Sistema sexagesimal

O sistema sexagesimal (também sistema hexagesimal ou sistema dos anos sessenta ) é um sistema de valor de posição baseado na base 60 ( latim sexagesimus 'o sexagésimo' ).

Ainda é usado hoje para indicar ângulos e longitudes e latitudes geográficas . Um grau tem 60 minutos de arco e um minuto tem 60 segundos . Ele também sobreviveu no campo da cronometragem . Uma hora tem 60 minutos e um minuto tem 60 segundos . No final da Idade Média, alguns matemáticos subdividiram os segundos em tercias para seus cálculos . No entanto, isso não pegou.

origem

A primeira evidência de um sistema de cálculo sexagesimal escrito, que ainda era um sistema de adição , remonta ao período sumério por volta de 3300 aC. BC de volta. No curso posterior da matemática babilônica de aprox. Um sistema de lugar sexagesimal usado. As principais fontes em matemática datam de 1900 aC. AC a 1600 AC AC, mas os textos de tabela mais antigos são do período da Nova Suméria. O período pós-alexandrino mostra crescentes influências gregas sob os selêucidas , que entraram em sinergia com o conhecimento babilônico para posteriormente exportar totalmente a experiência acumulada dos sumérios, acadianos, assírios e babilônios para a Grécia. Astrônomos árabes usaram a grafia do famoso astrônomo grego Ptolomeu em seus mapas e tabelas estelares , que se baseavam em frações sexagesimais. Os primeiros matemáticos europeus, como Fibonacci, também usavam essas frações quando não podiam operar com números inteiros.

Muitos historiadores veem um motivo para a introdução de um sistema sexagesimal na astronomia , uma vez que os anos babilônios abrangiam doze meses de 30 dias, mas também havia um 13º mês bissexto adicional a cada três anos  . Mais informações podem ser encontradas na contagem inicial dos meses lunares, que remonta a 35.000 aC. Pode ser comprovado (stick de calendário). Na República Tcheca , o osso de raio de um jovem lobo foi encontrado por volta de 30.000 aC. Fundado em BC, que possui uma série de 55 entalhes no total, os entalhes 9, 30 e 31 têm cerca de duas vezes mais do que os demais entalhes. Como o período médio das fases da lua é de 29,53 dias, as marcações podem estar relacionadas às fases da lua .

Outros cientistas veem o motivo da escolha do número 60 como a base do sistema de computação para ser capaz de simplesmente expressar ou calcular o máximo possível das partes que ocorrem na contagem e medição prática (comércio). Uma indicação disso é que o 60 com 12 divisores pertence aos números altamente compostos (No. 9 na série A002182 em OEIS ).

Contando com uma e duas mãos com falanges e dedos

No sistema decimal usual (sistema de dezenas) você conta com os dez dedos (duas vezes cinco) de ambas as mãos. Em algumas regiões do mundo, porém, houve uma contagem com a ajuda da falange , que levou ao número doze ( duodecimal ) com uma mão , mas levou ao número 60 com as duas mãos.

Contando com uma mão até 12

A contagem é feita com o polegar como ponteiro e as falanges da mesma mão como objeto de contagem.

• A contagem com uma mão começa tocando a ponta do primeiro objeto com o polegar, ou seja, a falange superior, do dedo mínimo da mesma mão.
• Para o segundo objeto, a falange média do dedo mínimo é tocada com o polegar; então você conta com seu polegar por membro e dedo.
• Três → elo inferior do dedo mínimo
• Quatro → elo superior do dedo anular
• Cinco → elo do meio do dedo anular
• Seis → elo inferior do dedo anular
• Sete → falange superior do dedo médio
• Oito → falange média do dedo médio
• Nove → elo inferior do dedo médio
• Dez → falange superior do dedo indicador
• Onze → elo do meio do dedo indicador
• Doze → elo inferior do dedo indicador

Em outras palavras: quatro dedos com 3 falanges cada equivalem a 12.

