Arco meridiano

Como arco meridiano, uma corrida norte-sul está medindo a distância na superfície da terra ou seu equivalente matemático no elipsóide terrestre referido (ver. Meridiano ).

A primeira seção de medição mencionada pode ser usada para determinar a curvatura média da Terra e, portanto, o raio da Terra com o "método de medição em graus " . Para fazer isso, as latitudes geográficas dos dois pontos finais da rota (φ ₁ , φ ₂ ) também devem ser medidas. Essas latitudes são determinadas astronomicamente pela observação dos ângulos de elevação das estrelas.

A rota está agora reduzida ao nível do mar e seu comprimento comparado com a diferença de latitudes geográficas. Se o arco meridional tem o comprimento B e a diferença de largura tem o valor β = | φ ₁ -φ ₂ |, então o raio de curvatura local resulta com R = B / β. Juntamente com um segundo arco meridiano, a forma do elipsóide terrestre pode ser derivada deste - como B. 1735–1740 durante as famosas expedições da Academia de Paris à Lapônia e ao Peru .

Desde cerca de 1900, no entanto, extensas redes de levantamento têm sido usadas na geodésia, em vez do método dos meridianos .

Arcos meridianos significativos até 1900

Os primeiros arcos meridianos da história da ciência serviram para provar a figura esférica da Terra e seu tamanho. De acordo com a medição da Terra de Eratóstenes , a medição do grau pelo califa Al-Ma'mun deve ser mencionada, um arco de 2 ° de comprimento perto de Bagdá , que resultou em 122 km para o grau do meridiano (o valor de hoje depende da latitude 111-112 km). A medição de Fernel em 1525 ao norte de Paris por meio de observações solares e contagens de revolução da roda do vagão também chegou até nós. Por volta de 1615, Willebrord van Roijen Snell mediu um arco meridiano entre Alkmaar e Bergen-op-Zoom pela primeira vez, triangulando grandes triângulos. Em 1670, Jean Picard foi o primeiro a determinar o comprimento do arco meridional por triangulação com quadrantes , que possuía telescópios com oculares em forma de cruz para mirar o corpo celeste. Isso atingiu um nível de precisão que antes era impossível.

Quando um desvio perceptível da forma esférica - ou seja, a figura elipsoidal da terra - foi assumido, várias medidas importantes de grau seguiram nos séculos 18 e 19 , especialmente

a medição francesa da terra na Lapônia e no Peru
o arco meridiano de Kremsmünster na Alta Áustria
outros arcos na Alemanha, Itália e Áustria-Hungria, v. uma. Roma - Rimini ( Roger Boscovich 1751) e Brno - Varasdin ( Meridiano de Viena ) pelo Padre Liesganig 1761
o Delambre - arco Méchain de Dunquerque a Barcelona (mais de 1000 km pela primeira vez), 1792-1798
o Gaußsche Bogen Göttingen - Altona (1821-1823), pela primeira vez usando matemática estrita. Ajustamento
o Grande Arco de 2500 km de comprimento na Índia (1802-1841 como parte do Grande Levantamento Trigonométrico )
o Arco Struve de 3.000 km de comprimento na Europa Oriental (1816-1852) e
sua integração em arcos adicionais para o elipsóide europeu de Bessel
o arco meridiano Grossenhain - Kremsmünster - Pola (~ 1880-1910) da Saxônia ao Adriático
e medições de primeiro grau nos EUA para o elipsóide de Hayford .

Arcos meridianos importantes do século 20

Por volta de 1900, além de medições de latitude astronômica ou redes de levantamento meridional , determinações de comprimento (ou seja, perfis leste-oeste) também foram medidas, o que gradualmente deu lugar a extensas redes de área por volta de 1910 - ver ajuste de rede astro-geodésica .

Dos modernos meridianos, os arcos são de particular importância:

o arco do meridiano de Svalbard (medido da Rússia e Suécia 1898–1902). Com uma amplitude de 4,2 °, é relativamente curto, mas é o arco mais ao norte que pode ser usado para medições terrestres
o arco meridiano da América do Sul da Colômbia por todo o Equador até o norte do Peru, a nova medição de 1899–1906 do famoso arco francês de 1735 a 1740
o arco oeste europeu-africano ( meridiano de Paris ) das ilhas Shetland a Laghouat, perto de Argel. Possui amplitude de 27 ° (diferença de latitude) e 38 estações
a medição da latitude norte-americana no meridiano de 98 ° do México ao Oceano Ártico (1922)
e outras cadeias meridionais dos EUA , bem como o arco oblíquo de 23 ° ao longo da costa leste
a medição do grau africano na longitude 30 ° Leste, iniciada por Sir D. Gill, mas não concluída até 1953. Curso do Cairo à Cidade do Cabo , com amplitude de 65 ° o perfil de medição mais longo na geodésia clássica.

Descrição matemática

Um arco meridiano em um elipsóide de revolução tem a forma exata de uma elipse . Portanto, sua longitude - contada a partir do equador - pode ser calculada como uma integral elíptica e representada na forma de uma série de funções da latitude geográfica φ:

{\ displaystyle B = C \ varphi + D \ sin 2 \ varphi + E \ sin 4 \ varphi + F \ sin 6 \ varphi + \ cdots}

etc.

O primeiro coeficiente C está relacionado ao raio médio da Terra e é 111,120 km / grau para o elipsóide de Bessel . O segundo coeficiente D está relacionado ao achatamento da terra e tem 15.988 km. Os valores para outros elipsóides diferem do quarto dígito.

O desenvolvimento por meio da excentricidade e ^{2 foi dado} por Jean-Baptiste Joseph Delambre em 1799:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} B \ approx & \; a (1-e ^ {2}) \ left \ {\ left (1 + {\ frac {3} {4}} e ^ {2} + {\ frac {45} {64}} e ^ {4} + {\ frac {175} {256}} e ^ {6} + {\ frac {11025} {16384}} e ^ {8} \ right) \ varphi \ right. \\ & \ - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {3} {4}} e ^ {2} + {\ frac {15} {16}} e ^ {4} + {\ frac {525} {512}} e ^ {6} + {\ frac {2205} {2048}} e ^ {8} \ right) \ sin 2 \ varphi \\ & \ + { \ frac {1} {4}} \ left ({\ frac {15} {64}} e ^ {4} + {\ frac {105} {256}} e ^ {6} + {\ frac {2205} {4096}} e ^ {8} \ right) \ sin 4 \ varphi \\ & \ - {\ frac {1} {6}} \ left ({\ frac {35} {512}} e ^ {6} + {\ frac {315} {2048}} e ^ {8} \ right) \ sin 6 \ varphi \\ & \ + {\ frac {1} {8}} \ left. \ left ({\ frac {315 } {16384}} e ^ {8} \ right) \ sin 8 \ varphi \ right \} \\\ end {alinhado}}}

Friedrich Robert Helmert usou em 1880: ${\ displaystyle n = {\ frac {1 - {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} {1 + {\ sqrt {1-e ^ {2}}}}} \ simeq {\ frac {e ^ {2}} {4}}}$