Desvio médio quadrático

Duas funções de estimativa: A escolha de uma estatística distorcida pode ser vantajosa em relação ao seu desvio esperado do valor verdadeiro em comparação com uma estatística imparcial .

A raiz do desvio quadrático médio , também erro quadrático esperado ou erro quadrático médio denominado e MQA , MSE ou MSE (após o nome inglês erro quadrático médio inglês ) abreviado, é um conceito de estatística matemática . Na teoria da estimativa, indica o quanto um estimador de ponto dispersa em torno do valor a ser estimado. Isso o torna um critério de qualidade central para avaliadores . Na análise de regressão , ele é interpretado como a distância quadrática esperada que um estimador tem do valor verdadeiro .

definição

Um modelo estatístico e um estimador de ponto são fornecidos ${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {A}}, (P _ {\ vartheta}) _ {\ vartheta \ in \ Theta})}$

{\ displaystyle T: ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {A}}) \ to (\ mathbb {R}, {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}))}

para uma função a ser estimada (no caso paramétrico, a função de parâmetro )

{\ displaystyle g \ colon \ Theta \ to \ mathbb {R}}

Então é chamado

{\ displaystyle \ operatorname {MSE} (T, \ vartheta): = \ operatorname {E} _ {\ vartheta} \ left (\ left (Tg (\ vartheta) \ right) ^ {2} \ right)}

é a raiz do desvio quadrático médio de . Ele denota o valor esperado em relação à medida de probabilidade . A representação equivalente segue por meio do teorema de deslocamento da variância ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} _ {\ vartheta}}$ ${\ displaystyle P _ {\ vartheta}}$

{\ displaystyle \ operatorname {MSE} (T, \ vartheta) = \ operatorname {Var} _ {\ vartheta} (T) + \ left (\ mathbb {B} _ {T} (\ vartheta) \ right) ^ { 2}}

.

Aqui, a tendência do estimador é chamada de tendência. ${\ displaystyle \ mathbb {B} _ {T} (\ vartheta)}$

Para estimadores que tomam valores em um espaço de decisão geral que é fornecido com uma norma , o desvio médio quadrático pode ser definido como ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

{\ displaystyle \ operatorname {MSE} (T, \ vartheta): = \ operatorname {E} _ {\ vartheta} \ left (\ | Tg (\ vartheta) \ | ^ {2} \ right)}

.

interpretação

No caso clássico, um desvio quadrático médio baixo significa que a tendência e a variância do estimador são pequenas ao mesmo tempo . Com o estimador, você está em média perto do funcional a ser estimado (menor distorção) e ao mesmo tempo você sabe que os valores estimados têm pouca dispersão (baixa variância) e muito provavelmente estão próximos de seu valor esperado .

Com o MSE, portanto, é possível comparar os métodos de estimativa uns com os outros. A ideia é que pode ser vantajoso preferir um estimador ligeiramente enviesado que tenha uma variância muito menor para ele. O procedimento de estimativa com o MSE menor é geralmente considerado o melhor.

O problema é que o MSE depende do parâmetro desconhecido da população a ser estimado.

exemplo

Um caso típico é a estimativa da média de uma distribuição normal. Assumimos que existem variáveis aleatórias , cada uma das quais é normalmente distribuída com um valor esperado desconhecido e uma variância de 1. O estimador clássico é a média da amostra . Aqui, a distorção é zero: ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n} \;}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle {\ overline {X}} _ {n}}$

{\ displaystyle \ operatorname {Bias} ({\ overline {X}} _ {n}) = 0}

,

uma vez que a média empírica é justa com a expectativa . Uma vez que é normalmente distribuído com expectativa e variação , segue ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle {\ overline {X}} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {n}}}$

{\ displaystyle \ operatorname {MSE} ({\ overline {X}} _ {n}) = {\ frac {1} {n}}.}

Raiz de consistência quadrada média

Uma estatística estimada é chamada de consistente na raiz quadrada média se se aplica a ${\ displaystyle n \ to \ infty}$

{\ displaystyle \ operatorname {MSE} \ rightarrow 0}

Eficácia das estatísticas de estimativa

São fornecidas duas estatísticas de estimativa e . A estatística de estimativa é chamada de MSE eficaz se ${\ displaystyle T_ {1}}$ ${\ displaystyle T_ {2}}$ ${\ displaystyle T_ {1}}$

{\ displaystyle \ operatorname {MSE} (T_ {1}) \ leq \ operatorname {MSE} (T_ {2})}

vale para todas as distribuições admissíveis. Além disso, uma estatística de estimativa é referida como o MSE mais eficaz se seu MSE for sempre o menor para todas as distribuições admissíveis.

Classificação e conceitos relacionados

Se alguém interpretar a teoria de estimativa como um problema de decisão estatística , então todo estimador de ponto é uma função de decisão . O desvio da função de decisão do valor a ser estimado é então ponderado por uma função de perda . Isso indica o quão grande o "dano" é causado por uma estimativa. A função de perda é então combinada com a função de decisão para formar a função de risco , que indica o dano médio ao usar uma função de decisão particular.

Neste contexto, a raiz do desvio quadrático médio é a função de risco que é obtida ao usar a função de perda de Gauss

{\ displaystyle L (\ cdot, \ vartheta) = (\ cdot -g (\ vartheta)) ^ {2}}

surge. A função de risco é então obtida calculando o valor esperado.

Com uma construção analógica usando a perda de Laplace , obtém-se o erro médio absoluto

{\ displaystyle \ operatorname {E} _ {\ vartheta} \ left (\ left | Tg (\ vartheta) \ right | \ right)}

.

Veja também

Desvio médio absoluto da média aritmética

literatura

desvio médio quadrático . In: Guido Walz (Ed.): Lexicon of Mathematics . 1ª edição. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 .
Hans-Otto Georgii: Stochastics . Introdução à teoria da probabilidade e estatística. 4ª edição. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7 , doi : 10.1515 / 9783110215274 .
Ludger Rüschendorf: Estatística Matemática . Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6 , doi : 10.1007 / 978-3-642-41997-3 .
Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematical Statistics . Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1 , doi : 10.1007 / 978-3-642-17261-8 .

Evidência individual

^ Ludwig Fahrmeir , artista de Rita, Iris Pigeot , Gerhard Tutz : Estatísticas. O caminho para a análise de dados. 8., revisado. e edição adicional. Springer Spectrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3 , página 344.
^ Ludwig Fahrmeir , artista de Rita, Iris Pigeot , Gerhard Tutz : Estatísticas. O caminho para a análise de dados. 8., revisado. e edição adicional. Springer Spectrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3 , p. 347.

[1] Ludwig Fahrmeir , artista de Rita, Iris Pigeot , Gerhard Tutz : Estatísticas. O caminho para a análise de dados. 8., revisado. e edição adicional. Springer Spectrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3 , página 344.

[2] Ludwig Fahrmeir , artista de Rita, Iris Pigeot , Gerhard Tutz : Estatísticas. O caminho para a análise de dados. 8., revisado. e edição adicional. Springer Spectrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3 , p. 347.

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