Duas mãos contando até 60

Depois que a primeira dúzia foi contada usando o polegar como um indicador com as três falanges dos quatro dedos restantes da mesma mão (4 × 3 = 12), a capacidade de contagem de uma mão é inicialmente exaurida.

• A outra mão está cerrada em punho. Para lembrar que uma dúzia foi contada, agora estende-se um dedo, por ex. B. o polegar para fora.
• Agora você continua a contar começando novamente em um com sua primeira mão . Aos doze , a segunda dúzia está cheia.
• Para lembrar que duas dúzias foram contadas, um agora estende o próximo dedo da outra mão, por ex. B. após o polegar sair do dedo indicador.
• Com os cinco dedos da primeira mão, você pode contar cinco vezes uma dúzia, então 5 × 12 = 60.
• Agora você pode contar a próxima dúzia novamente com a primeira mão, ou seja, contar até 72 com duas mãos (12 na primeira mais 60 na outra mão).

Este sistema de contagem de dedos ainda existe em partes da Turquia , Iraque , Índia e Indochina .

Você também pode contar até 12 × 12 = 144 (um grande ) ou 156 (13 × 12) contando com a falange com o ponteiro dos segundos.

Ao contar uma grande quantidade, pode-se usar um meio auxiliar, como paus, pedras, linhas ou os dez dedos de um ajudante. Cinco dúzias de cada vez, ou seja, 60, são anotadas com um dos auxiliares. Com os dez dedos de um ajudante humano você pode contar até 10 × 60 = 600, com as outras ajudas ainda mais.

Sumérios

Entre os sumérios, os 60 eram chamados de gesch .

• 120: gesch-min (60 × 2)
• 180: gesch-esch (60 × 3)
• 240: gesch-limmu (60 × 4)
• 300: gesch-iá (60 × 5)
• 360: gesch-asch (60 × 6)
• 420: gesch-imin (60 × 7)
• 480: tiro (60 × 8)
• 540: gesch-ilummu (60 × 9)
• 600: gesch-u (60 × 10)
• Agora, os sumérios não continuavam a contar em passos de 60 ( gesch- passos), mas em passos de 600 ( gesch-u- passos), ou seja, seis vezes 600, ou seja , até 3600, que era chamado de schàr .
• Os 3600 foram aumentados novamente dez vezes para schàr-u (3600 × 10) 36.000.
• Os 36.000 foram contados seis vezes para 216.000 schàr-gal , literalmente o grande 3600 ( ou seja, 60 × 60 × 60).
• O 216.000 foi contado dez vezes para 2.160.000 schàr-gal-u (= (60 × 60 × 60) × 10)
• O schàr-gal-u foi inicialmente multiplicado cinco vezes. O sexto múltiplo 12.960.000, ou seja, 60 × 60 × 60 × 60, recebeu seu próprio nome novamente, ou seja, schàr-gal-shu-nu-tag (a grande unidade superordenada do schàr).

Os números de 10 a 60 têm um decimal (30 = uschu = esch-u = 3 × 10) e, às vezes, até uma estrutura vigesimal (40 = nischmin = nisch -min = 2 × 20).

O sistema sexagesimal no uso babilônico

Os sumérios usaram antes os sinais cuneiformes para os números de 1 a 60 cada uma de diferentes tamanhos de meias elipses e os números 10 e 3600 = 60² cada círculo de tamanhos diferentes , com lápis cilíndricos foram prensados ​​em tabletes de argila. A partir destes símbolos, os símbolos para 600 = 10 · 60 e 36000 = 10 · 60² foram combinados em conformidade. Havia também outro sistema com níveis decimais de 1, 10 e 100, bem como um terceiro sistema em tempo acadiano . Até o final do período sumério, os caracteres individuais mudaram sua forma, mas mantiveram seu caráter individual e formaram um sistema de adição semelhante aos algarismos romanos . Apenas com o sistema sexagesimal da Babilônia posterior havia um sistema real de valores de posição com apenas dois caracteres individuais: para 1 e para 10. Com estes, os números de 1 a 59 puderam ser formados aditivamente, que por sua vez obtiveram seu valor real como o dígitos no sistema decimal por meio de sua posição.

