Grade de leech

Em matemática , a grade Leech , em homenagem a John Leech , é uma grade 24-dimensional que é usada, entre outras coisas, para a construção de embalagens esféricas particularmente eficientes no espaço 24- dimensional .

construção

Os nós da rede da sanguessuga são os vetores da forma

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 {\ sqrt {2}}}} (a_ {1}, \ ldots, a_ {24}) \ in \ mathbb {R} ^ {24}}$

com números inteiros para os quais ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {24}}$

${\ displaystyle a_ {1} + a_ {2} + \ cdots + a_ {24} \ equiv 4a_ {1} \ equiv 4a_ {2} \ equiv \ cdots \ equiv 4a_ {24} {\ pmod {8}}}$

deve aplicar.

propriedades

Exceto pelo isomorfismo, a rede Leech é a única rede com as seguintes propriedades: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {24}}$

• É unimodular , ou seja, Ou seja, a rede é inteira, ou seja, ela tem uma matriz de Gram integral , e o determinante dessa matriz de Gram é o mesmo .${\ displaystyle 1}$
• É direto , ou seja, ou seja, o quadrado da norma de cada nó é um número inteiro par .
• A norma de qualquer nó diferente de zero é pelo menos .${\ displaystyle 2}$

Embalagem de bola

As esferas com um raio ao redor dos nós da rede da sanguessuga formam um empacotamento esférico no qual cada esfera toca exatamente 196.560 outras esferas. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko e Maryna Viazovska provaram em 2016 que a rede da sanguessuga é o empacotamento esférico ideal de 24 dimensões.

Grupo simetria

O grupo de simetria da rede Leech é o grupo Conway , que possui 8 315 553 613 086 720 000 elementos. ${\ displaystyle C_ {0}}$

A grade Leech não tem simetrias de espelho.

literatura

• John Leech : Notas sobre embalagens de esferas. Canadá. J. Math. 19, 1967, 251-267.
• John Conway , Neil Sloane : embalagens de esferas, treliças e grupos. Terceira edição. Com contribuições adicionais de E. Bannai, RE Borcherds, J. Leech, SP Norton, AM Odlyzko, RA Parker, L. Queen e BB Venkov. Basic Teachings of Mathematical Sciences, 290. Springer-Verlag, New York, 1999. ISBN 0-387-98585-9

Ciência popular :

• George Szpiro : The Kepler Conjecture. Como os matemáticos resolveram um quebra-cabeça de 400 anos. Traduzido do inglês por Manfred Stern. Berlim: Springer (2011). ISBN 978-3-642-12740-3 / hbk; 978-3-642-12741-0 / ebook
• Marcus du Sautoy : Encontrando o luar. A jornada de um matemático pela simetria. Londres: Fourth Estate (2008). ISBN 978-0-00-721461-7 / hbk
• Thomas Thompson: From Error-Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups , Carus Mathematical Monographs, Cambridge University Press 2004

Veja também

• Código de Golay estendido (24,12; 8,2)

Evidência individual

1. ^ Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller, Danylo Radchenko, Maryna Viazovska: O problema de empacotamento de esferas na dimensão 24 . online (pdf)