Em matemática , o limite ou valor limite de uma função em um determinado ponto descreve o valor que a função aproxima na vizinhança do ponto em consideração. No entanto, esse limite não existe em todos os casos. Se o valor limite existe , a função converge , caso contrário, diverge . O conceito de valores-limite foi formalizado no século XIX. É um dos conceitos mais importantes do cálculo .
Definição formal do limite de uma função real
O valor limite da função
f para
x contra
p é igual a
L se e somente se para cada ε> 0 houver um δ> 0, de modo que para todo
x com
0 <| x - p | <δ também
| f ( x ) - L | <ε mantém.
O símbolo , lido “ Limites f de x para x contra p ”, denota o limite da função real para a transição limite das variáveis contra . Pode ser um número real, bem como um dos valores simbólicos e . No primeiro caso, não tem necessariamente que estar no domínio de , mas tem que ser um ponto de acumulação de , i. Ou seja, em cada vizinhança de deve haver um número infinito de elementos de . No caso de ou , o intervalo de definição deve ser ilimitado acima ou abaixo.
Consequentemente, existem várias definições possíveis do termo Limes:
Argumento finito, limite finito
- Definição: seja um subconjunto de e um ponto de acumulação de . A função tem para o limite , se houver um ( geralmente dependente) para cada (não importa o quão pequeno seja) , de forma que para todos os valores do domínio de que atendam a condição também se aplique.
Expresso qualitativamente, a definição significa: A diferença entre o valor da função e o limite torna-se arbitrariamente pequena se escolhermos suficientemente perto de .
Deve-se notar que não importa o valor que a função tem naquele ponto ; a função nem mesmo precisa ser definida nesse ponto. O único fator decisivo é o comportamento de nos arredores pontilhados de . No entanto, alguns autores usam uma definição com arredores não pontilhados; consulte a seção “ Novo conceito de valor limite ”.
Em contraste com a formulação usada por Augustin-Louis Cauchy de que “a função se aproxima do valor limite”, não é uma variável que “corre”, mas simplesmente um elemento de um determinado conjunto. Esta definição estática ε-δ usada hoje remonta essencialmente a Karl Weierstrass e colocou o conceito de valores limites em uma base matemática sólida, a chamada epsilôntica .
Exemplo:
Argumento finito, limite infinito
- Definição: A função tem o limite para (com ) o limite se houver um (geralmente dependente) para cada número real ( não importa o quão grande) , de modo que para quaisquer valores -valores do domínio de que satisfaçam a condição também seja cumprido.
- Neste caso, reclama -se contra certos divergentes .
O caso do valor limite é definido em conformidade .
Exemplo:
Argumento infinito, limite finito
- Definição: A função tem para o limite se há um número real (geralmente dependente de) para cada (não importa o quão pequeno) , de modo que para quaisquer valores do intervalo de definição que satisfaçam a condição também seja cumprida.
- Neste caso, chama -se convergente para o infinito .
Os valores limite do tipo ou podem ser definidos em conformidade .
Exemplo:
Definição com a ajuda de sequências
Nos números reais, um ponto de acumulação pode ser caracterizado da seguinte forma:
Seja um subconjunto de e . é um ponto de acumulação se e somente se houver uma sequência com a qual cumpre, consulte também valor limite (sequência) .
Uma definição alternativa de valor limite pode ser formulada com esta propriedade:
- Definição: Seja uma função, um ponto de acumulação de e . Então nós definimos: se e somente se para cada seqüência com e onde: .
Assim que você permitir o ponto de acumulação como um valor limite na definição, você também pode definir e também .
Pode-se demonstrar que a - definição do valor limite é equivalente à definição abaixo.
Limites unilaterais
definição
Let Ser um subconjunto de e um ponto de acumulação de . A função tem para o limite , se houver um ( geralmente dependente) para cada (não importa o quão pequeno) , de forma que para todos os valores do domínio de que atendam a condição também se aplique.
- Neste caso nós chamamos para da direita para convergente .
Os valores limite do tipo ou para são definidos de acordo .
Exemplos
função
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valor limite do lado direito
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limite da mão esquerda
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valor limite em ambos os lados
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---|
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não existe
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não existe
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notação
valor limite do lado direito
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limite da mão esquerda
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Valor limite unilateral e bilateral
Para evitar confusão, fala-se às vezes de um valor-limite bilateral no caso de . Se houver um ponto de acumulação de e de , o seguinte se aplica:
existe se e somente se os dois valores de limite unilateral e existem e coincidem. Neste caso, a igualdade se aplica .
E exatamente quando é definido no ponto e se aplica, é contínuo no ponto .
Conjuntos de limites
Vamos , e duas funções reais cujos valores-limite e exist, onde e é um ponto de acumulação dos números reais estendidos . Então, os seguintes valores limite também existem e podem ser calculados conforme especificado:
É adicional , então também existe e mantém
-
.
Se ambos e se aplicam, o teorema do valor limite não pode ser aplicado. Em muitos casos, entretanto, o valor limite pode ser determinado usando a regra de l'Hospital .
É e é , então é .
De e com segue se ele se mantém ( ou seja, é contínuo neste ponto ) ou não assume o valor em uma vizinhança de .
Exemplo: é desejado . O seguinte se aplica a:
-
(De acordo com a regra de l'Hospital)
Aplicando a regra da corrente com suprimentos
-
.
Aplicação ao quociente de diferença
A aplicação do conceito de valor limite aos quocientes de diferença tem se mostrado particularmente produtiva. Ele constitui a verdadeira base de análise .
