Programa de Langlands

O Programa de Matemática de Langlands é uma série de conjecturas de longo alcance de que a teoria dos números e a teoria da representação de grupos estão interligadas. Eles foram criados por Robert Langlands desde 1967 .

Conexão com a teoria dos números

A lei da reciprocidade de Artin , que generaliza a lei da reciprocidade quadrática , pode ser vista como o ponto de partida do programa . A lei de reciprocidade de Artins associa um campo de número algébrico cujo Galois sobre comutativo é (abeliano), uma função L das representações unidimensionais de Galois para e afirma que essa função L com uma certa linha L de Dirichlet corresponde. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Para grupos de Galois não Abelianos e representações de dimensões superiores, também é possível definir funções L de uma forma natural.

Representações automórficas

A ideia de Langlands era encontrar uma generalização adequada das funções L de Dirichlet que permitisse que a afirmação de Artin fosse formulada nesta estrutura mais geral.

Hecke tinha associado previamente L-funções de Dirichlet com formas automórficas , isto é, com funções de holomorfos o semi-plano superior de números complexos que satisfazem certas funcionais equações (ver operador hecke ). Langlands generalizou isso para representações de cúspides automórficas . Estas são representações irredutíveis infinitamente dimensionais do grupo linear geral acima do anel de Adele de , pelo que este anel leva em consideração todas as conclusões de , veja os números p-ádicos . ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Langlands atribuiu certas funções L a essas representações automórficas e assumiu que cada função L de uma representação de dimensão finita do grupo de Galois corresponde à função L de uma representação cuspidual automórfica. Esta é a chamada “presunção de reciprocidade”.

Um princípio geral de funcionalidade

Langlands generalizou isso ainda mais: em vez do grupo linear geral , pode-se considerar outros grupos redutivos . Langlands construiu um grupo de Lie complexo para tal grupo , e para cada representação automórfica da cúspide e cada representação de dimensão finita de ele definiu uma função L. Uma de suas conjecturas então diz que essas funções L satisfazem certas equações funcionais que generalizam aquelas de funções L conhecidas. ${\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n}}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle {} ^ {\ mathrm {L}} G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {} ^ {\ mathrm {L}} G}$

Nesse contexto, Langlands formulou um "princípio de funcionalidade" geral: se dois grupos redutivos e um morfismo entre seus grupos L são dados, de acordo com este princípio assumido, suas representações automórficas são conectadas entre si de uma maneira compatível com suas funções L Essa funcionalidade implica todas as outras conjecturas. É do tipo da construção de uma representação induzida , o que era chamado de "levantamento" na teoria tradicional das formas automórficas. As tentativas de especificar essa construção diretamente levaram apenas a resultados limitados.

Todas essas suposições podem ser feitas para outros órgãos também. Em vez de você pode usar campos de números algébricos , campos locais e campos de função , i. H. considere extensões de campo finito de , onde um número primo e denota o campo das funções racionais sobre o corpo finito com elementos. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p} (t)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p} (t)}$${\ displaystyle p}$

Ideias que levaram ao programa de Langlands

No programa foram recebidas as seguintes ideias: a filosofia dos formatos das pontas, formulada alguns anos antes por Israel Gelfand , o acesso de Harish-Chandra a grupos de Lie semisimples e, no sentido técnico, a fórmula traço de Selberg e outros. A novidade no trabalho de Langland, além da profundidade técnica, era a suposta conexão direta com a teoria dos números e a estrutura funcional do todo.

No trabalho de Harish-Chandra, por exemplo, encontra-se o princípio de que o que pode ser feito com um grupo de Lie semi-simples (ou redutor) deve ser feito para todos. Uma vez que o papel dos grupos de Lie de baixa dimensão, como o da teoria das formas modulares , foi reconhecido, o caminho estava aberto para especulações sobre qualquer coisa . ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (2)}$${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n)}$${\ displaystyle n> 2}$

A ideia do formato da ponta originou-se das pontas nas curvas modulares , mas também era visível na teoria espectral como um espectro discreto , em contraste com o espectro contínuo da série de Eisenstein . Essa relação torna-se tecnicamente muito mais complicada para grupos de Lie maiores, uma vez que os subgrupos parabólicos são mais numerosos.

