Divisor zero topológico

Um divisor zero topológico é um termo da teoria matemática das álgebras de Banach . Aproveitando a topologia está o conceito algébrico de divisor zero generalizado.

definição

Seja uma álgebra de Banach sobre o campo dos números complexos. Um elemento diferente de 0 é chamado de divisor zero topológico esquerdo se houver uma sequência em A com: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle x \ in A}$${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$

1. ${\ displaystyle \ | x_ {n} \ | = 1}$para todos ,${\ displaystyle n}$
2. ${\ displaystyle x \ cdot x_ {n} {\ xrightarrow {n \ to \ infty}} 0}$.

Um divisor zero topológico direito é definido de forma análoga, onde o último ponto deve ser escrito. ${\ displaystyle x_ {n} \ cdot x {\ xrightarrow {n \ to \ infty}} 0}$

Um bilateral ou topológico divisor bilateral de zero é uma esquerda e, ao mesmo tempo, um direito topológica divisor de zero.

Nas álgebras de Banach comutativas, esses três termos coincidem e fala-se simplesmente de divisores zero topológicos . Alguns autores também permitem 0 como um divisor zero topológico; aqui temos a mesma situação inconsistente que com os divisores zero algébricos.

Exemplos

• Os divisores zero à esquerda (direito, bilateral) são divisores zero topológicos à esquerda (direito, bilateral); pode-se escolher uma sequência constante neste caso .${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$

Esboço das funções utilizadas

• Na álgebra de funções de funções contínuas no intervalo unitário [0,1] com o supremo é um divisor zero topológico que não é um divisor zero é. não é um divisor zero, porque é , então, deve aplicar primeiro , visto que on não é 0. A continuidade de seguida, fornece para todo o imóvel obrigação e, portanto, (a função zero em ) ser e não é um divisor de zero .${\ displaystyle C ([0,1])}$${\ displaystyle x = \ mathrm {id} _ {[0,1]}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle xy = 0}$${\ displaystyle y (t) = 0}$${\ displaystyle 0 <t \ leq 1}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle] 0,1]}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle t \ in [0,1]}$${\ displaystyle y (t) = 0}$${\ displaystyle y = 0}$${\ displaystyle C ([0,1])}$${\ displaystyle x}$

Para ver que é um divisor zero topológico, considere as funções${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle x_ {n} (t) = {\ begin {cases} 1-nt & {\ mbox {if}} 0 \ leq t \ leq {\ frac {1} {n}} \\ 0, & { \ mbox {caso contrário}} \ end {cases}}}$

Então , e é provado ser um divisor zero topológico.${\ displaystyle \ | x_ {n} \ | = 1}$${\ displaystyle \ | x \ cdot x_ {n} \ | = {\ frac {1} {4n}} \ rightarrow 0}$${\ displaystyle x}$

• Se uma álgebra Banach com a unidade 1, não é um múltiplo da unidade e a partir da borda de topológica do espectro de , em seguida, é um topológico divisor de zero. Com o teorema de Gelfand-Mazur, isso resulta na seguinte afirmação, que remonta a W. Żelasko : Ou é isomórfico ou tem divisores zero topológicos.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle x \ in A}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x- \ lambda \ cdot 1}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle A}$

Elementos permanentemente singulares

Como é bem sabido , um elemento de uma álgebra de Banach é denominado singular se não for invertível. Um elemento é permanentemente singular , se não houver Banach são com (ou é isometrically em incorporado) para que ele pode ser invertida. O seguinte teorema, provado por R. Arens , se aplica : ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ tilde {A}}}$${\ displaystyle A \ subset {\ tilde {A}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ tilde {A}}}$${\ displaystyle {\ tilde {A}}}$

• Um elemento de uma álgebra de Banach comutativa é permanentemente singular se e somente se for um divisor zero topológico.${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

Divisor zero

Cada divisor zero topológico de uma álgebra de Banach pode ser realizado como um divisor zero real (algébrico) de uma álgebra de Banach abrangente. O seguinte se aplica com mais precisão:

• Para cada álgebra de Banach, existe uma álgebra de Banach , de modo que o seguinte se aplica:${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ tilde {A}}}$

1. ${\ displaystyle A}$é isometricamente isomórfico a uma álgebra sub-Banach de .${\ displaystyle {\ tilde {A}}}$
2. Cada divisor zero topológico esquerdo (direito, dois lados) de é um divisor zero esquerdo (direito, dois lados) em .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ tilde {A}}}$

Para a construção de deixe a álgebra de todas as sequências limitadas em . Para ser . Então, um ideal está dentro e o quociente é uma álgebra de Banach com a norma de quociente induzida por . Usando sequências constantes, pode-se incorporar isometricamente isomórfico em . Se agora houver um divisor zero topológico esquerdo, então, por definição, há uma sequência em com . Portanto , entendido como um elemento em , é um divisor zero à esquerda. ${\ displaystyle {\ tilde {A}}}$${\ displaystyle {\ overline {A}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n} \ in {\ overline {A}}}$${\ displaystyle | (x_ {n}) _ {n} |: = \ limsup _ {n \ to \ infty} \ | x_ {n} \ |}$${\ displaystyle N: = \ {(x_ {n}) _ {n} \ in {\ overline {A}}; \, | (x_ {n}) _ {n} | = 0 \}}$${\ displaystyle {\ overline {A}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {A}} = {\ overline {A}} / N}$${\ displaystyle | \ cdot |}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ tilde {A}}}$${\ displaystyle x \ in A}$${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} \ | x \ cdot x_ {n} \ | = 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ tilde {A}}}$

Evidência individual

1. ↑ Wiesław Żelazko: Banach Algebras , Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2 , §14: Topological Divisors of Zero
2. ^ FF Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras . Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2 , §1.12
3. ↑ Wiesław Żelazko: Banach Algebras , Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2 , §14.4
4. ↑ Wiesław Żelazko: Banach Algebras , Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2 , §14.7
5. ↑ Wiesław Żelazko: Banach Algebras , Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2 , §14.8