Modelo matemático

Um modelo matemático é um meio de modelo gerado por notação matemática para descrever uma seção do mundo observável. Este modelo pode ser usado em quaisquer áreas limitadas da realidade observável, como B. as ciências naturais, economia ou ciências sociais, medicina ou engenharia. Os modelos matemáticos permitem uma penetração lógica e estrutural dependendo do tipo em relação às leis válidas, estados permitidos e não permitidos, bem como a sua dinâmica com o objetivo de transferir esse conhecimento para o sistema modelado.

O processo de criação de um modelo é chamado de modelagem . A criação de um modelo matemático para uma seção da realidade não é mais tarefa da matemática, mas do respectivo campo científico. A extensão em que um modelo matemático descreve corretamente os processos na realidade deve ser verificada e validada por meio de medições.

Um modelo matemático, portanto, estabelece uma referência à realidade que geralmente não tem que estar presente para subáreas matemáticas.

Aparência e propagação do modelo de termo

O fato de que as ideias-modelo desempenham um papel cada vez mais importante na formação de teorias científicas foi claramente reconhecido na discussão dos modelos atômicos no início do século XX. Devido à função de modelo epistemológico da física, o termo modelo, como outros termos originalmente físicos, se espalhou para outras disciplinas.

Os métodos baseados em modelos não se limitam às ciências naturais . Por exemplo, os gráficos bidimensionais bem conhecidos de relações funcionais em economia são baseados em modelagem radicalmente simplificada.

Termos na modelagem

sistema

Artigo principal para sistemas dentro da teoria de sistemas : teoria de sistemas

Sistemas de modelos de modelos matemáticos.

Em termos simplificados, um sistema pode ser descrito como um conjunto de objetos conectados por relações . Um sistema pode ser um sistema natural (como um lago, uma floresta), um sistema técnico (como um motor ou uma ponte), mas também um sistema virtual (como a lógica de um jogo de computador).

Um sistema é envolvido por seu ambiente. Este ambiente afeta o sistema de fora. Essas ações são chamadas de relações . Um sistema reage aos efeitos das mudanças nas variáveis ​​do sistema. ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

Em princípio, um sistema também tem efeitos externos, ou seja, no meio ambiente. No contexto da modelagem de sistemas, entretanto, esse efeito voltado para o exterior costuma ser negligenciado.

Um sistema é isolado do ambiente por limites de sistema claramente definidos. Isso significa que apenas os relacionamentos definidos são eficazes para a modelagem. Um exemplo é a investigação da entrada de fósforo em um lago. No contexto de um modelo, a única fonte a ser considerada é um rio que deságua no lago, o limite do sistema neste exemplo é a relação “rio”. Outras fontes que ocorrem na natureza (água subterrânea, tráfego marítimo, peixes e assim por diante) não são levadas em consideração no modelo.

A definição de um sistema concreto como objeto de investigação na modelagem de modelos matemáticos é realizada pelo analista de acordo com o objetivo da investigação.

Modelo de caixa

Um sistema pode ser representado esquematicamente usando o chamado modelo de caixa:

${\ displaystyle {\ mathcal {R}} \ \ rightarrow \ {\ begin {array} {| c |} \ hline \ quad \\\ quad {\ mathcal {V}} _ {i} \ leftrightarrow {\ mathcal { V}} _ {n} \ quad \\\ quad \\\ hline \ end {array}} \ \ rightarrow}$

A caixa representa o sistema modelado. A relação de entrada simboliza os efeitos do ambiente no sistema modelado e a seta para fora suas reações. Quaisquer outros relacionamentos podem existir entre as próprias variáveis ​​do sistema . ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {V}}}$

Na prática, os modelos de caixa são usados ​​como um auxílio ao raciocínio. A representação gráfica de um sistema simplifica a identificação das variáveis ​​do sistema. Um sistema modelado pode consistir em qualquer número de outros subsistemas, cada um representando seu próprio modelo de caixa.

O modelo de caixa é usado principalmente em engenharia ao criar modelos de computador. Cada um dos modelos representa um modelo de caixa (mais precisamente as relações dentro do sistema) .Cada elemento gráfico é, por sua vez, seu próprio modelo de caixa. Para simplificar as coisas, diferentes símbolos gráficos foram usados ​​para modelos de caixa, como um símbolo em espiral para representar as variáveis ​​de sistema de uma bobina.

No contexto da modelagem, são concebíveis sistemas que tenham efeitos externos, mas nenhuma relação de entrada. Por exemplo, um sistema que produz ciclos de tempo. Também são concebíveis sistemas que tenham relações de entrada, mas não tenham efeitos. Por exemplo, para monitorar valores.

