Teoria clássica do laminado

A teoria clássica do laminado é um método para calcular a rigidez do painel e da placa , bem como as tensões de um composto multicamada plano. As camadas do compósito geralmente consistem em compósitos ortotrópicos de fibra plástica ou camadas unidirecionais . No entanto, as camadas isotrópicas também podem ser tratadas. O cálculo do acoplamento entre as cargas do disco e as deformações do disco é de particular importância. Se houver um acoplamento, um componente z. B. dobrar sob tensão, fala-se coloquialmente de atraso.

A teoria clássica do laminado é a base de um grande número de programas de cálculo para plásticos reforçados com fibras. Para um cálculo de resistência, a determinação das tensões da camada de um composto multicamadas de acordo com a teoria clássica do laminado é essencial.

A teoria clássica do laminado também é abreviada como CLT nos países de língua alemã, com base no termo inglês clássico teoria do laminado . Existe também o termo teoria das multicamadas .

Premissas

A teoria clássica do laminado é amplamente baseada na teoria das placas de Kirchhoff . Só se aplica a uma seção infinitesimal não perturbada. Nenhum efeito de borda laminado ou problemas de aplicação de carga são levados em consideração. Em detalhes, as seguintes suposições se aplicam:

• A lei da elasticidade das camadas individuais é idealmente linearmente elástica.
• O laminado é fino (a espessura é pequena em comparação com o resto das dimensões)${\ displaystyle t}$
• A espessura do laminado é constante${\ displaystyle t}$
• A teoria de primeira ordem é válida (pequenas deformações)
• As suposições de Bernoulli são válidas (seções planas, rígidas ao cisalhamento na direção da espessura)
• O estado de tensão é plano devido às paredes finas ( ).${\ displaystyle \ sigma _ {z} = \ tau _ {zx} = \ tau _ {zy} = 0}$
• As camadas são coladas de maneira ideal.
• O laminado encontra-se no avião.${\ displaystyle x, y}$

Processo de cálculo

Os seguintes tamanhos das camadas devem ser determinados antes do cálculo:

• Matriz de rigidez de cada camada UD (lei de elasticidade da camada unidireccional )${\ displaystyle Q_ {ij}}$
• Ângulo da camada das camadas unidirecionais. No caso de camadas isotrópicas, o ângulo da camada é arbitrário.${\ displaystyle \ alpha}$
• Espessuras da camada ${\ displaystyle t}$
• Ordem de turno

O projetista tenta selecionar os tamanhos acima de forma que as cargas externas no laminado resultem na tensão mais favorável possível em cada camada UD. Além disso, ele deve garantir que atende aos requisitos de rigidez. O seguinte processo de cálculo é, portanto, freqüentemente executado iterativamente.

1. Transformação das matrizes de rigidez do disco das camadas UD no sistema global${\ displaystyle N}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle Q_ {k} \ rightarrow {\ hat {Q}} _ {k}}$
2. Cálculo da matriz de rigidez do painel , matriz de rigidez da placa e matriz de rigidez de acoplamento${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle B}$
3. Montagem da matriz de rigidez disco-placa
4. Inverta a matriz de rigidez da placa de disco
5. Calcule as deformações e curvaturas globais${\ displaystyle {\ hat {\ epsilon}}}$${\ displaystyle {\ hat {\ kappa}}}$
6. Transformar a deformação global na deformação de cada camada UD no sistema de coordenadas de camada
7. Cálculo das tensões em cada camada UD no sistema de coordenadas da camada com o auxílio da matriz de rigidez do disco da camada UD ${\ displaystyle Q_ {ij}}$
8. Isso geralmente é seguido por uma análise de resistência usando critérios de fratura para plásticos reforçados com fibra .

Como subproduto, as constantes de engenharia do composto em camadas são obtidas a partir do inverso da matriz de rigidez disco-placa.

Cargas externas

A teoria clássica do laminado não calcula com as tensões como cargas externas, mas com seus fluxos. Um fluxo de forças ou momentos é uma variável relacionada à largura.

