Identificabilidade

Em estatística, e em econometria em particular, a identificabilidade de um modelo é propriedade dos modelos de estimação de que a estatística inferencial pode ser aplicada a eles.

Um modelo é identificável se for teoricamente possível determinar os verdadeiros valores nos quais o modelo se baseia , fazendo (desenhando) um número infinito de observações. Matematicamente, isso significa que diferentes valores dos parâmetros do modelo produzem diferentes funções de probabilidade das variáveis ​​observáveis.

Na prática, onde existe um número finito de observações, a identificabilidade de um modelo é limitada pelo número de parâmetros a serem estimados , o número de observações e o número de graus de liberdade associados .

História do termo

O termo identificabilidade foi cunhado pelo econometrista Tjalling Koopmans por volta de 1945 com referência à identidade econômica de um relacionamento dentro de um sistema de relacionamento. O termo apareceu imediatamente na literatura econométrica, embora o próprio relato de Koopman sobre o tópico - seus "Problemas de identificação na modelagem econômica" - não tenha aparecido até 1949. Por volta de 1950, o termo foi escolhido por estatísticos e usado em um sentido mais geral, ver, por exemplo, B. Existência de estimativas consistentes do parâmetro direcional em uma relação estrutural linear entre duas variáveis ​​de Jerzy Neyman .

definição

Seja um modelo estatístico com um espaço de parâmetros (possivelmente de dimensão infinita) . Então significa identificável se o mapeamento for injetivo . Portanto, deve ser aplicado: ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ {P _ {\ theta}: \ theta \ in \ Theta \}}$ ${\ displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle \ theta \ mapsto P _ {\ theta}}$

${\ displaystyle P _ {\ theta _ {1}} = P _ {\ theta _ {2}} \ quad \ Rightarrow \ quad \ theta _ {1} = \ theta _ {2} \; \ {\ text { para todos}} \ quad \ \ theta _ {1}, \ theta _ {2} \ in \ Theta}$.

Valores diferentes de devem, portanto, corresponder a distribuições de probabilidade diferentes . ${\ displaystyle \ theta}$

Se as distribuições são definidas usando funções de densidade de probabilidade , então elas são consideradas diferentes se diferirem em um conjunto de medidas de Lebesgue positivas . (Por exemplo, duas funções que diferem em apenas um ponto não são consideradas funções de densidade de probabilidade diferentes neste sentido.)

Essa identificabilidade do modelo no sentido de invertibilidade de é equivalente ao fato de que os verdadeiros parâmetros do modelo podem ser determinados se for possível observar o modelo indefinidamente. Porque, se é o resultado de observações, em seguida, resulta da forte lei dos grandes números${\ displaystyle \ theta \ mapsto P _ {\ theta}}$${\ displaystyle \ {X_ {t} \} \ subseteq S}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {T}} \ sum _ {t = 1} ^ {T} \ mathbf {1} _ {\ {X_ {t} \ in A \}} \ {\ xrightarrow {\ texto {as}}} \ P (X_ {t} \ in A),}$

para cada quantidade mensurável , onde a função indicadora denota uma quantidade. Com um número infinito de observações, pode-se determinar a verdadeira distribuição de probabilidade e, como o mapeamento é invertível, também o verdadeiro valor do parâmetro . ${\ displaystyle A \ subset S}$${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {\ {... \}}}$${\ displaystyle P _ {\ theta}}$${\ displaystyle \ theta \ mapsto P _ {\ theta}}$${\ displaystyle \ theta}$

Exemplos

Distribuições normais

Seja a família de distribuições normais , uma família em escala de localização se forma ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = {\ Big \ {} \ f _ {\ theta} (x) = {\ tfrac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma}} e ^ {- {\ frac {1} {2 \ sigma ^ {2}}} (x- \ mu) ^ {2}} \ {\ Grande |} \ \ theta = (\ mu, \ sigma): \ mu \ em \ mathbb {R}, \, \ sigma \!> 0 \ {\ Big \}}}$.