Quociente diferencial e diferenciabilidade
Quocientes diferenciais (também chamados de derivados ) são os valores limites dos quocientes de diferença de uma função, ou seja, expressões da forma
com e . A grafia é z. B. ou , se este valor limite existir. O cálculo diferencial trata das propriedades e do cálculo dos quocientes diferenciais .
Se houver um quociente diferencial de uma função no ponto , então a função é chamada diferenciável no ponto .
Valores limite importantes
A derivação das funções de potência com pode limitar a ocorrência com o teorema binomial para calcular:
Em derivar as funções exponenciais com a introdução do número de Euler necessário limite ocorrendo e com base nisso logaritmo natural :
A derivação das funções trigonométricas leva ao valor limite . Existem diferentes abordagens para calcular este valor limite, dependendo de como as funções trigonométricas e o número Pi são analiticamente definidos. Se você medir o ângulo em radianos , você obtém
Novo conceito de valor limite
Mais recentemente, uma variante do conceito de valores-limite também foi usada, que funciona com ambientes que não são pontilhados. Usando sequências, esta variante define o valor limite da seguinte forma: Let Ser uma função, um elemento do envelope fechado e . Então nós definimos: se e somente se para cada seqüência com e onde: .
A diferença para a variante pontilhada fornecida acima é, em primeiro lugar, que ela não é mais proibida se . Em segundo lugar, isso permite uma definição em todos os pontos do envelope fechado , em particular também em pontos isolados de .
Um equivalente não perfurado - definição do valor limite também pode ser facilmente fornecido: No dado acima - a definição só precisa ser substituída por , ou seja , o caso também deve ser expressamente permitido.
A versão sem pontos não é equivalente à versão com pontos. Difere em particular nos pontos de descontinuidade:
Na versão pontilhada é contínuo em se e somente se o limite de for existe e se mantém ou se é um ponto isolado. Na versão não pontilhada, no entanto, é suficiente para a continuidade exigir a existência do valor limite, a equação é, portanto, cumprida automaticamente.
Exemplo:
Esta função não é contínua. O valor limite no sentido não pontilhado não existe. No entanto, o valor limite no sentido pontilhado existe: porque é expressamente exigido e se aplica a esses valores . Obviamente, no entanto .
A fim de evitar mal-entendidos, os representantes da variante não pontilhada, portanto, recomendam designar o limite pontilhado de para da seguinte forma:
Os representantes da variante mais recente veem a vantagem de sua variante em comparação com a variante pontilhada clássica de Weierstrass no fato de que sentenças de valor limite podem ser formuladas mais facilmente com a variante mais recente, porque os casos especiais que resultam do pontilhado não precisam mais ser tidos em consideração.
Valor limite de uma função em relação a um filtro
Tanto o conceito clássico de valor limite de Weierstrass quanto o conceito de valor limite mais recente podem ser entendidos como casos especiais do conceito geral de valor limite de uma função com relação a um filtro :
Seja uma função de para , onde é fornecida uma topologia e um filtro ativado . Um ponto é denominado valor limite da função em relação ao filtro quando o filtro gerado pela base do filtro converge para, ou seja, quando o filtro gerado pela base do filtro é mais fino que o filtro do ambiente .
A definição mais recente para o valor limite de uma função no ponto agora corresponde ao caso especial que é selecionado como o filtro de ambiente de ; A definição clássica de Weierstrass corresponde ao caso especial em que o filtro gerado pelos arredores pontilhados é escolhido.
Veja também
Evidência individual
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↑ Harro Heuser: Textbook of Analysis. Parte 1. 8ª edição. BG Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6 . Definição 38.1.
-
↑ Harro Heuser: Textbook of Analysis. Parte 2. 5ª edição. BG Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-42222-0 . Capítulo 245 A nova austeridade. P. 697.
-
↑ Harro Heuser: Textbook of Analysis. Parte 1. 8ª edição. BG Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6 . Teorema 39.1.
-
↑ Harro Heuser: Textbook of Analysis. Parte 1. 8ª edição. BG Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6 . Definição 46.1.
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↑ Wikilivros: Arquivos de evidências: Análise: Cálculo diferencial: Diferenciação da função seno
-
^ H. Amann, J. Escher: Analysis I. Birkhäuser, Basel 1998, ISBN 3-7643-5974-9 . P. 255.
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^ G. Wittstock: Notas de aula sobre Análise do primeiro semestre de inverno de 2000–2001. Definição 2.3.27.
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↑ Harro Heuser: Textbook of Analysis. Parte 1. 8ª edição. BG Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6 . Teorema 38.2.
-
^ G. Wittstock: Notas de aula sobre Análise do primeiro semestre de inverno de 2000–2001 . Comentário 2.3.28, ponto 1.
-
^ G. Wittstock: Notas de aula sobre Análise 1o semestre de inverno de 2000–2001 Definição 2.3.2, Comentário 3.
-
^ G. Wittstock: Notas de aula sobre Análise do primeiro semestre de inverno de 2000–2001. Comentário 2.3.28 ponto 5.
-
^ N. Bourbaki: Eléments de mathématique. Topology Générale. Springer, Berlin, ISBN 978-3-540-33936-6 . Capítulo I, § 7, definição 3.
-
^ N. Bourbaki: Eléments de mathématique. Topology Générale. Springer, Berlin, ISBN 978-3-540-33936-6 . Chapitre I, § 7.4.
-
^ N. Bourbaki: Eléments de mathématique. Topology Générale. Springer, Berlin, ISBN 978-3-540-33936-6 . Chapitre I, § 7.5.
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