Byggmark cresceu em Tärnaby . Depois de ganhar experiência em corridas da FIS aos 15 anos , ele começou em 2003 pela seleção sueca na Copa da Europa . Lá ele chamou a atenção para si mesmo, em particular no slalom de dezembro de 2005, com resultados excelentes. Em fevereiro de 2005, ele já havia feito as pessoas se sentarem e tomarem conhecimento do Mundial de Juniores de Bardonecchia, na Itália, com uma sexta colocação no slalom gigante e sétima no slalom.
Ele fez sua estreia na Copa do Mundo em janeiro de 2005, em Kitzbühel , mas inicialmente permaneceu sem uma vaga no ranking durante suas aparições esporádicas. Na temporada 2006/07, Byggmark foi escalado para a seleção sueca para a Copa do Mundo. Logo no início da temporada em Levi , Finlândia , ele surpreendentemente chegou ao sexto lugar com o segundo melhor tempo de corrida na segunda volta. Três semanas depois, ele confirmou seu desempenho com o quinto lugar no slalom de Beaver Creek .
Em 27 de janeiro de 2007, ele venceu sua primeira corrida da Copa do Mundo, o Kitzbühel slalom. Apenas 24 horas depois, ele foi capaz de confirmar este sucesso com a segunda vitória em Kitzbühel. Em 30 de janeiro de 2007, ele alcançou o segundo lugar no slalom noturno de Schladming . Ele terminou em terceiro na Copa do Mundo de Slalom na temporada 2006/07 . No Campeonato Mundial de Esqui de 2007 em Åre , ele ganhou a medalha de prata na competição por equipes com a equipe sueca . Ele não conseguiu outro resultado após falhas em slalom, slalom gigante e super combinado.
Na temporada 2007/08 , a Byggmark alcançou os três segundos lugares nos slaloms de Bad Kleinkirchheim , Wengen e Kitzbühel. Caso contrário, ele teve que lutar com muitas falhas e caiu para o décimo lugar na Copa do Mundo de Slalom. Ele também teve que aceitar várias falhas na temporada 2008/09 . Byggmark só conseguiu marcar três vezes e alcançou o décimo lugar no slalom de Alta Badia como o melhor resultado . Mesmo no Campeonato Mundial de 2009 em Val-d'Isère , ele não atingiu a meta em slalom ou slalom gigante. Devido à falta de sucesso na Copa do Mundo, ele recomeçou cada vez mais na Copa da Europa a partir de fevereiro de 2009.
Na temporada 2009/10 , o Byggmark novamente só atingiu a meta em três slaloms da Copa do Mundo. Seu melhor resultado foi o 13º lugar em Alta Badia . Ele participou dos Jogos Olímpicos de Inverno de 2010 em Vancouver e terminou em 22º lugar. Na Copa da Europa ele venceu o slalom em Pozza di Fassa neste inverno e alcançou o terceiro lugar na classificação de slalom com outro pódio. Na temporada 2010/11, a Byggmark também melhorou significativamente na Copa do Mundo. Ele foi muito consistente e marcou pontos em nove dos dez slaloms da Copa do Mundo naquele inverno. Pela primeira vez em mais de dois anos, ele novamente alcançou as 10 primeiras colocações. No Alpine World Ski Championships 2011 em Garmisch-Partenkirchen , ele surpreendentemente ganhou a medalha de prata. Na temporada da Copa do Mundo de 2011/12, ele alcançou seis primeiras posições.
Como terceiro no slalom Levi em 11 de novembro de 2012, Byggmark estava de volta ao pódio em uma corrida da Copa do Mundo depois de mais de quatro anos e meio. Na Copa do Mundo de 2013 , conquistou a medalha de prata na competição por equipes. Durante o treinamento de verão em Saas-Fee em setembro de 2013, ele sofreu uma ruptura do ligamento cruzado , o que significou que ele perdeu toda a temporada 2013/14 . No inverno seguinte de 2014/15 ele alcançou outro resultado notável com o terceiro lugar no slalom de Madonna di Campiglio , bem como no inverno de 2015/16 com o quarto lugar no slalom de Wengen. Por outro lado, ele só conseguiu mostrar um resultado contável no inverno 2016/17. Problemas recorrentes no joelho o levaram a encerrar a temporada em janeiro de 2017. Por fim, Byggmark anunciou sua aposentadoria como atleta de ponta em 6 de abril de 2017.
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