De acordo com o grau de especificidade de um modelo de caixa, os modelos de caixa podem ser divididos em modelos de caixa preta e caixa branca. Os modelos de caixa preta descrevem o comportamento de um sistema na forma de uma equação, sem levar em consideração a complexidade do sistema. Os modelos de caixa branca, por outro lado, tentam modelar um sistema com a maior precisão possível.

A escolha de um desses modelos depende do objeto da investigação. Se um modelo matemático serve apenas como auxiliar de cálculo, uma caixa preta é suficiente. Se o comportamento interno de um sistema deve ser examinado , por exemplo, em uma simulação , uma caixa branca deve ser criada.

dimensão

Artigo principal para dimensões físicas: Dimensão (sistema de tamanhos) . Artigo principal para dimensões matemáticas: Dimensão (matemática)

A dimensão de um sistema é o número de variáveis ​​de estado com as quais o modelo matemático é descrito.

Equação modelo

Uma equação de modelo é o modelo matemático formal de um sistema na forma de uma função .

As equações do modelo basicamente têm a forma ${\ displaystyle \ {{\ mathcal {V}} \} = f (\ {{\ mathcal {R}} \}, \ {{\ mathcal {V}} \}, \ {p \})}$

${\ displaystyle \ {{\ mathcal {V}} \}}$

é um conjunto de variáveis ​​de modelo.

${\ displaystyle \ {{\ mathcal {R}} \}}$

é um conjunto de relações que afetam o sistema.

${\ displaystyle \ {p \}}$

é um conjunto de constantes do modelo.

Em princípio, cada uma das quantidades pode estar vazia. Freqüentemente, o conjunto consiste em apenas um elemento. Portanto, é comum especificar apenas as quantidades necessárias em uma equação de modelo específica e determinar os elementos dos subconjuntos necessários usando um índice. Dependendo da área científica para a qual um modelo de equação é criado, os elementos de um modelo de equação recebem diferentes nomes de variáveis.

Nomes de variáveis ​​diferentes são usados nas várias áreas temáticas , combinando com a terminologia técnica e os nomes de variáveis ​​usuais da área.

Tipos de modelos matemáticos

Modelos estáticos

Descreva o estado de um sistema antes e depois das mudanças nas relações externas, mas não durante uma mudança. Um modelo estático simples seria o cálculo da temperatura de mistura de dois líquidos quentes diferentes. Usando um modelo estático, a temperatura antes da mistura pode ser calculada e a temperatura após a mistura pode ser calculada. A equação do sistema de um modelo estático tem a forma geral em que qualquer função complexa pode ser e é inteiramente possível passar parâmetros adicionais para esta função como constantes. ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} = {\ mathit {f}} ({\ mathcal {R}})}$${\ displaystyle {\ mathit {f}}}$

Modelos dinâmicos

Descreva a reação de um sistema às mudanças nas relações externas. Esses modelos podem ser usados ​​para descrever a mudança de temperatura da mistura durante a mistura.

Modelos contínuos ao longo do tempo

Descreva a reação de um sistema às mudanças nas relações externas durante um período contínuo de tempo. A modelagem é feita com equações diferenciais . No exemplo da mistura, o modelo seria uma função que pode ser usada para calcular a tendência de mudança a qualquer momento. Ao integrar a equação, a temperatura pode ser calculada a qualquer momento. A equação do sistema de um modelo temporalmente contínuo tem a forma geral: Mudança temporal de ou${\ displaystyle {\ mathcal {V}} = {\ mathit {f}} ({\ mathcal {R}}, {\ mathcal {V}})}$${\ displaystyle {\ frac {\ rm {d {\ mathcal {V}}}} {\ rm {d {\ mathit {t}}}}} = {\ mathcal {V}} (t) '= {\ mathit {f}} ({\ mathcal {R}}, {\ mathcal {V}})}$

Modelos temporalmente discretos

Nem todos os processos podem ser descritos continuamente. Freqüentemente, as medições são feitas apenas em determinados intervalos. O status do sistema entre esses intervalos não é conhecido, ou seja, é discreto. Com a ajuda de análises de séries temporais , podem ser criadas equações de diferença para modelar tais sistemas. A equação do sistema de tal modelo tem a forma geral${\ displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {(k + 1)} = {\ mathit {f}} ({\ mathcal {R}} ^ {(k)}, {\ mathcal {V}} ^ { (k)})}$

Modelos espacialmente contínuos

Para modelar sistemas nos quais a dimensão espacial é relevante além da dimensão temporal, modelos espacialmente contínuos são criados com a ajuda de equações diferenciais parciais . No exemplo de mistura, tal modelo poderia ser usado, por exemplo, para determinar qual temperatura é atingida em um determinado ponto no tempo em um determinado ponto no recipiente de mistura.

