Vetor aleatório

Na estocástica, um vetor aleatório é uma função definida em um espaço de probabilidade , assume valores e é mensurável . Os vetores aleatórios formam a contraparte de dimensão superior das variáveis ​​aleatórias de valor real . Muitas das propriedades de variáveis ​​aleatórias de valor real são transferidas diretamente ou após pequenas modificações em vetores aleatórios. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Os vetores aleatórios não devem ser confundidos com vetores estocásticos , também chamados de vetores de probabilidade . Eles são vetores cujas entradas são positivas e somam um. Os vetores aleatórios, por outro lado, são imagens . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

definição

Denote a σ-álgebra de Borel . Let Ser um espaço de probabilidade e um número natural maior ou igual a dois. Então uma figura é chamada ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ cdot)}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle X \ dois pontos (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P) \ to (\ mathbb {R} ^ {m}, {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ^ {m} ))}$

para o

${\ displaystyle X ^ {- 1} ({\ mathcal {B}} (\ mathbb {R} ^ {m})) \ subset {\ mathcal {A}}}$

aplica-se um vetor aleatório dimensional. ${\ displaystyle m}$

As duas definições a seguir são equivalentes:

• ${\ displaystyle X}$é uma função mensurável em um espaço de probabilidade , fornecida com a σ-álgebra de Borel.${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$
• É para variáveis ​​aleatórias de valor real no espaço de probabilidade . Essa definição aproveita o fato de que um mapeamento pode ser medido com precisão quando as funções de seus componentes são mensuráveis.${\ displaystyle X = (X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {m})}$${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ dots, X_ {m}}$${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$

características

Momentos

Para um vetor aleatório (se os componentes podem ser integrados), o vetor de valor esperado é definido como o seguinte vetor de coluna ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = (\ operatorname {E} (X_ {1}), \ operatorname {E} (X_ {2}), \ dots, \ operatorname {E} (X_ {m} )) ^ {\ top}}$

e é, portanto, o vetor dos valores esperados dos componentes.

Para os segundos momentos é (em Quadratintegrierbarkeit dos componentes), a matriz de covariância definida como aquela da matriz vetorial aleatória , em que na -ésima linha e na ésima coluna, a covariância dos componentes e , portanto, ${\ displaystyle m \ times m}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle X_ {i}}$${\ displaystyle X_ {j}}$

${\ displaystyle a_ {i, j}: = \ operatorname {Cov} (X_ {i}; X_ {j})}$.

independência

A independência estocástica de vetores aleatórios e é definida analogamente à definição para variáveis ​​aleatórias de valor real como a independência estocástica das σ-álgebras geradas e . Aqui denota a σ-álgebra inicial de . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ sigma (X)}$${\ displaystyle \ sigma (Y)}$${\ displaystyle \ sigma (X)}$${\ displaystyle X}$

Distribuições

A distribuição de um vetor aleatório é chamada de distribuição de probabilidade multivariada e é uma medida de probabilidade no . É exatamente a distribuição comum dos componentes do vetor aleatório. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$

Vetores Aleatórios Contínuos e Discretos

Análogo às variáveis ​​aleatórias de valor real, um vetor aleatório cuja distribuição é uma função de densidade de probabilidade é chamado de vetor aleatório contínuo. Da mesma forma, um vetor aleatório que assume apenas um número contável de valores é chamado de vetor aleatório discreto.

Função de distribuição

Tal como acontece com as variáveis ​​aleatórias de valor real, as funções de distribuição podem ser atribuídas a vetores aleatórios. Eles são chamados de funções de distribuição multivariada .

convergência

Convergência na distribuição , convergência na probabilidade e convergência quase certa podem ser facilmente transferidas para vetores aleatórios, uma vez que eles são geralmente definidos pelo menos para espaços métricos separáveis e, portanto, essas definições também são válidas para o . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$

Apenas a caracterização da convergência da distribuição via função de distribuição não é mais possível. No entanto, a lei da continuidade de Lévy ainda se aplica.

Teorema de Cramer-Wold

A declaração a seguir permite que a convergência na distribuição em seja reduzida à convergência na distribuição em . É referido como o conjunto de Cramér-Wold ou Cramér-Wold-Device (em alemão: ajuda Cramér-Wold ). ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Ele denota o produto escalar padrão . Let Ser uma seqüência de vetores aleatórios em . Então é equivalente:${\ displaystyle \ langle \ cdot; \ cdot \ rangle}$${\ displaystyle (X_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$

• Eles convergem na distribuição para${\ displaystyle X_ {n}}$${\ displaystyle X}$
• Para cada um há uma variável aleatória de valor real , de modo que na distribuição converge contra .${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle X ^ {c}}$${\ displaystyle \ langle c; X_ {n} \ rangle}$${\ displaystyle X ^ {c}}$

Se uma das duas declarações for válida (e, portanto, ambas), então terá a mesma distribuição de todas elas . ${\ displaystyle X ^ {c}}$${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle \ langle c; X \ rangle}$

Generalizações

Uma possível generalização de um vetor aleatório é uma matriz aleatória . É uma variável aleatória com valor de matriz, sua distribuição é chamada de distribuição de probabilidade de variável de matriz .

literatura

• Achim Klenke: Teoria da Probabilidade . 3. Edição. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6 , doi : 10.1007 / 978-3-642-36018-3 . 
• Norbert Kusolitsch: Teoria da medida e da probabilidade . Uma introdução. 2ª edição revisada e ampliada. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1 , doi : 10.1007 / 978-3-642-45387-8 . 
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastics . Teoria e aplicações. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6 , doi : 10.1007 / b137972 . 

Evidência individual

1. ↑ Meintrup, Schäffler: Stochastics. 2005, p. 130.
2. ↑ Kusolitsch: Teoria da medida e da probabilidade. 2014, p. 95.
3. ↑ Kusolitsch: Teoria da medida e da probabilidade. 2014, p. 178.
4. ↑ Kusolitsch: Teoria da medida e da probabilidade. 2014, p. 96.
5. ↑ Klenke: Teoria da Probabilidade. 2013, p. 335.