Operador D'Alembert

O operador D'Alembert é um operador diferencial de segunda ordem que atua sobre funções de espaço-tempo dimensional (por exemplo ). ${\ displaystyle \ Box}$${\ displaystyle f (t, x_ {1}, \ dots, x_ {d-1})}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d = 4}$

${\ displaystyle \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ sum _ {i = 1} ^ {d-1} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x_ {i} {} ^ {2}}} \.}$

Seu símbolo (caixa pronunciada) é semelhante ao do operador Laplace${\ displaystyle \ Box}$

${\ displaystyle \ Delta = \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x_ {i} {} ^ {2}}} \,}$

mas que tem propriedades claramente diferentes.

O operador D'Alembert é o operador diferencial da equação de onda e da equação de Klein-Gordon e também é chamado de operador de onda ou operador de Quabla .

Na física, também é usada a convenção de que a coordenada de tempo é combinada com a velocidade na equação dada acima . Este resumo, por sua vez, pode ser interpretado como uma rota. A coordenada seria a distância que a onda percorre no tempo com a velocidade . ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ tau = ct}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle c}$

Invariância de Lorentz do operador D'Alembert

Os coeficientes das segundas derivadas no operador de onda são os componentes da métrica do espaço-tempo (inversa)

${\ displaystyle \ Box = \ eta ^ {mn} \ parcial _ {x ^ {m}} \ parcial _ {x ^ {n}} \, \ \ eta = {\ text {diag}} (1, -1 , \ dots, -1) \.}$

Na convenção igualmente difundida, designar o negativo dessa forma quadrada, como métrica de espaço-tempo, representa o negativo do operador D'Alembert definido aqui. ${\ displaystyle {\ text {diag}} (- 1, + 1, \ dots, + 1)}$${\ displaystyle \ Box}$

Como a métrica de espaço-tempo , o operador D'Alembert é invariável sob traduções e transformações de Lorentz . Aplicado a funções concatenadas de Lorentz, dá o mesmo resultado que a função derivada concatenada de Lorentz ${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ Box}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle f \ circ \ Lambda ^ {- 1}}$

${\ displaystyle (\ Box f) \ circ \ Lambda ^ {- 1} = \ Box \, (f \ circ \ Lambda ^ {- 1}) \.}$

Função de Green

Uma função de Green do operador D'Alembert satisfaz a equação de definição como seu inverso à direita ${\ displaystyle G (t, t ', x, x')}$

${\ displaystyle \ square (t, \ mathbf {x}) G (tt ^ {\ prime}, \ mathbf {x} - \ mathbf {x} ^ {\ prime}) = \ delta (tt ^ {\ prime}) ) \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} ^ {\ prime})}$.

A distribuição delta de Dirac denota . Como o operador não é explicitamente dependente do tempo e da localização, ele depende apenas das diferenças e do motivo pelo qual podemos definir as coordenadas excluídas como zero sem perda de generalidade . Para a transformada de Fourier${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle (t-t ')}$${\ displaystyle (x-x ')}$ ${\ displaystyle G (\ omega, k)}$

${\ displaystyle G (t, \ mathbf {x}) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {3}}} \ iint d \ omega \ d ^ {3} \ mathbf {k} \; \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ omega t- \ mathbf {kx})} \ G (\ omega, \ mathbf {k})}$

a seguinte equação algébrica resulta:

${\ displaystyle G (\ omega, \ mathbf {k}) = {\ frac {1} {- (\ omega / c) ^ {2} + k ^ {2}}}}$

Os pólos de são exatamente onde se cumpre a relação de dispersão das ondas eletromagnéticas no vácuo ( ). As soluções da equação de onda homogênea coincidem exatamente com os pólos da função de Green, que é um comportamento típico de ressonância para funções de resposta . ${\ displaystyle G (\ omega, k)}$${\ displaystyle \ omega ^ {2} = c ^ {2} k ^ {2}}$

Para poder realizar a transformação inversa, consideramos a continuação analítica de para frequências complexas. Com a ajuda do cálculo residual pode-se “circunavegar” os pólos , onde diferentes caminhos correspondem a diferentes condições de contorno. Um diferencia: ${\ displaystyle G (\ omega, k)}$${\ displaystyle | \ omega | = ck}$

Modelo	${\ displaystyle G (\ omega, \ mathbf {k})}$	${\ displaystyle G (t, x)}$
Retardado ${\ displaystyle G ^ {+}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {- (\ omega / c + \ mathrm {i} \ epsilon) ^ {2} + k ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi x}} \ delta \ left (t - {\ frac {x} {c}} \ right) \ Theta (t)}$
Avançado ${\ displaystyle G ^ {-}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {- (\ omega / c- \ mathrm {i} \ epsilon) ^ {2} + k ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi x}} \ delta \ left (t + {\ frac {x} {c}} \ right) \ Theta (-t)}$

A função de Green no domínio da frequência deve ser entendida no valor limite , que corresponde aos vários caminhos em torno dos pólos na integral. ${\ displaystyle \ epsilon \ a 0 ^ {+}}$

O fator corresponde à lei de propagação de uma onda esférica . ${\ displaystyle tx / c}$

literatura

• Torsten Fließbach : Eletrodinâmica. Livro didático de física teórica II. 6ª edição. Springer Spectrum Academic Publishing House, Berlin / Heidelberg 2012, ISBN 978-3-8274-3035-9 .