Modelos estocásticos

Nem todos os sistemas se comportam de forma determinística, ou seja, de forma previsível. Um exemplo típico é o processo de decaimento de isótopos radioativos. Ao longo de um período de tempo, pode-se esperar que uma certa quantidade de isótopos decaia, mas não é possível prever quando exatamente isso vai acontecer. Para modelar tais sistemas, modelos estocásticos são criados com a ajuda de cálculos de probabilidade .

Classificação de modelos matemáticos

Após a mudança de comportamento

em modelos estáticos ou dinâmicos

De acordo com a continuidade

em modelos discretos ou contínuos (ver também modelo de grade )

De acordo com a previsibilidade

em modelos estocásticos e determinísticos

De acordo com o número de variáveis ​​do sistema

em modelos 1- a n- dimensionais

De acordo com o tipo de equações e sistemas de equações

em modelos lineares, quadráticos e exponenciais

De acordo com o ramo da ciência

por exemplo, em modelos físicos, químicos, ...

Modelando um sistema de exemplo

Formulação do modelo

O magnetismo pode ter diferentes causas; Vários mecanismos podem atuar em um único ímã, produzindo, fortalecendo ou enfraquecendo o magnetismo; o ímã pode consistir em materiais complexos e contaminados; e assim por diante. Tenta-se esclarecer essa confusão examinando sistemas-modelo. Um modelo físico para um ferromagneto pode ser algo assim: um arranjo infinitamente estendido (desconsidera-se os efeitos de superfície), periódico (desconsidera-se os defeitos da rede e as impurezas) de dipolos atômicos (concentra-se no magnetismo de elétrons ligados e o descreve da forma mais simples aproximação matemática).

Exame do modelo

Vários métodos são concebíveis para investigar o modelo físico de um ferromagneto que acaba de ser introduzido:

• Pode-se construir um modelo físico tridimensional, como uma rede de madeira (que representa a rede atômica), em que barras magnéticas móveis livremente (que representam os dipolos atômicos) estão suspensos. Então, pode-se investigar experimentalmente como os ímãs em barra influenciam uns aos outros em seu alinhamento.
• Como as leis da natureza às quais estão sujeitos os dipolos atômicos são bem conhecidas, o modelo magnético também pode ser descrito por um sistema de equações fechadas: assim, um modelo matemático foi obtido a partir do modelo físico.
  • Em casos favoráveis, este modelo matemático pode ser resolvido de forma exata ou assintótica usando métodos analíticos.
  • Em muitos casos, um computador é usado para avaliar numericamente um modelo matemático.
• Um chamado modelo de computador nada mais é do que um modelo matemático que você avalia com um computador. Este processo também é chamado de simulação em computador .
• A investigação de modelos pode, como qualquer atividade científica, adquirir vida própria:
  • No exemplo físico mencionado, o arranjo dos dipolos ou sua interação pode ser variada conforme desejado. O modelo, portanto, perde sua pretensão de descrever uma realidade; agora estamos interessados ​​nas consequências matemáticas de uma mudança nos pressupostos físicos.

Validação do modelo

Os parâmetros selecionados são conhecidos a partir de investigações experimentais em ferromagnetos reais, por um lado, e que também podem ser determinados para o modelo, por outro lado; em um exemplo concreto, por exemplo, a susceptibilidade magnética em função da temperatura. Se o protótipo e o modelo concordarem com esse parâmetro, pode-se concluir que o modelo reproduz corretamente aspectos relevantes da realidade.

Exemplos de modelos matemáticos

Provavelmente, os exemplos de aplicação mais conhecidos e mais antigos para modelos matemáticos são os números naturais, que descrevem as leis da “contagem” de objetos concretos, os modelos de números estendidos, que descrevem a “computação” clássica e a geometria que tornou possível a medição do solo.

Engenharia elétrica

• Resistência elétrica de um condutor : Com base na lei de Ohm, este modelo é usado para calcular o valor de uma resistência ôhmica ideal. Este é um modelo estático unidimensional.

física

• Equação do foguete : Este modelo descreve os princípios da propulsão do foguete. É um modelo unidimensional e contínuo no tempo. A variável é a velocidade de escoamento, enquanto o foguete e a massa do propelente são apenas parâmetros.

astronomia

• Lei da gravitação : a lei da gravitação de Newton é um modelo tridimensional contínuo no espaço.

química

• Equação de Gibbs-Helmholtz : Este modelo descreve o equilíbrio térmico das reações químicas. É um modelo discreto no tempo.

matemática

• Placa de Galton : a placa de Galton é uma configuração experimental para esclarecer as distribuições de probabilidade. O modelo é um exemplo de modelo estocástico unidimensional.

