Lema de Rasiowa-Sikorski

O lema Rasiowa-Sikorski , em homenagem aos matemáticos poloneses Roman Sikorski e Helena Rasiowa , é fundamental para o desenvolvimento do método de forçamento na teoria dos conjuntos . Garante a existência de filtros com determinadas propriedades.

declaração

Let Ser uma quase-ordem e um conjunto contável de subconjuntos densos de . Em seguida, há um filtro para cada um com as seguintes propriedades: ${\ displaystyle \ langle P, \ leq _ {P} \ rangle}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle p_ {0} \ in P}$${\ displaystyle F \ subseteq P}$

• ${\ displaystyle p_ {0} \ in F}$
• ${\ displaystyle D \ cap F \ neq \ emptyset}$, para todos .${\ displaystyle D \ in {\ mathcal {D}}}$

Filtros com a última propriedade também são chamados de genéricos. ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$

prova

Deixe ser uma enumeração dos conjuntos em e definir para recursiva: ${\ displaystyle D_ {1}, D_ {2}, \ dots}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$${\ displaystyle n \ geq 0}$

${\ displaystyle p_ {n + 1}: =}$"um elemento com ". ${\ displaystyle p \ in D_ {n + 1}}$${\ displaystyle p \ leq p_ {n}}$

Tal existe devido ao aperto de . Então a quantidade é esse filtro. ${\ displaystyle p_ {n + 1}}$${\ displaystyle D_ {n + 1}}$${\ displaystyle F: = \ {p \ in P \ mid \ existe n \ in \ mathbb {N}: p_ {n} \ leq p \}}$

Extensões

Pode-se mostrar que a afirmação torna-se geralmente falsa se a cardinalidade for. A questão de saber se o lema é válido para os números cardinais com leva ao axioma de Martin . ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ ${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ aleph _ {0} <\ kappa <2 ^ {\ aleph _ {0}}}$

literatura

• Jech, Thomas: Set Theory , Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2 .
• Kunen, Keneth: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs , North-Holland (1980), ISBN 0-444-85401-0 .