Convergência uniforme

Na análise descreve a convergência uniforme a propriedade de uma sequência de funções , com alguém fora do argumento de função "velocidade" para uma função limite para convergir . Em contraste com a convergência ponto a ponto , o conceito de convergência uniforme permite que propriedades importantes das funções , como continuidade e integrabilidade de Riemann, sejam transferidas para a função limite .${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle f}$

história

O termo é geralmente atribuído a Karl Weierstrass na década de 1840 (primeiro em um artigo em 1841, mas que não foi publicado até 1894), que por sua vez o descobriu sugerido por seu professor Christoph Gudermann (1838), e ainda estava ausente no estrutura original de análise Augustin-Louis Cauchy . Isso levou a alguns erros no Cours d'Analyse de Cauchy de 1821, particularmente no chamado teorema da soma de Cauchy. Cauchy afirmou ter provado que uma série convergente de funções contínuas é contínua, mas Niels Henrik Abel logo depois deu um contra-exemplo em 1826 . Philipp Ludwig Seidel ( convergência infinitamente lenta ) e George Gabriel Stokes 1847 ( convergência infinitamente lenta , pontos com convergência não uniforme ) provaram independentemente que o teorema se aplica quando a convergência ponto a ponto é substituída por convergência uniforme (de acordo com o entendimento atual ). Seidel vinculado diretamente a Cauchy e Peter Gustav Lejeune Dirichlet , que deu exemplos de séries de Fourier que convergem para funções descontínuas. Stokes, por outro lado, não se referiu a Cauchy, mas a um ensaio sobre séries de poder por John Radford Young de 1846. Depois de Ivor Grattan-Guinness , o sueco Emanuel G. Björling (1846/47) pode ter se juntado aos dois como o originador do conceito. Houve também uma discussão ( Pierre Dugac 2003) se Cauchy conhecia e implicitamente usou o termo (e o relacionado de continuidade uniforme) em outro livro um pouco mais tarde, em 1823. Um grupo de historiadores da matemática e matemáticos, como Detlef Laugwitz e Abraham Robinson, mais tarde tentou salvar a prova de Cauchy, perseguindo a ideia de que Cauchy, que introduziu explicitamente pequenas quantidades em seu livro, usou uma forma de análise não padrão , que foi entretanto, não foi o caso com a maioria dos pesquisadores de Cauchy que falhou e foi tomado como um exemplo de uma interpretação forçada da história da matemática de um ponto de vista moderno. Em seu livro, Klaus Viertel chegou a um quadro mais diferenciado de um desenvolvimento apenas gradual dos conceitos de continuidade e convergência no sentido atual, mesmo no contexto da Escola Weierstrass, onde o conceito também foi sujeito a mudanças ao longo do tempo. No início do século 20 já havia vários desenvolvimentos adicionais do termo (quase-convergência em Godfrey Harold Hardy 1918, William Henry Young 1903, 1907).

definição

Uma sequência de funções é fornecida

${\ displaystyle \ left (f_ {n} \ dois pontos D_ {f} \ subseteq \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$,

que atribui uma função de valor real a cada número natural e uma função . Deixe tudo e ser definido no mesmo conjunto de definições . A sequência converge uniformemente para se e somente se ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle D_ {f}}$${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \, \ sup _ {x \ in D_ {f}} \ left | f_ {n} (x) -f (x) \ right | = 0.}$

Considera-se aqui a diferença absoluta de e para todos do domínio da definição . O conjunto dessas diferenças é ilimitado ou tem um menor limite superior, um supremo . A convergência uniforme de contra significa que este supremo existe para quase todos e tende a zero quando tende ao infinito. ${\ displaystyle f_ {n} \ left (x \ right)}$${\ displaystyle f \ left (x \ right)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Esse fato também pode ser definido de forma diferente: todos os termos são como acima. Em seguida, converge uniformemente a se e somente se existe para todos um , de modo que para todos e para tudo se aplica: ${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle n \ geq N}$${\ displaystyle x \ in D_ {f}}$

${\ displaystyle \ left | f_ {n} (x) -f (x) \ right | <\ varepsilon.}$

exemplo

Que seja um número real. A sequência de funções converge para a função nula de maneira uniforme . Tem que ser mostrado que ${\ displaystyle 0 <q <1}$${\ displaystyle \ left (f_ {n} \ dois pontos \ left [0, q \ right] \ to \ mathbb {R}; \, x \ mapsto x ^ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb { N}}}$${\ displaystyle n \ to \ infty}$ ${\ displaystyle f \ colon \ left [0, q \ right] \ to \ mathbb {R}; \, x \ mapsto 0}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \, \ sup _ {x \ in [0, q]} | f_ {n} (x) | = 0}$.