No caso de painéis e placas isotrópicas, as cargas do painel somente levam à deformação do painel (expansão e deslocamento). No caso de laminados em camadas, as cargas do painel também podem levar à deformação da folha (curvaturas e torções). Portanto, a seguinte distinção entre cargas de disco e placa é necessária.

Cargas de disco

As cargas de corte são normais e as tensões de cisalhamento no plano do laminado ou em seus fluxos. corresponde à direção da coordenada normal ao plano do laminado. ${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} n_ {x} \\ n_ {y} \\ n_ {xy} \ end {bmatrix}} = \ int _ {t} ^ {} {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {x} \\\ sigma _ {y} \\\ tau _ {xy} \ end {bmatriz}} \, \ mathrm {d} z}$

Cargas de disco

As cargas da placa consistem nos fluxos do momento fletor e no fluxo do momento torcional. O momento de torção pode ser interpretado como um momento de torção.

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} m_ {x} \\ m_ {y} \\ m_ {xy} \ end {bmatrix}} = - \ int _ {t} ^ {} {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {x} \\\ sigma _ {y} \\\ tau _ {xy} \ end {bmatrix}} \ cdot z \, \ mathrm {d} z}$

Matriz de rigidez disco-placa

A matriz de rigidez disco-placa descreve o comportamento elástico de todo o laminado. É composta por três submatrizes , a matriz de rigidez da placa A , a matriz de rigidez da placa D e a matriz de acoplamento B , que acopla as duas primeiras matrizes.

Matriz de rigidez do disco A _ij

Representação esquemática do acoplamento deformação-deslocamento por meio dos termos ou${\ displaystyle A_ {16}}$${\ displaystyle A_ {26}}$

A matriz de rigidez do painel resulta da conexão paralela da rigidez do painel de todas as camadas individuais ( camada unidirecional ), pesando a espessura da camada de cada camada. ${\ displaystyle {\ hat {Q}} _ {ij}}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle A_ {ij} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ hat {Q}} _ {ij, k} \ cdot t_ {k}}$

Matriz de rigidez da placa D _ij

Representação esquemática do acoplamento de dobra-broca por meio dos termos ou${\ displaystyle D_ {16}}$${\ displaystyle D_ {26}}$

A matriz de rigidez da placa resulta da conexão paralela da rigidez à flexão de todas as camadas individuais ( camada unidirecional ) mais seu componente Steiner .

${\ displaystyle D_ {ij} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ hat {Q}} _ {ij, k} \ cdot t_ {k} \ cdot \ left (\ underbrace {\ frac { t_ {k} ^ {2}} {12}} _ {\ text {Rigidez de flexão}} + \ underbrace {\ left (z_ {k} - {\ frac {t_ {k}} {2}} \ right) ^ {2}} _ {\ text {compartilhamento de Steiner}} \ right)}$

Matriz de rigidez de acoplamento B _ij

Representação esquemática do acoplamento deformação-curvatura por meio dos termos ou${\ displaystyle B_ {11}, B_ {12}}$${\ displaystyle B_ {22}}$

A matriz de rigidez de acoplamento é composta pela rigidez das vidraças das camadas individuais, ponderada com seu momento estático. Isso significa que, para laminados em camadas simétricas, o acoplamento entre a vidraça e a placa desaparece.
O acoplamento entre expansão e curvatura é usado em chaves bimetálicas .

