Processo de redução D'Alembert

O método de redução de d'Alembert é um método da teoria das equações diferenciais ordinárias em homenagem ao matemático e físico Jean-Baptiste le Rond d'Alembert . Ele é usado para traçar uma equação diferencial linear de ordem com coeficientes não constantes para uma equação diferencial linear de ordem com o conhecimento de uma solução para o problema homogêneo . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (n-1)}$

Descrito aproximadamente, aplica-se o seguinte: Para resolver uma equação diferencial linear (não homogênea) -ésima ordem , obtenha uma solução não trivial da equação diferencial linear homogênea associada . Então a abordagem , ou seja, a variação das constantes , leva a uma equação diferencial linear não homogênea de ordem inferior para a equação original . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle L (y) = f}$${\ displaystyle L (u) = 0}$${\ displaystyle y (x): = c (x) u (x)}$${\ displaystyle L (y) = f}$${\ displaystyle {\ tilde {L}} (c ') = f}$${\ displaystyle n-1}$${\ displaystyle c '(x)}$

Formulação da frase

Considere o operador diferencial de -ésima ordem ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle L (v) (x): = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} (x) v ^ {(k)} (x) \.}$

Para este fim, vamos resolver a equação diferencial linear homogênea${\ displaystyle u (x)}$

${\ displaystyle L (u) = 0}$

conhecido. Para

${\ displaystyle y (x): = c (x) u (x)}$

então aplica

${\ displaystyle L (y) (x) = \ sum _ {j = 0} ^ {n-1} \ left [\ sum _ {k = j + 1} ^ {n} {k \ escolher {j + 1 }} a_ {k} (x) u ^ {(kj-1)} (x) \ direita] c ^ {(j + 1)} (x).}$

Em outras palavras: resolve a equação diferencial não homogênea -ésima ordem se e somente se ${\ displaystyle y (x)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (y) = f (x)}$

${\ displaystyle z (x): = c '(x)}$

a equação diferencial linear não homogênea -ésima ordem ${\ displaystyle (n-1)}$

${\ displaystyle \ sum _ {j = 0} ^ {n-1} \ left [\ sum _ {k = j + 1} ^ {n} {k \ choose {j + 1}} a_ {k} (x ) u ^ {(kj-1)} (x) \ direita] z ^ {(j)} (x) = f (x)}$

resolve.

prova

De acordo com a regra de Leibniz, o seguinte se aplica

${\ displaystyle (c \ cdot u) ^ {(k)} (x) = \ sum _ {j = 0} ^ {k} {k \ escolha j} c ^ {(j)} (x) u ^ { (kj)} (x) \,}$

assim

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} (x) (c \ cdot u) ^ {(k)} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ sum _ {j = 0} ^ {k} {\ binom {k} {j}} a_ {k} (x) c ^ {(j)} (x) u ^ {(kj)} (x) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} \ sum _ {k = j} ^ {n} {\ binom {k} {j}} a_ {k} (x) u ^ {(kj)} (x ) c ^ {(j)} (x) \.}$

A soma dupla indica que os derivados de agora estão somados. ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {j = 0} ^ {n} \ sum _ {k = j} ^ {n} {\ binom {k} {j}} a_ {k} (x) u ^ {( kj)} (x) c ^ {(j)} (x)}$${\ displaystyle c ^ {(j)} (x)}$

Agora está de acordo com o pré-requisito e, portanto, o 0º termo na soma é omitido , de modo que segue ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {k} {0}} a_ {k} (x) u ^ {(k)} (x) = L (u) = 0}$${\ displaystyle j}$

${\ displaystyle L (y) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} (x) (c \ cdot u) ^ {(k)} (x) = \ sum _ {j = 1 } ^ {n} \ left [\ sum _ {k = j} ^ {n} {\ binom {k} {j}} a_ {k} (x) u ^ {(kj)} (x) \ right] c ^ {(j)} (x) \.}$

A mudança do índice fornece o resultado

${\ displaystyle L (y) = \ sum _ {j = 0} ^ {n-1} \ left [\ sum _ {k = j + 1} ^ {n} {\ binom {k} {j + 1} } a_ {k} (x) u ^ {(kj-1)} (x) \ direita] c ^ {(j + 1)} (x)}$,

ou usando ${\ displaystyle z (x) = c '(x)}$

${\ displaystyle L (y) = \ sum _ {j = 0} ^ {n-1} \ left [\ sum _ {k = j + 1} ^ {n} {\ binom {k} {j + 1} } a_ {k} (x) u ^ {(kj-1)} (x) \ direita] z ^ {(j)} (x)}$.

exemplo

A equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes é fornecida

${\ displaystyle u '' (x) + 4u '(x) + 4u (x) = 0}$.