Os numerais

As razões para usar o sistema sexagesimal residem no método de cálculo eficaz e no número muito limitado de caracteres numéricos individuais a partir dos quais os números foram formados. Alguns exemplos da escrita cuneiforme da Babilônia:

Sistema sexagesimal na forma de cuneiforme

	1	2	3	4º	5	6º	7º	8º	9
10	11	12º	13	14º	Dia 15	16	Dia 17	18º	19º
20o	30º	40	50

Outros exemplos numéricos:

= 62, = 122 e = 129.

Os numerais consistem em apenas dois numerais individuais. A este respeito, o número de numerais reais não era limitado, embora fosse feita referência apenas a dois numerais individuais, cujos tamanhos foram alterados conforme necessário. No entanto, sempre há problemas com a leitura, porque os dígitos de um número, que em grande parte resultaram do contexto, não eram inequívocos: z. B. pode significar 30, 30x60 ou 30/60 e assim por diante. Da mesma forma, não havia zero, de forma que ocasionalmente faltava um dígito - o que, no entanto, era muito raro - e diferentes números eram escritos da mesma maneira. Mais tarde, às vezes deixava-se uma lacuna em um ponto que faltava, a partir do século 6 aC em diante. Um espaço com o valor zero apareceu como um sinal de número adicional. No entanto, esse espaço não foi usado diretamente no cálculo e não apareceu como um símbolo de número separado, portanto, não tinha o significado do número zero . O significado como símbolo do número zero, por outro lado, foi primeiro atribuído pelos índios ao seu espaço.

Os números sexagesimais são representados por algarismos arábicos, escrevendo uma vírgula entre duas casas sexagesimais individuais. Os lugares sexagesimais inteiros, por outro lado, são separados dos quebrados por um ponto e vírgula e se faltam lugares ou espaços, um “0” é escrito (isto é então uma interpretação): B. 30,0 = 30 * 60 e 0; 30 = 30/60.

A tecnologia de computação

Adicionar e subtrair

Tal como acontece com nosso sistema decimal , o sistema de valor posicional permitiu que o dígito anterior fosse expandido ou reduzido em 1. O formato das cunhas tornava o sistema sexagesimal mais fácil porque apenas as cunhas tinham que ser colocadas juntas. Os termos técnicos usados ​​para adição e subtração foram “multiplique” e “afaste-se” (os símbolos matemáticos + e - foram introduzidos pela primeira vez por Johannes Widmann no século 15 DC). Uma diferença negativa entre dois números é expressa com "Subtrahend vai além". A soma e a subtração funcionam exatamente como hoje no sistema decimal.

Exemplo de adição:

${\ displaystyle {\ begin {array} {rr} 59 & \\ + \ 11 & \\ + \ 20 & \\\ hline 1 {,} 30 & (= 90), \ end {array}}}$

na notação do sistema sexagesimal. O 1 na frente da vírgula decimal indica o valor 1 · 60, ao qual é adicionado o número 30 após a vírgula decimal.

Exemplo de uma subtração:

${\ displaystyle {\ begin {array} {rl} 4 {,} 40 & (= 280) \\ - \ 1 {,} 40 & (= 100) \\ - \ 1 {,} 50 & (= 110) \\\ hline 1 {,} 10 & (= 70), \ end {array}}}$

na notação do sistema sexagesimal. O 4 e 1 na frente da vírgula decimal indicam os valores 4 · 60 e 1 · 60, aos quais os números 40, 50 e 10 respectivamente são somados após a vírgula decimal.

Multiplicar

O mesmo procedimento do sistema decimal foi usado para a multiplicação. Mas, enquanto no sistema decimal um tem que ter a multiplicação tabela a partir de 1 · 1 a 9 · 9 em mente, os babilônios deveria ter sido capaz de memorizar a tabuada de 1 · 1 a 59 · 59. Para tornar as coisas mais fáceis, foram utilizadas tabelas de multiplicação a partir das quais os produtos requeridos podiam ser lidos: Cada linha de uma tabela de multiplicação começava com o mesmo número de cabeça, por ex. B. 2, seguido pela expressão "vezes" e o multiplicador, por ex. B. 1 e, finalmente, o resultado, e. B. 2. Os multiplicadores foram de 1 a 20 e então vieram 30, 40 e 50.