Cada um está aumentando para não negativo e monótono , então e por causa disso vai contra . ${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle [0, q]}$${\ displaystyle \ textstyle \ sup _ {x \ in [0, q]} | f_ {n} (x) | = q ^ {n}}$${\ displaystyle q <1}$${\ displaystyle 0}$

A especificação da faixa de convergência é essencial aqui: a sequência ainda converge ponto a ponto para a função nula no intervalo de unidade aberto à direita , mas não mais uniformemente. Agora é verdade , então é particularmente ${\ displaystyle f_ {n} (x) = x ^ {n}}$ ${\ displaystyle [0,1)}$${\ displaystyle \ textstyle \ sup _ {x \ in [0,1)} | f_ {n} (x) | = 1}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ sup _ {x \ in [0,1)} | f_ {n} (x) | = 1 \ neq 0}$.

Comparação entre convergência uniforme e ponto-a-ponto

A escolha de com convergência uniforme depende apenas de. Em contraste, a convergência ponto-a-ponto depende de e de. Formulado para ambos os conceitos de convergência usando quantificadores, vê-se que eles estão na ordem de "introdução" e diferentes um do outro e, portanto, são a função de duas variáveis ​​(ver sublinhado): ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle N}$

convergência pontual:	${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ {\ underline {\ forall x \ in D_ {f} \ \ exists N \ in \ mathbb {N}}} \ \ forall n \ geq N: \ quad \ left | f_ {n} (x) -f (x) \ right | <\ varepsilon,}$ e
convergência uniforme:	${\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ {\ underline {\ existe N \ in \ mathbb {N} \ forall x \ in D_ {f}}} \ \ forall n \ geq N: \ quad \ left | f_ {n} (x) -f (x) \ right | <\ varepsilon,}$

d. . H, por obrigação convergência pontual para cada e cada número natural tipo, de tal forma que para todos é aplicável o seguinte: . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle n \ geq N}$${\ displaystyle \ left | f_ {n} (x) -f (x) \ right | <\ varepsilon}$

A convergência ponto a ponto decorre da convergência uniforme, mas não vice-versa. Por exemplo, a sequência de funções converge definida por ${\ displaystyle F = (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ begin {cases} 0, & x \ leq n \\ 1, & x> n \ end {cases}}}$

pointwise contra a função nula para cada um , mas não é uma sequência uniformemente convergente. ${\ displaystyle f \ equiv 0}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$

Descrição

Um dos seguintes termos é geralmente usado para a convergência uniforme de uma sequência de funções que luta contra${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f_ {n} {\ underset {n \} {\ Rightarrow}} f,}$

ou

${\ displaystyle f_ {n} {\ underset {n \} {\ rightrightarrows}} f,}$

ou

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} = f.}$

Convergência uniforme em um ponto

Diz-se que uma sequência de funções converge uniformemente para se ${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ forall \ varejpsilon> 0 \ existe N \ in \ mathbb {N} \ \ exists \ delta> 0 \ \ forall x \ in (D_ {f} \ cap \ {y \ mid | y- \ xi | <\ delta \}) \ \ forall n \ geq N: \ left | f_ {n} (x) -f (x) \ right | <\ varepsilon.}$

Se a validade da desigualdade para pelo menos um é exigida em vez de para todos , então a convergência é chamada de uniforme.seqüências uniformemente convergentes também são uniformemente convergentes. A convergência uniforme não implica convergência ponto-a-ponto.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) | <\ varepsilon}$${\ displaystyle n}$

Ser

• ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}} \,}$a classe de sequências de funções uniformemente convergentes,
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {J}} \,}$a classe de sequências de funções que convergem uniformemente em todos os pontos e
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {P}} \,}$a classe de sequências de funções convergindo pontualmente em cada ponto.