${\ displaystyle B_ {ij} = - \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ hat {Q}} _ {ij, k} \ cdot t_ {k} \ cdot \ underbrace {\ left (z_ { k} - {\ frac {t_ {k}} {2}} \ right)} _ {\ text {stat. Momento}}}$

interpretação

Juntas, a lei da elasticidade do elemento disco-placa, com base no plano neutro (índice 0), é escrita como

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} n_ {x} \\ n_ {y} \\ n_ {xy} \\ m_ {x} \\ m_ {y} \\ m_ {xy} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {12} & A_ {16} & B_ {11} & B_ {12} & B_ {16} \\ A_ {12} & A_ {22} & A_ {26 } & B_ {12} & B_ {22} & B_ {26} \\ A_ {16} & A_ {26} & A_ {66} & B_ {16} & B_ {26} & B_ {66} \\ B_ {11} & B_ {12} & B_ {16} & D_ {11} & D_ {12} & D_ {16} \\ B_ {12} & B_ {22} & B_ {16} & D_ {12} & D_ {22} & D_ {26} \\ B_ {16} & B_ {26} & B_ {66} & D_ {16} & D_ {26} & D_ {66} \\\ end {bmatrix}} {\ começar {bmatrix} \ epsilon _ {x} \\\ epsilon _ {y} \\\ gamma _ {xy} \\\ kappa _ {x} \\\ kappa _ {y} \\\ kappa _ {xy} \ end {bmatrix}} _ {0}}$

Laminados selecionados e suas propriedades da lei da elasticidade :

• Camada UD : ortotrópica como um disco (), ortotrópica como uma placa (), sem acoplamento disco-a-placa ()${\ displaystyle A_ {16}, A_ {26} = 0}$${\ displaystyle D_ {16} = D_ {26} = 0}$${\ displaystyle B_ {ij} = 0}$
• Camada UD fora do plano de simetria : anisotrópico como um disco ( ), anisotrópico como uma placa ( ), acoplamento disco-a-placa ( )${\ displaystyle A_ {16}, A_ {26} \ neq 0}$${\ displaystyle D_ {16}, D_ {26} \ neq 0}$${\ displaystyle B_ {ij} \ neq 0}$
• conexão de ângulo balanceado ou conexão cruzada : ortotrópico como um disco (), ortotrópico como uma placa (), acoplamento disco-placa ()${\ displaystyle A_ {16}, A_ {26} = 0}$${\ displaystyle D_ {16}, D_ {26} = 0}$${\ displaystyle B_ {11}, B_ {22} \ neq 0}$
• Ângulo balanceado ou conexão cruzada , simetricamente em camadas : ortotropicamente como um disco (), anisotrópico como uma placa (), sem acoplamento disco-placa ()${\ displaystyle A_ {16}, A_ {26} = 0}$${\ displaystyle D_ {16}, D_ {26} \ neq 0}$${\ displaystyle B_ {ij} = 0}$

A ortotropia de placa também é chamada de ortotropia de arqueamento devido à falta de um acoplamento torção-torção .

Constantes de engenharia

As constantes de engenharia são obtidas a partir da matriz de rigidez disco-placa inversa . representa a espessura da camada do laminado. ${\ displaystyle {\ hat {E}} _ {x}, {\ hat {E}} _ {y}, {\ hat {G}} _ {xy}, {\ hat {\ nu}} _ {xy }}$${\ displaystyle t_ {ges}}$${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ bar {A}} & {\ bar {B}} \\ {\ bar {B}} ^ {T} & {\ bar {D}} \ end {bmatrix} } = {\ begin {bmatrix} A&B \\ B&D \ end {bmatrix}} ^ {- 1}}$

• ${\ displaystyle {\ hat {E}} _ {x} = {\ frac {1} {{\ bar {A}} _ {11} t_ {ges}}}}$

• ${\ displaystyle {\ hat {E}} _ {y} = {\ frac {1} {{\ bar {A}} _ {22} t_ {ges}}}}$

• ${\ displaystyle {\ hat {G}} _ {xy} = {\ frac {1} {{\ bar {A}} _ {66} t_ {ges}}}}$

• ${\ displaystyle {\ hat {\ nu}} _ {yx} = - {\ frac {{\ bar {A}} _ {12}} {{\ bar {A}} _ {11}}}}$

Limites da Teoria

Os limites de validade do CLT resultam principalmente dos pressupostos da teoria das placas de Kirchhoff (ver: Suposições). A qualidade da solução diminui para painéis grossos e compactos. Mesmo camadas muito suaves ao cisalhamento sob cargas de cisalhamento não devem ser calculadas com o CLT. A razão é a proporção crescente da redução de cisalhamento em comparação com a redução de flexão da placa.