Teoria dos Jogos (Economia)

• O Dilema do Prisioneiro : Este modelo descreve como dois sujeitos cada um toma uma decisão racionalmente vantajosa que geralmente é desvantajosa para ambos os lados. É um modelo bidimensional e discreto no tempo.

Administração de Empresas

• Maximização do lucro : Dependendo da estrutura de custos e da função de vendas, o ponto com o lucro máximo pode ser calculado com este modelo. É um modelo bidimensional e contínuo no tempo.

sociologia

• Onda La Ola : O modelo matemático da onda La Ola é descrito na revista Nature .

Limites dos modelos matemáticos

Os modelos matemáticos são uma representação simplificada da realidade, não a própria realidade. Eles são usados ​​para investigar aspectos parciais de um sistema complexo e, portanto, aceitam simplificações. Em muitas áreas, uma modelagem completa de todas as variáveis ​​levaria a uma complexidade que não é mais gerenciável. Os modelos, especialmente aqueles que descrevem o comportamento humano, representam apenas uma aproximação da realidade, nem sempre é possível usar modelos para tornar o futuro previsível.

Veja também

• Identificação do sistema

literatura

• Dieter M. Imboden, Sabine Koch: Análise de sistemas: introdução à modelagem matemática de sistemas naturais. 3. Edição. Berlin 2008, ISBN 978-3-540-43935-6 .
• Claus Peter Ortlieb , Caroline von Dresky, Ingenuin Gasser, Silke Günzel: Modelagem Matemática - Uma Introdução aos Doze Estudos de Caso. 2ª Edição. Springer Spectrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-00534-4 .
• Frank Haußer, Yury Luchko: Modelagem Matemática com MATLAB® - Uma Introdução Orientada à Prática. Spectrum Academic Publishing House, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-8274-2398-6 .
• Christof Eck , Harald Garcke , Peter Knabner : Modelagem Matemática. 3. Edição. Springer, 2017, ISBN 978-3-662-54334-4 .

Links da web

• Descrição de um programa de computador que gera um modelo de computador a partir de dados existentes com a ajuda de análises estatísticas
• Notas de aula do Instituto Federal Suíço de Tecnologia em Zurique sobre o assunto de modelagem matemática em ciências ambientais

Evidência individual

1. ↑ Dieter M. Imboden, Sabine Koch: Análise de Sistemas: Introdução à Modelagem Matemática de Sistemas Naturais. 3. Edição. Berlin 2008, ISBN 978-3-540-43935-6 .
2. ↑ Exemplos de modelos de computador criados usando o modelo de caixa em maplesoft.com. Recuperado em 27 de dezembro de 2009 . 
3. ^ I. Farkas, D. Helbing & T. Vicsek: comportamento social: ondas mexicanas em um meio excitável. In: nature 419. Nature Publishing Group, uma divisão da Macmillan Publishers Limited, 12 de setembro de 2002, pp. 131-132 , acessado em 27 de dezembro de 2009 : “The Mexican wave, ou La Ola, que ganhou fama durante o mundo de 1986 A Copa no México surge nas filas de espectadores em um estádio enquanto os de uma seção ficam de pé com os braços para cima e depois se sentam novamente quando a próxima seção se levanta para repetir o movimento. Para interpretar e quantificar esse comportamento humano coletivo, usamos uma variante de modelos que foram originalmente desenvolvidos para descrever meios excitáveis, como o tecido cardíaco. Modelar a reação da multidão às tentativas de desencadear a onda revela como esse fenômeno é estimulado e pode ser útil no controle de eventos que envolvem grupos de pessoas excitadas. " 
4. ↑ Andrea Naica-Loebell: Modelo matemático da onda La Ola. In: Telepolis, heise online. 15 de setembro de 2002, acessado em 27 de dezembro de 2009 : “Multidões reagem como partículas da química. Na edição atual da revista científica Nature, é apresentada uma simulação de computador que explica os mecanismos da onda La Ola em estádios de futebol. ” 
5. ^ Gene Bellinger: A simulação não é a resposta. In: Mental Model Musings. 2004, acessado em 27 de dezembro de 2009 .