Assim, aplica-se: . ${\ displaystyle {\ mathfrak {G}} \ varsubsetneq {\ mathfrak {J}} \ varsubsetneq {\ mathfrak {P}}}$

A sequência de funções mencionada acima está em , portanto, ela converge igualmente em todos os pontos, mas não globalmente. ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle {\ mathfrak {J}} \ setminus {\ mathfrak {G}}}$

Um exemplo de sequência de funções de é definido por ${\ displaystyle {\ mathfrak {P}} \ setminus {\ mathfrak {J}}}$${\ displaystyle (h_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle h_ {n} (x) = {\ begin {cases} 0, & x \ in \ textstyle A_ {n}: = (\ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Q}) \ cup \ {y \ in \ mathbb {Q} \ mid y = {\ tfrac {p} {q}}, p \ in \ mathbb {Z}, q \ in \ mathbb {N}, 0 <q \ leq n \} \\ 1, & x \ notin A_ {n} \ end {casos}}}$

A sequência de funções converge ponto a ponto para a função nula. Porque todo número racional está em todos aqueles que são iguais ou maiores que o denominador na representação completamente abreviada da fração . Por outro lado, sempre existem apenas números racionais finitos na interseção de um intervalo arbitrário . Portanto, para cada número sempre há (infinitamente muitos racionais) números cuja distância é muito pequena e que não estão dentro . Portanto, a sequência não converge uniformemente em nenhum ponto. ${\ displaystyle (h_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle z \ in A_ {n}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ displaystyle \ textstyle (h_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

Inferências

Como já mencionado, o conceito de convergência uniforme permite afirmações sobre a função limite com base nas propriedades da sequência, o que não é possível com a convergência ponto a ponto. A seguir, as notações são as mesmas da definição acima, vamos ser um intervalo real . O resultado das seguintes sentenças : ${\ displaystyle I}$

continuidade

• Que seja uma sequência de funções contínuas . Se converge uniformemente para , então é contínuo. Em vez de exigir convergência uniforme, também é suficiente assumir a convergência uniforme simples .${\ displaystyle F = (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$
• Let Ser uma seqüência de funções que converge pointwise. Todos eles também estão estáveis. é contínuo se e somente se for uniformemente convergente no ponto .${\ displaystyle F = (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ xi}$
• O conjunto de pontos de convergência uniforme e o conjunto de pontos de convergência uniforme de uma sequência de funções que converge ponto a ponto são, cada um, G _δ conjuntos .
• As sequências de funções uniformemente convergentes com um domínio compacto de definição são todas igualmente contínuas .
• Let Ser um intervalo compacto e uma seqüência igualmente contínua. Se convergir ponto a ponto , também convergirá uniformemente.${\ displaystyle I}$${\ displaystyle F = (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle f}$
• Let Ser uma seqüência de funções com um domínio compacto . tem uma subseqüência uniformemente convergente se e somente se é uniformemente contínua e é limitada em todos os pontos por ( teorema de Arzelà-Ascoli ).${\ displaystyle F = (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle D}$

Diferenciabilidade

Não existe um resultado tão forte para a diferenciabilidade da função limite quanto para a continuidade. Que sejam diferenciáveis e uniformemente convergentes para . Em geral, a função limite não precisa nem mesmo ser diferenciável e, se for, sua derivada não precisa de forma alguma ser igual ao limite das derivadas da sequência. Por exemplo, B. a sequência de funções definida por uniformemente em direção a 0, mas não a sequência de derivadas .${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ textstyle f_ {n} (x) = {\ frac {\ sin (nx)} {n}}}$${\ displaystyle (f '_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

Em geral, pode-se dizer: todos são diferenciáveis. Se ele converge em um ponto e a sequência de derivadas converge uniformemente contra , então converge ponto-a-ponto (mesmo localmente uniformemente) contra a e é diferenciável com a derivada .${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle (f_ {n} ') _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