Porque no sistema sexagesimal 60 era graduado em etapas de 10 (veja acima sob os numerais) e em geral, os números decimais da vida diária eram muito usados. B. 1,40 = 100 e 16,40 = 1000 tabelas de multiplicação criadas. Outro motivo é a interação com os valores das tabelas recíprocas (veja abaixo na divisão). Se outros valores fossem necessários, os números eram colocados juntos.

Os números principais:

1,15	1,20	1,30	1,40	2	13/02/20	2,15	2,24	2,30	3	3,20	3,45	4º	4,30	5	6º	6,40	7º	7,12	7,30	8º
8,20	9	10	12º	12,30	Dia 15	16	16,40	18º	20o	22,30	24	Dia 25	30º	36	40	44,26,40	45	48	50

Exemplo de multiplicação:

${\ displaystyle 29 \ cdot 1 {,} 12 = 29 \ cdot 1 {,} 0 + 20 \ cdot 0 {,} 12 + 9 \ cdot 0 {,} 12 = 29 {,} 00 + 4 {,} 00 +1 {,} 48 = 34 {,} 48}$.

Dividir

Os babilônios dividiram um número por um número no qual eles com o recíproco de multiplicaram:${\ displaystyle a}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle a: n = a \ cdot {\ frac {1} {n}}}$.

O recíproco de um número poderia ser encontrado em uma tabuada com o número principal , se uma potência de 60 dividido. Porque estava lá como resultado , d. H. uma potência de 60, então o multiplicador correspondente era o valor recíproco que você estava procurando ( e tem a mesma representação no sistema sexagesimal da Babilônia): ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle {\ frac {m} {60 ^ {l}}}}$

${\ displaystyle n \ cdot m = 60 ^ {l}}$, então .${\ displaystyle {\ frac {m} {60 ^ {l}}} = {\ frac {1} {n}}}$

Os valores recíprocos (recíprocos) dos números naturais foram reunidos novamente em tabelas recíprocas para tornar as coisas mais fáceis . Escrevia-se nessas tabelas para valores que não tinham recíproco em uma tabuada, "não é" em vez do recíproco. Para esses números irregulares , que possuem fatores primos ≥ 7, valores aproximados foram usados ​​como para números irracionais .

A tabela recíproca usada principalmente contém os seguintes pares de números:

n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n	n	1 / n
2	30º	3	20o	4º	Dia 15	5	12º	6º	10	8º	7,30	9	6,40	10	6º	12º	5	Dia 15	4º
16	3,45	18º	3,20	20o	3	24	2,30	Dia 25	2,24	27	13/02/20	30º	2	32	1,52,30	36	1,40	40	1,30
45	1,20	48	1,15	50	1,12	54	1,60	60	1	1,4	56,15	1,12	50	1,15	48	1,20	45	1,21	44,26,40

Muito pode ser lido em uma tabela recíproca, incluindo ou ou , mas também o contrário, etc. ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} = 0; 20}$${\ displaystyle {\ frac {1} {3 {,} 0}} = {\ frac {1} {180}} = 0; 0 {,} 20}$${\ displaystyle 1: 0; 3 = 60: 3 = 20}$${\ displaystyle {\ frac {1} {20}} = 0; 3}$

Exemplos de divisões:

${\ displaystyle 4: 3 = 4 \ cdot {\ frac {1} {3}} = 4 \ cdot 0; 20 = 1; 20}$.

${\ displaystyle 0; 12:25 = 0; 12 \ cdot {\ frac {1} {25}} = 0; 12 \ cdot 0; 2,24 = 0; 0,28,48}$.

Cálculo de raiz

O antigo matemático e engenheiro grego Heron de Alexandria usou o método já conhecido no antigo Império Babilônico em sua Metrica para calcular as raízes

${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} \ pm b}} \ approx a \ pm {\ frac {b} {2a}}}$.