Então

${\ displaystyle {\ begin {align} & f _ {\ theta _ {1}} = f _ {\ theta _ {2}} \\ [6pt] \ Longleftrightarrow {} & {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma _ {1}}} \ exp \ left (- {\ frac {1} {2 \ sigma _ {1} ^ {2}}} (x- \ mu _ {1} ) ^ {2} \ right) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} \ sigma _ {2}}} \ exp \ left (- {\ frac {1} {2 \ sigma _ {2} ^ {2}}} (x- \ mu _ {2}) ^ {2} \ right) \\ [6pt] \ Longleftrightarrow {} & {\ frac {1} {\ sigma _ {1} ^ {2}}} (x- \ mu _ {1}) ^ {2} + \ ln \ sigma _ {1} = {\ frac {1} {\ sigma _ {2} ^ {2}}} (x - \ mu _ {2}) ^ {2} + \ ln \ sigma _ {2} \\ [6pt] \ Longleftrightarrow {} & x ^ {2} \ left ({\ frac {1} {\ sigma _ { 1} ^ {2}}} - {\ frac {1} {\ sigma _ {2} ^ {2}}} \ right) -2x \ left ({\ frac {\ mu _ {1}} {\ sigma _ {1} ^ {2}}} - {\ frac {\ mu _ {2}} {\ sigma _ {2} ^ {2}}} \ right) + \ left ({\ frac {\ mu _ { 1} ^ {2}} {\ sigma _ {1} ^ {2}}} - {\ frac {\ mu _ {2} ^ {2}} {\ sigma _ {2} ^ {2}}} + \ ln \ sigma _ {1} - \ ln \ sigma _ {2} \ direita) = 0 \ end {alinhado}}}$.

Essa expressão é zero em quase todos os lugares se e somente se todos os seus parâmetros forem zero, o que só é possível para e . Por causa do parâmetro de escala é positiva, o modelo pode ser identificado: . ${\ displaystyle \ vert \ sigma _ {1} \ vert = \ vert \ sigma _ {2} \ vert}$${\ displaystyle \ mu _ {1} = \ mu _ {2}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle f _ {\ theta _ {1}} = f _ {\ theta _ {2}} \ Leftrightarrow \ theta _ {1} = \ theta _ {2}}$

Modelo de regressão linear múltipla

Seja esse o modelo clássico de regressão linear múltipla , com o vetor dos parâmetros de regressão desconhecidos , a matriz do plano do experimento , o vetor das variáveis ​​dependentes e o vetor das variáveis ​​de perturbação . Então, o parâmetro pode ser identificado exatamente quando a matriz é invertível . ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} = \ mathbf {X} {\ boldsymbol {\ beta}} + {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}}}$${\ displaystyle p \ times 1}$${\ displaystyle n \ times p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle n \ times 1}$${\ displaystyle \ mathbf {y}}$${\ displaystyle n \ times 1}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$${\ displaystyle {\ hat {\ varvec {\ beta}}}}$${\ displaystyle (\ mathbf {X} ^ {\ top} \ mathbf {X}) ^ {- 1}}$

Modelo clássico de erro em variáveis

Seja o modelo clássico de erro nas variáveis${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} y = \ beta x ^ {*} + \ varepsilon, \\ x = x ^ {*} + \ eta, \ end {cases}},}$

onde variáveis ​​aleatórias independentes com distribuição normal conjunta com valor esperado zero e variância desconhecida são e apenas as variáveis ​​são observadas. ${\ displaystyle (\ varepsilon, \ eta, x ^ {*})}$ ${\ displaystyle (x, y)}$

Este modelo não pode ser identificado. No entanto, o produto (onde a variância é o regressor latente ) é identificável. ${\ displaystyle \ beta \ sigma _ {*} ^ {2}}$${\ displaystyle \ sigma _ {*} ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {*}}$

Neste exemplo, o valor exato não pode ser identificado, mas pode ser garantido que ele deve estar no intervalo , onde e são os coeficientes obtidos a partir de e em por meio de um comuns mínimos quadrados estimar . ${\ displaystyle {\ hat {\ beta}}}$${\ displaystyle ({\ hat {\ beta}} _ {yx}, {\ frac {1} {{\ hat {\ beta}} _ {xy}}})}$${\ displaystyle {\ hat {\ beta}} _ {yx}}$${\ displaystyle {\ hat {\ beta}} _ {yx}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

literatura

• Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Christian Dreger: Econometria: Fundamentos, Métodos, Exemplos . Gabler Verlag, 2004, ISBN 978-3-409-33732-8 , pp. 321 ( visualização limitada na pesquisa de livros do Google). 

Evidência individual

1. ^ Os primeiros usos conhecidos de algumas palavras da matemática: identificabilidade