Uma solução da equação diferencial resulta da equação característica com o zero duplo . Com a ajuda do método de redução, a segunda solução linearmente independente é encontrada usando a solução já conhecida. Com a abordagem da variação das constantes segue ${\ displaystyle \ lambda ^ {2} +4 \ lambda + 4 = 0}$${\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = - 2}$${\ displaystyle u (x) = e ^ {- 2x}}$

${\ displaystyle y (x) = c (x) u (x)}$

e a equação diferencial dada é representada como segue

${\ displaystyle {\ big (} c '' (x) u (x) + 2c '(x) u' (x) + c (x) u '' (x) {\ big)} + 4 {\ big (} c '(x) u (x) + c (x) u' (x) {\ grande)} + 4c (x) u (x) = 0}$.

Reorganizando a equação diferencial de acordo com as derivadas de, obtemos ${\ displaystyle c (x)}$

${\ displaystyle u (x) c '' (x) + {\ big (} 2u '(x) + 4u (x) {\ big)} c' (x) + {\ big (} u '' (x ) + 4u '(x) + 4u (x) {\ grande)} c (x) = 0}$.

A equação diferencial é expressa no terceiro termo e, portanto, não é aplicável. A equação diferencial agora é ${\ displaystyle u '' (x) + 4u '(x) + 4u (x) = 0}$

${\ displaystyle u (x) c '' (x) + \ left (2u '(x) + 4u (x) \ right) c' (x) = 0}$

e resulta na solução já conhecida para o segundo termo , de modo que a equação diferencial é reduzida a ${\ displaystyle u (x) = e ^ {- 2x}}$${\ displaystyle 2u '(x) + 4u (x) = - 4e ^ {- 2x} + 4e ^ {- 2x} = 0}$

${\ displaystyle u (x) c '' (x) = 0}$.

Uma vez que a função exponencial representa e, portanto, é maior que zero em todos os lugares, a condição para a segunda solução é a equação diferencial ${\ displaystyle u (x)}$

${\ displaystyle c '' (x) = 0}$.

Integrando duas vezes, obtemos as constantes de integração ${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$

${\ displaystyle c (x) = c_ {1} x + c_ {2}}$.

A abordagem para a segunda solução da equação diferencial, portanto, resulta

${\ displaystyle y (x) = (c_ {1} x + c_ {2}) u (x) = c_ {1} xu (x) + c_ {2} u (x)}$.

Visto que o segundo termo é apenas um múltiplo escalar da primeira solução e, portanto, é linearmente dependente, a segunda solução para a equação diferencial é lida, omitindo a constante de integração ${\ displaystyle c_ {2} u (x)}$

${\ displaystyle y (x) = xu (x) = xe ^ {- 2x}.}$

Finalmente, o determinante de Wronsky pode ser usado para provar a independência linear das duas soluções

${\ displaystyle W (u, y) (x) = {\ begin {vmatrix} u & xu \\ u '& u + xu' \ end {vmatrix}} = u (u + xu ') - xuu' = u ^ {2} = e ^ {- 4x} \ neq 0.}$

Caso especial: equação diferencial linear de segunda ordem

Deixe a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem ser resolvida ${\ displaystyle u (x)}$

${\ displaystyle u '' (x) + p (x) u '(x) + q (x) u (x) = 0 \.}$

Então

${\ displaystyle y (x): = c (x) u (x)}$

Solução da equação diferencial (não homogênea)

${\ displaystyle y '' (x) + p (x) y '(x) + q (x) y (x) = f (x)}$

exatamente quando

${\ displaystyle z (x): = c '(x)}$

a equação

${\ displaystyle u (x) z '(x) + {\ big (} p (x) u (x) + 2u' (x) {\ big)} z (x) = f (x)}$

o suficiente. Esta equação pode ser completamente resolvida com a ajuda da variação das constantes .

prova

Seja a equação diferencial linear não homogênea

${\ displaystyle y '' (x) + p (x) y '(x) + q (x) y (x) = f (x)}$

dado cuja solução para a equação diferencial homogênea é conhecida. Então, a solução dos resultados da equação diferencial (não homogênea) usando a abordagem de variação das constantes por ${\ displaystyle u (x)}$

${\ displaystyle y (x) = c (x) u (x)}$,

onde está qualquer função. Então é ${\ displaystyle c (x)}$

${\ displaystyle y '(x) = c' (x) u (x) + c (x) u '(x)}$

e

${\ displaystyle y '' (x) = c '' (x) u (x) + 2c '(x) u' (x) + c (x) u '' (x)}$.

Segue-se

${\ displaystyle {\ big (} c '' (x) u (x) + 2c '(x) u' (x) + c (x) u '' (x) {\ big)} + p (x) {\ big (} c '(x) u (x) + c (x) u' (x) {\ big)} + q (x) c (x) u (x) = f (x)}$

e reorganizando de acordo com os derivados de ${\ displaystyle c (x)}$

${\ displaystyle u (x) c '' (x) + {\ big (} p (x) u (x) + 2u '(x) {\ big)} c' (x) + {\ big (} u '' (x) + p (x) u '(x) + q (x) u (x) {\ big)} c (x) = f (x)}$.