${\ displaystyle a}$foi tirado de uma mesa de quadrados. Para a (irracional) raiz quadrada de 2, obtemos:

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {1; 20 ^ {2} +0; 13,20}} \ aproximadamente 1; 20 + 0; 5 = 1; 25}$,

d. H.

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {\ left ({\ frac {4} {3}} \ right) ^ {2} + {\ frac {2} {9}}}} \ aprox {\ frac {4} {3}} + {\ frac {1} {12}} = {\ frac {17} {12}} \ approx 1 {,} 41666667}$.

Em uma tábua de argila da Babilônia (Yale Babylonian Collection 7289), há também uma melhor aproximação na diagonal de um quadrado:

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ approx 1; 24,51,10 \ left (= {\ frac {305470} {216000}} \ approx 1 {,} 41421296 \ right)}$.

Porque

${\ displaystyle 1; 25> {\ sqrt {2}} = {\ frac {2} {\ sqrt {2}}}> {\ frac {2} {1; 25}} \ aprox 1; 24,42, 21 ( \ aprox 1 {,} 41176389)}$,

encontra-se entre 1; 25 e 1; 24,42,21 sua média aritmética

${\ displaystyle (1; 25 + 1; 24,42,21) \ cdot 0; 30 \ approx 1; 24,51,10}$

próximo a

${\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ approx 1 {,} 41421356}$.

Agora, o comprimento lateral do quadrado na tabuinha de argila é dado como 30 e o comprimento das diagonais como 42,25,35, o que pode ser interpretado como o seguinte cálculo:

${\ displaystyle 0; 30 \ cdot 1; 24,51,10 = 0; 42,25,35}$.

O exemplo mostra que os babilônios tinham conhecimento algébrico e geométrico (aqui o “ teorema de Pitágoras ” poderia ter sido usado).

Informações adicionais

Um parente direto do sistema sexagesimal é o sistema duodecimal com base 12.

literatura

• Robert Kaplan: The History of Zero. Capa dura: Campus Verlag, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-593-36427-1 . Edição de brochura: Piper Verlag, 2003, ISBN 3-492-23918-8 .
• Richard Mankiewicz: Viagem no tempo da matemática - da origem dos números à teoria do caos. VGS Verlagsgesellschaft, Cologne 2000, ISBN 3-8025-1440-8 .
• Kurt Vogel : Matemática Pré-Grega. Parte II: A Matemática dos Babilônios. Schroedel, Hanover e Schöningh, Paderborn 1959.

Links da web

• Christoph Grandt: The Babylonian Sexagesimal System . (PDF; 215 kB)

Evidência individual

1. ↑ JP McEvoy: Eclipse solar. Berlin-Verlag, 2001, página 43. K. Vogel: Parte II , página 22 f.
2. ↑ K. Vogel: Matemática Pré-Grega. Parte I: Pré-história e Egito. Schroedel, Hannover e Schöningh, Paderborn 1958. p. 16, fig. 11.
3. ↑ K. Vogel: Parte II , página 23.
4. ↑ Georges Ifrah: História Universal dos Números . Edição licenciada dois mil e uma edição. Campus, Frankfurt am Main 1993, ISBN 3-86150-704-8 , Das Sexagesimalsystem, p. 69–75 e 90–92 (francês: Histoire universelle des chiffres . Traduzido por Alexander von Platen). 
5. ↑ Ifrah: História Universal dos Números . 2ª Edição. Campus, Frankfurt am Main e New York 1997, ISBN 3-593-34192-1 , Das Sexagesimalsystem, p. 69 ff . (Primeira edição: 1991). 
6. ↑ Thureau-Thangin chamou-a de "ilha vigesimal dentro do sistema numérico sumério" em 1932. Ifrah: História Universal dos Números . 2ª Edição. S. 71 . 
7. ↑ K. Vogel: Parte II , página 18 f.
8. ↑ K. Vogel, Parte II , página 34 f.