. A divergência também pode ser demonstrada com o critério do quociente. Se o quociente for sempre maior ou igual a 1, a quantidade dos seguintes termos não diminui. Como essas então não formam uma sequência zero , a série é divergente. ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q}$

O critério de quociente foi desenvolvido pelo matemático e físico Jean-Baptiste le Rond d'Alembert , em cuja homenagem esta afirmação matemática é também chamada de critério de convergência de d'Alembert .

declaração

Árvore de decisão para o critério de quociente

Uma série com somas reais ou complexas é fornecida para quase todos . Existe um tal que para quase toda verdade ${\ displaystyle S: = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle q <1}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | \ leq q <1,}$

então a série é absolutamente convergente . No entanto, isso se aplica a quase todos${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | \ geq 1}$,

então a série é divergente.

Não deve se empenhar em direção a 1 vindo de baixo. Se, por outro lado, se aplicar apenas, ou seja, o quociente pode chegar tão perto quanto desejado de 1, o critério do quociente não fornece nenhuma informação sobre a convergência ou a divergência. ${\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right |}$${\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | <1}$

No caso de necessidade de convergência de independente seja. ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle n}$

Exemplos

• Olhamos para a série e verificamos se há convergência. Usando o critério de quociente, obtemos${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {5 + n} {10 ^ {n}}}}$

${\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = {\ frac {5+ (n + 1)} {10 ^ {n + 1}}} \ cdot {\ frac {10 ^ {n}} {5 + n}} = {\ frac {1} {10}} \ cdot {\ frac {6 + n} {5 + n}} \ leq {\ frac {3} {25}} <1}$.

Portanto, a série é convergente.

• Olhamos para a série e verificamos se há convergência. Nós obtemos${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n!} {2 ^ {n}}}}$

${\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = {\ frac {(n + 1)!} {2 ^ {n + 1}}} \ cdot {\ frac {2 ^ {n}} {n!}} = {\ frac {n + 1} {2}} \ geq 1}$.

Portanto, esta série é divergente.

• Queremos determinar o raio de convergência da série de potências de números complexos . Pois a série é obviamente convergente para 0, então vamos ter${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {n!} {n ^ {n}}} z ^ {n}}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle z = 0}$${\ displaystyle z \ not = 0}$

${\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = \ left | {\ frac {(n + 1)! n ^ {n}} {n! (n + 1) ^ {n + 1}}} {\ frac {z ^ {n + 1}} {z ^ {n}}} \ direita | = \ esquerda ({\ frac {1} {1+ { \ frac {1} {n}}}} \ right) ^ {n} | z | \, \, {\ overset {n \ to \ infty} {\ longrightarrow}} \, \, {\ frac {| z |} {e}}}$.

Portanto, o raio de convergência é o número de Euler .${\ displaystyle e}$

• Um exemplo da inaplicabilidade do critério de quociente é a série harmônica geral . Se aplica${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {\ alpha}}}}$

${\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = \ left ({\ frac {n} {n + 1}} \ right) ^ {\ alpha } <1}$.

Pois é a série harmônica geral divergente, para convergente; no entanto, o critério de quociente não pode distinguir os dois casos.${\ displaystyle \ alpha = 1}$${\ displaystyle \ alpha> 1}$

Ideia de prova

O caso de convergência segue com o critério majorante da convergência de uma série geométrica . O critério de divergência decorre do fato de que os termos não podem formar uma seqüência zero por causa disso. ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} q ^ {n}}$${\ displaystyle 0 <\ left | a_ {n} \ right | \ leq \ left | a_ {n + 1} \ right |}$

Casos especiais

Existir , fornecendo assim o teste de razão ${\ displaystyle L: = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right |}$

1. para convergência absoluta,${\ displaystyle L <1}$
2. para divergência,${\ displaystyle L> 1}$
3. para nenhuma declaração de convergência.${\ displaystyle L = 1}$

Usando o Limes superior e o Limes inferior , o critério de quociente pode ser formulado da seguinte forma:

1. Se a série for absolutamente convergente,${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | <1}$
2. é , a série é divergente,${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right |> 1}$
3. ou seja , nenhuma declaração de convergência pode ser feita.${\ displaystyle \ liminf _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | \ leq 1 \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right |}$

Em contraste com o critério de raiz , os limas inferiores ao invés dos limas superiores devem ser usados ​​para o critério de divergência.

Critério de quociente modificado

Além do critério de quociente “usual” , existem também as seguintes versões (ver também o critério de Raabe ): Seja uma sequência com termos genuinamente positivos. Se agora ${\ displaystyle (a_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle \ exists d> 1, n_ {0} \ in \ mathbb {N}: \ forall n \ geq n_ {0}: {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ leq 1 - {\ frac {d} {n}}}$,

portanto, ele mantém que é convergente. ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$

Por outro lado é

${\ displaystyle \ existe n_ {0}: \ forall n \ geq n_ {0}: {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ geq 1 - {\ frac {1} {n }}}$,

então segue:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$diverge contra .${\ displaystyle \ infty}$

Formulários

Com o critério de quociente, por exemplo, pode-se mostrar a convergência das séries de Taylor para a função exponencial e para as funções seno e cosseno .

literatura

• Otto Forster : Análise I cálculo diferencial e integral de uma variável. Rowohlt, Hamburgo 1976.
• Konrad Knopp : Teoria e Aplicação de Séries Infinitas. 6ª edição. Springer, 1996, ISBN 3-540-59111-7 ( online , edição de 1964).
• Peter Hartmann: Mathematics for Computer Scientists. 4ª edição. Vieweg, 2006, ISBN 3-8348-0096-1 , p. 254.

Links da web

• Léxico Online de Matemática (Definição e Prova)

Evidência individual

1. ^ Wilhelm Merz: Matemática para engenheiros e cientistas naturais . Springer Spectrum, Berlin 2013, ISBN 978-3-642-29979-7 , pp. 170 . 
2. ↑ Harro Heuser : Textbook of Analysis . Parte 1. 11ª edição. BG Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-42231-X , p. 205 f .