Integrabilidade

Para a integral de Riemann em intervalos, integração e formação de valor limite podem ser trocadas com convergência uniforme:

Todos são (Riemann-) integráveis. Se converge uniformemente para , então Riemann é integrável, e a integral de é o limite das integrais de .${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f_ {n}}$

Um exemplo de uma sequência de funções ponto a ponto, mas não uniformemente convergente, em que a integral não pode ser trocada com o valor limite, é fornecida por esta sequência de funções: Para cada uma, a função é definida por ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle f_ {n} \ dois pontos [0,2] \ a \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ begin {cases} n ^ {2} x & 0 \ leq x \ leq 1 / n \\ 2n-n ^ {2} x & 1 / n \ leq x \ leq 2 / n \\ 0 & x \ geq 2 / n \ final {casos}}}$

contínuo e, portanto, Riemann integrável. O seguinte se aplica ao integral

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} f_ {n} (x) \, \ mathrm {d} x = 1}$.

A sequência de funções converge ponto a ponto para a função nula para todos . Então é ${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \;}$${\ displaystyle f (x) = 0}$${\ displaystyle x \ in [0,2]}$

${\ displaystyle 1 = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {2} f_ {n} (x) \, \ mathrm {d} x \ neq \ int _ {0} ^ { 2} \ lim _ {n \ a \ infty} f_ {n} (x) \, \ mathrm {d} x = 0}$

A convergência ponto a ponto não é, portanto, suficiente para que o valor limite e o sinal integral sejam trocados.

Teorema de Dini

Se houver um compacto intervalo e uma sequência monótona de funções contínuas (isto é ≥ ou ≤ para cada e cada ) que converge apontar-aconselhável uma função igualmente contínua , então também converge uniformemente. ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle f_ {n + 1} (x)}$${\ displaystyle f_ {n} (x)}$${\ displaystyle f_ {n + 1} (x)}$${\ displaystyle f_ {n} (x)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

Generalizações

Convergência uniforme de sequências complexas de funções

definição

A convergência uniforme para sequências de funções complexas é definida exatamente da mesma maneira que no caso de sequências de funções reais. Uma sequência de funções

${\ displaystyle F = (f_ {n} \ dois pontos D_ {f} \ subseteq \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

significa contra

${\ displaystyle f \ colon D_ {f} \ subseteq \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$

uniformemente convergente se

${\ displaystyle \ forall \ varejpsilon \ in \ mathbb {R} _ {+} \ \ exists N \ in \ mathbb {N} \ forall z \ in D_ {f} \ \ forall n \ geq N: \ left | f_ {n} (z) -f (z) \ right | <\ varepsilon.}$

Convergência uniforme de cordas

${\ displaystyle F}$é chamado cordal uniformemente convergente se

${\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {+} \ \ exists N \ in \ mathbb {N} \ forall z \ in D_ {f} \ \ forall n \ geq N: \ chi ( f_ {n} (z), f (z)) <\ varepsilon,}$

no qual

${\ displaystyle \ chi (w, z) = {\ frac {| wz |} {\ sqrt {(1+ | w | ^ {2}) (1+ | z | ^ {2})}}}}$

é o termo para espaçamento de cordas.

Ser

• ${\ displaystyle {\ mathfrak {K}} (D) \,}$ a classe de sequências de funções que são uniformemente convergentes,${\ displaystyle D}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}} (D) \,}$ a classe de sequências de funções convergindo uniformemente em cordais e${\ displaystyle D}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {B}} (D) \,}$ a classe das sequências de função convergentes pontuais para uma função limitada interna.${\ displaystyle D}$${\ displaystyle D}$

Se aplica

${\ displaystyle {\ mathfrak {H}} (D) \ cap {\ mathfrak {B}} (D) \ subset {\ mathfrak {K}} (D) \ varsubsetneq {\ mathfrak {H}} (D) \ ,}$

propriedades

Semelhante à convergência uniforme de sequências de funções reais , o valor limite uniforme também pode ser intercambiado com o diferencial ou a integral da curva em complexos .