Uma vez que há uma solução para a equação diferencial homogênea , a equação diferencial não homogênea pode ser reduzida por este termo e se aplica ${\ displaystyle u (x)}$${\ displaystyle u '' (x) + p (x) u '(x) + q (x) u (x) = 0}$

${\ displaystyle u (x) c '' (x) + {\ big (} p (x) u (x) + 2u '(x) {\ big)} c' (x) = f (x)}$.

Isso reduz a ordem da equação diferencial não homogênea. Isso se torna aparente quando é introduzido de forma que se aplica ${\ displaystyle z (x) = c '(x)}$

${\ displaystyle u (x) z '(x) + {\ big (} p (x) u (x) + 2u' (x) {\ big)} z (x) = f (x)}$.

Divisão por suprimentos ${\ displaystyle u (x) \ neq 0}$

${\ displaystyle z '(x) + {\ Bigg (} p (x) + {\ frac {2u' (x)} {u (x)}} {\ Bigg)} z (x) = {\ frac { f (x)} {u (x)}}}$.

O cálculo adicional requer o fator de integração

${\ displaystyle \ mu (x) = e ^ {\ int _ {a} ^ {x} ({\ frac {2u '(t)} {u (t)}} + p (t)) \ mathrm {d } t} = e ^ {\ int _ {a} ^ {x} (\ log u ^ {2} (t) + p (t)) \ mathrm {d} t} = e ^ {\ int _ {a } ^ {x} ({\ frac {\ mathrm {d} \ log u ^ {2} (t)} {\ mathrm {d} t}} + p (t)) \ mathrm {d} t} = e ^ {\ int _ {a} ^ {x} \ mathrm {d} \ log u ^ {2} (t)} e ^ {\ int _ {a} ^ {x} p (t)) \ mathrm {d } t} = u ^ {2} (x) e ^ {\ int _ {a} ^ {x} p (t) \ mathrm {d} t}}$,

onde representa um diferencial total e o limite inferior de integração deve ser escolhido de forma adequada. Após a multiplicação pelo fator de integração, a equação diferencial não homogênea assume a seguinte forma ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ log u ^ {2} (t)}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} (z (x) u ^ {2} (x) e ^ {\ int _ {a} ^ {x} p ( t) \ mathrm {d} t}) = u (x) f (x) e ^ {\ int _ {a} ^ {x} p (t) \ mathrm {d} t}}$.

Depois de integrar esta equação, obtemos uma solução para . Uma integração posterior de produz a solução procurada da equação diferencial (não homogênea), omitindo as constantes de integração ${\ displaystyle z (x)}$${\ displaystyle c '(x)}$${\ displaystyle c '(x)}$

${\ displaystyle y (x) = c (x) u (x)}$.

exemplo

A equação diferencial homogênea com coeficientes não constantes é considerada

${\ displaystyle v '' (x) -2xv '(x) -2v (x) = 0}$.

Uma solução para esta equação diferencial homogênea é . A abordagem de variar as constantes agora produz ${\ displaystyle u (x) = e ^ {x ^ {2}}}$${\ displaystyle y (x) = c (x) e ^ {x ^ {2}}}$

${\ displaystyle {\ big (} (2 + 4x ^ {2}) e ​​^ {x ^ {2}} c (x) + 2xe ^ {x ^ {2}} c '(x) + e ^ {x ^ {2}} c '' (x) {\ big)} - 2x {\ big (} 2xe ^ {x ^ {2}} c (x) + e ^ {x ^ {2}} c ' (x) {\ big)} - 2e ^ {x ^ {2}} c (x) = 0}$

e depois de reorganizar de acordo com os derivados de ${\ displaystyle c (x)}$

${\ displaystyle e ^ {x ^ {2}} {\ big (} c '' (x) + 2xc '(x) {\ big)} = 0}$.

Como e é, a equação diferencial homogênea pode ser transformada em ${\ displaystyle e ^ {x ^ {2}} \ neq 0}$${\ displaystyle z (x) = c '(x)}$

${\ displaystyle {\ frac {z '(x)} {z (x)}} + 2x = 0}$

e assim

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ log z (x)} {\ mathrm {d} x}} = - 2x}$

ou

${\ displaystyle z (x) = e ^ {- x ^ {2}}}$.

Portanto, a segunda solução para a equação diferencial homogênea é dada por , assim ${\ displaystyle c (x) = \ int _ {0} ^ {x} z (t) \ mathrm {d} t}$

${\ displaystyle c (x) = \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} \ mathrm {d} t = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \ operatorname {erf} (x)}$.

Aqui significa a função de erro gaussiana . ${\ displaystyle \ operatorname {erf} (x)}$

literatura

• Gerald Teschl : Equações Diferenciais Ordinárias e Sistemas Dinâmicos (=  Estudos de Pós-Graduação em Matemática . Volume 140 ). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 ( mat.univie.ac.at ).