No caso de carregamento de painel puro, a espessura do painel não afeta a qualidade da solução. No caso de camadas individuais muito espessas, podem ocorrer desvios, uma vez que a deformação causada pelo cisalhamento interlaminar não é levada em consideração no carregamento da vidraça. Na prática, entretanto, isso é de pouca importância, uma vez que os laminados geralmente consistem em finas camadas individuais.

Aplicação no método dos elementos finitos

As constantes de engenharia podem ser usadas diretamente no método dos elementos finitos em combinação com os elementos de volume para simular o comportamento global de um composto em camadas. Se as tensões da camada forem de interesse, elas devem ser calculadas a partir das deformações globais, como no cálculo CLT manual. As tensões calculadas no FEM representam as tensões globais da ligação e não correspondem às tensões da camada. A tensão global não deve ser transformada diretamente na tensão da camada. No entanto, os programas modernos de FEM também são capazes de gerar as tensões da camada com modelagem adequada. É feita referência aqui à modelagem de um teste de flexão de painel sanduíche usando o programa FEM Patran / Nastran. O painel sanduíche consiste em um total de 5 camadas, 2 camadas de cobertura cada ( camada de prepreg 1 e camada 2), a camada de núcleo (núcleo em favo de mel) e, em seguida, novamente duas camadas de cobertura de prepreg (as camadas de prepreg podem ser vistas como um laminado) . Dependendo do tipo de modelagem, o modelo pode ser projetado como uma variante laminada. Para este propósito, as propriedades do elemento ortotrópico 2-d são simplesmente atribuídas aos elementos de casca (elementos de casca) usando a ferramenta de composição. Quando o resultado é gerado, a tensão e a deformação da camada individual podem ser exibidas. Ao formular as constantes de engenharia usando elementos de volume tridimensionais, nem os acoplamentos deslizante-alongamento (anisotropia como um disco) nem os acoplamentos flexão-alongamento são levados em consideração. A anisotropia como placa também não pode ser mapeada. Existem elementos de casca especiais que podem levar esses acoplamentos em consideração.

Para o caso de laminados equilibrados e em camadas simétricas ( ortotropia ), o que é comum na prática, a modelagem usando elementos de volume e constantes de engenharia é permitida.

Programas de cálculo

Existem vários programas CLT, alguns dos quais estão disponíveis gratuitamente. Eles são baseados principalmente em programas de planilhas. Parcialmente, um banco de dados com produtos de fibra semi-acabados e sistemas de matriz está conectado.

• Lami Cens (grátis) [1]
• ESAComp (comercial)
• Compositor (comercial)
• AlfaLam (lei do material linear), AlfaLam.nl (lei do material não linear), ambos os programas são gratuitos [2]
• eLamX 2.6 (Java, gratuito) [3]
• RF-LAMINATE 5.xx (comercial) [4]

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literatura

• J. Wiedemann: Construção leve, Volume 1: Elementos . Springer-Verlag, Berlin 1986. ISBN 3-5-40164049
• H. Altenbach, J. Altenbach, R. Rikards: Introdução à mecânica de estruturas laminadas e sanduíche . Editora alemã para a indústria básica, 1996. ISBN 3-3-42006811
• H. Altenbach, J. Altenbach, W. Kissing: Mechanics of Composite Structural Elements (2ª ed.). Springer, Singapura, 2018. ISBN 978-981-10-8934-3

Evidência individual

1. ↑ Manfred Flemming, Siegfried Roth: propriedades de construção de compósito de fibra . aspectos mecânicos, construtivos, térmicos, elétricos, ecológicos, econômicos. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2003, ISBN 978-3-642-55468-1 , Teoria para o cálculo de laminados de paredes finas, p. 47 .