Convergência uniforme μ-quase em todos os lugares

A convergência uniforme µ-quase em todos os lugares é uma modificação teórica da convergência uniforme. Exige apenas convergência uniforme em quase todos os pontos. Assim, em um conjunto zero , não precisa haver nenhuma convergência uniforme ou mesmo nenhuma convergência. A convergência uniforme corresponde à convergência na p-ésima média para o caso limítrofe e pode, portanto, ser embutida na teoria dos espaços Lp através das normas integrais correspondentes por meio do supremo essencial . Fala-se então da convergência em . ${\ displaystyle p \ to \ infty}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ infty}}$

Convergência quase uniforme

Como a convergência uniforme μ-quase em todos os lugares, a convergência quase uniforme é uma variante teórica medida da convergência uniforme. Ela exige que haja convergência uniforme no complemento de um conjunto de medidas arbitrariamente pequenas. Este é um aperto real da convergência uniforme µ - quase em todos os lugares.

Convergência uniforme em espaços métricos

Seja uma quantidade, um espaço métrico e uma sequência de funções. Esta sequência de funções é uniformemente convergente para , se toda uma fá-lo${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (M, d)}$${\ displaystyle (f_ {n} \ dois pontos S \ a M) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ forall n \ geq N}$

${\ displaystyle \ sup _ {x \ in S} \ d (f_ {n} (x), f (x)) <\ varepsilon}$

se aplica.

Convergência uniforme em espaços uniformes

De forma totalmente análoga, a convergência uniforme de funções pode definir em um espaço uniforme com um sistema de vizinhanças : um filtro (ou mais geralmente uma base de filtro ) no conjunto de funções para uma quantidade converge para uma função , se para cada vizinhança existe um , então ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X \ a Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f \ dois pontos X \ a Y}$${\ displaystyle E \ in \ Phi}$${\ displaystyle F \ in {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ left \ {\ left (f (x), g (x) \ right) \ mid x \ in X, \ g \ in F \ right \} \ subseteq E}$.

Veja também

• O conceito de convergência uniforme para o caso especial de funções limitadas é o mesmo que o de convergência com respeito à norma supremo .
• Convergência compacta
• Convergência localmente uniforme
• Critério Abeliano para convergência uniforme

literatura

• Klaus Viertel: História da Convergência Uniforme . Springer 2014

Links da web

• Eric W. Weisstein : convergência uniforme . In: MathWorld (inglês).
• convergência uniforme (palestra Saarbrücken University)

Evidência individual

1. ↑ St. Goebbels, St. Ritter: Compreensão e aplicação da matemática - do básico à série de Fourier e transformação de Laplace. Spektrum, Heidelberg 2011. ISBN 978-3-8274-2761-8 , pp. 360-369.
2. ^ Anton Deitmar: Análise . 2ª Edição. Springer Spectrum, Tübingen, p. 147 . 
3. ↑ Seidel: Nota sobre uma propriedade da série que representa funções descontínuas . In: Treatises of the Mathem.-Physikalische Class of the Royal Bavarian Academy of Sciences , Volume 5, 1847, pp. 381-394. Reeditado por Heinrich Liebmann em 1900 na série Ostwalds Klassiker com um ensaio de Dirichlet (1837).
4. ^ Stokes: Sobre os valores críticos das somas das séries periódicas . 1847. Em: Stokes, Mathematical and Physical Papers , Volume 1, Cambridge UP, 1880, p. 237, archive.org
5. ↑ Isso é posto em dúvida no livro de Klaus Viertel, assim como a conclusão de Alfred Pringsheim na Encyclopedia of Mathematical Sciences (1899). Cauchy teria definido nitidamente o termo convergência uniforme em 1853 e o teria considerado independente de Seidel e Stokes.
6. ↑ Klaus Viertel: História da Convergência Uniforme . Springer, 2014
7. ↑ ^{a b c} H. Heuser: Textbook of Analysis. BG Teubner, Stuttgart 1984, ISBN 3-519-22221-3 , Parte 1, XIII., 103., 106.
8. ^ V. Zorich: Analysis II. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-46231-6 .
9. ↑ ^{a b c} F. Hausdorff: Fundamentos da teoria dos conjuntos. 1914, Chelsea Publishing Co., New York 1949, cap. IX, § 4.