Resultados e preços

Partes do programa de órgãos locais terminaram em 1998 e o programa de órgãos funcionais terminou em 1999. Laurent Lafforgue recebeu a Medalha Fields em 2002 por seu trabalho em órgãos funcionais. Isso deu continuidade à pesquisa anterior de Vladimir Drinfeld , que também recebeu a Medalha Fields em 1990. O programa só foi comprovado para campos de números em alguns casos especiais, em parte pelo próprio Langlands.Para campos de função locais, a conjectura de Langlands foi comprovada por Gérard Laumon , Michael Rapoport , Ulrich Stuhler . A conjectura local de longo país (para corpos p -adic locais ) foi comprovada em 1998 por Michael Harris e Richard Taylor e independentemente por Guy Henniart .

Langlands recebeu o Prêmio Wolf de Matemática em 1996 por seu trabalho nessas conjecturas e o Prêmio Abel em 2018 . Como prova do lema fundamental , Ngô Bảo Châu recebeu a Medalha Fields em 2010.

Programa Langlands geométrico

Devido às grandes dificuldades em realizar o programa de Langlands na teoria dos números, alguns matemáticos ( Alexander Beilinson , Vladimir Drinfeld , Gérard Laumon da década de 1980, Edward Frenkel , Dennis Gaitsgory , Kari Vilonen ) mudaram para campos de função em vez de campos de número na correspondência de Langlands (Curvas sobre números complexos ou campos finitos). Isso segue uma tradição antiga, em vez de estudar o caso mais difícil de campos de números, antes de tudo, o caso mais simples de campos de função. A área tem ligações com a teoria das cordas e teorias de campo quântico conformado desde o trabalho de Anton Kapustin e Edward Witten , que ligou a dualidade S com a correspondência geométrica de Langlands. Existem também conexões com a teoria quântica de campos topológica .

literatura

• Stephen Gelbart : Uma introdução elementar ao programa de Langlands. In: Boletim da AMS. Volume 10, 1984, pp. 177-219, ams.org
• Anthony W. Knapp : Introdução ao programa Langlands. In: TN Bailey, AW Knapp (Ed.): Teoria da representação e formas automórficas. In: Amer. Math. Soc. 1997, pp. 245-302.
• AW Knapp: Representações de Grupo e Análise Harmônica de Euler a Langlands. Parte 1 (PDF; 183 kB), Parte 2 (PDF; 177 kB). In: Avisos AMS. 1996.
• Solomon Friedberg : O que é o Programa de Langlands? In: Avisos AMS , junho / julho de 2018, ams.org

Programa Langlands geométrico:

• Edward Frenkel : Palestras sobre o Programa de Langlands e Teoria de Campo Conformada. arxiv : hep-th / 0512172 .
• E. Frenkel: programa de Langlands, fórmulas de traço e sua geometrização. In: Bull. Amer. Math. Soc. Volume 50, 2013, pp. 1-55, ams.org
• E. Frenkel: Teoria de Gauge e a dualidade de Langlands. Seminário Bourbaki 2009, arxiv : 0906.2747 .

Links da web

• Correspondência geométrica de Langlands. ncat Lab
• Site com os escritos de Robert Langlands

Evidência individual

1. ^ G. Laumon, M. Rapoport, U. Stuhler: - polias celípticas e a correspondência de Langlands. In: Invent. Math. 113: 217-338 (1993).${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$
2. ^ A. Kapustin, E. Witten: Dualidade Elétrico-Magnética e o programa geométrico de Langlands. In: Communications in Number Theory and Physics. Volume 1, 2007, pp. 1-236, arxiv : hep-th / 0604151 .