Variedade simplética

Variedades simpléticas são os objetos centrais da geometria simplética , uma subárea da geometria diferencial . As variedades simpléticas têm uma relação muito forte com a física teórica .

definição

Uma variedade simpléctica é um colector lisa em conjunto com uma forma simpléctica , isto é, um global, lisa e fechada 2-forma que tem não degenerada ponto por ponto (ver também espaço simpléctica ). "Fechado" significa que a derivada externa da forma diferencial desaparece . ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ omega = 0}$

Variedades simpléticas sempre têm uma dimensão par, uma vez que matrizes antissimétricas em dimensões ímpares não podem ser invertidas e, portanto, formas bilineares antissimétricas degeneraram em dimensões ímpares.

Colchete de Poisson

Como a forma não degenerou, ela define com seu inverso em cada ponto um mapeamento bilinear de formas únicas e ${\ displaystyle \ textstyle \ omega = \ sum _ {ij} \ omega _ {ij} \, \ mathrm {d} x ^ {i} \ wedge \ mathrm {d} x ^ {j}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ eta = \ sum _ {i} \ eta _ {i} \, \ mathrm {d} x ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ chi = \ sum _ {j} \ chi _ {j} \, \ mathrm {d} x ^ {j}}$

{\ displaystyle \ Omega (\ eta, \ chi) = \ sum _ {ij} \ omega ^ {ij} \, \ eta _ {i} \, \ chi _ {j} \ ,, \ quad \ sum _ { j} \ omega ^ {ij} \ omega _ {jk} = \ delta ^ {i} {} _ {k}}

e o colchete de Poisson das funções e , ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$

{\ displaystyle \ {f, g \} = \ Omega (\ mathrm {d} f, \ mathrm {d} g) = \ sum _ {ij} \ omega ^ {ij} \, \ parcial _ {i} f \, \ partial _ {j} g \,.}

Subvariedade Lagrangiana

Uma subvariedade Lagrangiana de uma variedade simplética 2n-dimensional é uma subvariedade n-dimensional com ${\ displaystyle (M, \ omega)}$ ${\ displaystyle L \ subset M}$

{\ displaystyle \ omega \ mid _ {TL} = 0}

,

d. H. a restrição da forma simplética ao espaço tangente de L desaparece.

Rio Hamilton

Em um espaço euclidiano , o gradiente de uma função é aquele campo vetorial cujo produto escalar para qualquer campo vetorial dado concorda com a aplicação de on , ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g_ {f}}$ ${\ displaystyle \ langle g_ {f}, w \ rangle}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} f}$ ${\ displaystyle w}$

{\ displaystyle \ langle g_ {f}, w \ rangle = \ mathrm {d} f [w] = w [f] \,.}

Em uma variedade simplética, o campo vetorial pertence a um determinado fe uma dada função arbitrária ${\ displaystyle h}$

{\ displaystyle v_ {h}: f \ mapsto \ {f, h \} \ ,,}

que deriva funções ao longo de uma curva integral das equações hamiltonianas pertencentes a (interpretadas como a chamada função de Hamilton do sistema) . O papel de w é assumido aqui por h , e a geometria simplética ou dinâmica hamiltoniana é usada para h . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle h}$

O vector de campo é, assim, o gradiente simpléctica de ou o infinitesimal fluxo hamiltoniano de . ${\ displaystyle \, v_ {h}}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle h}$

Teorema de Darboux

O teorema de Darboux, em homenagem ao matemático Jean Gaston Darboux, diz:

Nas proximidades de cada ponto de uma variedade simplética, existem pares de coordenadas locais com ${\ displaystyle (q_ {i}, p_ {i})}$

{\ displaystyle \ omega = \ sum _ {i} \ mathrm {d} q_ {i} \ land \ mathrm {d} p_ {i} \,.}

Os pares de coordenadas definidos desta forma são referidos como conjugados canonicamente .

Relação com a mecânica hamiltoniana

Na mecânica hamiltoniana , o espaço de fase é uma variedade simplética com a forma simplética fechada

{\ displaystyle \ omega = \ sum _ {i} \ mathrm {d} q_ {i} \ land \ mathrm {d} p_ {i} \ ,, \ quad \ mathrm {d} \ omega = 0 \,.}

Este não é um caso especial, porque de acordo com o teorema de Darboux, as coordenadas locais sempre podem ser escritas como. Variedades simpléticas são os espaços de fase da mecânica hamiltoniana. ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {i} \ mathrm {d} q_ {i} \ land \ mathrm {d} p_ {i} \}$

O enunciado matemático a respeito equivale às chamadas equações canônicas da física teórica, especialmente na mecânica analítica . ${\ displaystyle \ omega}$

Neste contexto, o teorema de Liouville , que desempenha um papel na física estatística, também é importante . Essencialmente, afirma que com fluxos hamiltonianos o volume do espaço de fase permanece constante, o que é importante para determinar as medidas de probabilidade desta teoria.

Veja também

Transformação canônica , especialmente o parágrafo "Estrutura simplética"
Mapeamento simplético, os homomorfismos na categoria das variedades simpléticas

literatura

VI Arnold : Métodos Matemáticos de Mecânica Clássica (= Textos de Graduação em Matemática 60). 2ª edição, Springer, New York NY et al., 1989, ISBN 0-387-96890-3 .
Rolf Berndt: Introdução à geometria simplética. Vieweg, Braunschweig et al., 1998, ISBN 3-528-03102-6 .

Links da web

Evidência individual

^ Definição de variedades simpléticas de acordo com Vladimir I. Arnold Métodos matemáticos da mecânica clássica. 2ª edição, Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3 , página 201 (Capítulo 8 - Symplectic Manifolds). Da mesma forma em Ana Cannas da Silva: Aulas de Geometria Simplética . Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-42195-5 .
^ Uma prova pode ser encontrada em VI Arnold : Métodos matemáticos da mecânica clássica. 2ª Edição. Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3 , capítulo 8.

[1] Definição de variedades simpléticas de acordo com Vladimir I. Arnold Métodos matemáticos da mecânica clássica. 2ª edição, Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3 , página 201 (Capítulo 8 - Symplectic Manifolds). Da mesma forma em Ana Cannas da Silva: Aulas de Geometria Simplética . Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-42195-5 .

[2] Uma prova pode ser encontrada em VI Arnold : Métodos matemáticos da mecânica clássica. 2ª Edição. Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3 , capítulo 8.

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