Inteiro

Os números inteiros (ℤ) fazem parte dos números racionais (ℚ), que por sua vez fazem parte dos números reais (ℝ). Eles próprios contêm os números naturais (ℕ).

Os inteiros (também inteiros , números latinos integri ) são uma extensão dos números naturais .

Os números inteiros incluem todos os números

..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...

e, portanto, contêm todos os números naturais , bem como seus inversos aditivos . O conjunto de números inteiros é geralmente denotado pela letra com uma linha dupla (o “Z” representa a palavra alemã “números”). O símbolo alternativo agora é menos comum; uma desvantagem desse símbolo em negrito é que ele é difícil de ser exibido à mão. O Unicode do caractere é U + 2124 e tem a forma ℤ. ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$

A lista de números inteiros acima também mostra sua ordem natural em ordem crescente. A teoria dos números é o ramo da matemática que lida com propriedades de inteiros.

A representação de números inteiros no computador geralmente é feita pelo tipo de dados inteiro .

Os inteiros são geralmente introduzidos do quinto ao sétimo ano nas aulas de matemática.

propriedades

anel

Os números inteiros formam um anel em relação à adição e multiplicação , ou seja, ou seja, eles podem ser adicionados, subtraídos e multiplicados sem restrição . As regras de cálculo, como a lei comutativa e a lei associativa para adição e multiplicação, se aplicam, e as leis distributivas também se aplicam .

Devido à existência de subtração, as equações lineares podem ser da forma

${\ displaystyle a + x = b}$

com números naturais e sempre ser resolvido: . Se restringirmos ao conjunto de números naturais, nem todas as equações podem ser resolvidas. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x = ba}$${\ displaystyle x}$

Em termos abstratos , isso significa que os números inteiros formam um anel unitário comutativo . O elemento neutro de adição é 0, o elemento aditivo inverso de é , o elemento neutro de multiplicação é 1. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle -n}$

arranjo

O conjunto de inteiros está totalmente ordenado , em ordem

${\ displaystyle \ cdots <-2 <-1 <0 <1 <2 <\ cdots}$ .

Ou seja, você pode comparar dois números inteiros. Fala-se de

positivo ${\ displaystyle \ {1,2,3, \ ldots \}}$	${\ displaystyle [= \ mathbb {N}]}$,		não negativo ${\ displaystyle \ {0,1,2,3, \ ldots \}}$	${\ displaystyle [= \ mathbb {N} _ {0}]}$,
negativo ${\ displaystyle \ {\ ldots, -2, -1 \}}$	${\ displaystyle [= - \ mathbb {N}]}$ e		não positivo ${\ displaystyle \ {\ ldots, -2, -1,0 \}}$	${\ displaystyle [= - \ mathbb {N} _ {0}]}$

números inteiros. O próprio número 0 não é positivo nem negativo. Esta ordem é compatível com as operações aritméticas, i. H .:

É e então é .${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle c \ leq d}$${\ displaystyle a + c <b + d}$

É e então é .${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle 0 <c}$${\ displaystyle ac <bc}$

Com a ajuda do arranjo, a função de sinal

${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x): = {\ begin {cases} -1 & {\ text {falls}} \ quad x <0 \\ ~~ \, 0 & {\ text {if}} \ quad x = 0 \\ ~~ \, 1 & {\ text {falls}} \ quad x> 0 \ end {cases}}}$

e a função de quantidade

${\ displaystyle | x | = \ operatorname {abs} (x): = {\ begin {cases} ~~ \, x & {\ text {if}} \ quad x \ geq 0 \\ - x & {\ text {if}} \ quad x <0 \ end {casos}}}$

definir. Eles ficam assim

${\ displaystyle x = \ operatorname {sgn} (x) \, | x |}$

juntos.

Potência

Como o conjunto de números naturais, o conjunto de números inteiros também pode ser contado .

Os números inteiros não formam um campo , porque z. B. a equação não pode ser resolvida em. O menor corpo que contém são os números racionais . ${\ displaystyle 2x = 1}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Anel euclidiano

Uma propriedade importante dos inteiros é a existência de divisão por um resto . Por causa dessa propriedade, sempre há um maior fator comum para dois números inteiros , que pode ser determinado usando o algoritmo euclidiano . Em matemática, é denominado anel euclidiano . O teorema da fatoração única em . ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Construção a partir dos números naturais

Se o conjunto de números naturais for fornecido, os números inteiros podem ser construídos como uma extensão de intervalo de número :

A seguinte relação de equivalência é definida no conjunto de todos os pares de números naturais : ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0} \ times \ mathbb {N} _ {0}}$

${\ displaystyle (a, b) \ sim (c, d)}$E se ${\ displaystyle a + d = c + b}$

A adição e multiplicação são definidas por: ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0} \ times \ mathbb {N} _ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} (a, b) + (c, d) & = (a + c, b + d) \\ (a, b) \ cdot (c, d) & = (ac + bd, ad + bc) \ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle \ mathbb {Z} = \ mathbb {N} _ {0} \ times \ mathbb {N} _ {0} \, / \! \ sim}$agora é o conjunto de todas as classes de equivalência .

A adição e multiplicação de pares agora induzem ligações bem definidas para , que é para formar um anel. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

A ordem usual dos inteiros é definida como

${\ displaystyle (a, b) <(c, d)}$se .${\ displaystyle a + d <c + b}$

Cada classe de equivalência tem no caso um representante único da forma onde , e no caso um representante único da forma onde . ${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle a \ geq b}$${\ displaystyle (n, 0)}$${\ displaystyle n = de}$${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle (0, n)}$${\ displaystyle n = ba}$

Os números naturais podem ser embutidos no anel de números inteiros mapeando o número natural para a classe de equivalência representada por. Normalmente os números naturais são identificados com suas imagens e a classe de equivalência representada por é denotada por. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (n, 0)}$${\ displaystyle (n, 0)}$${\ displaystyle (0, n)}$${\ displaystyle -n}$

Se um número natural for diferente de , a classe de equivalência representada por é designada como um inteiro positivo e a classe de equivalência representada por é designada como um inteiro negativo . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle (n, 0)}$${\ displaystyle (0, n)}$

Esta construção dos números inteiros a partir dos números naturais também funciona se, em vez do conjunto , ou seja , sem , for tomado como o conjunto inicial. Então, o número natural está na classe de equivalência de e de .${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (n + 1,1)}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle (1,1)}$

tópicos relacionados

• Uma construção semelhante à construção de números inteiros a partir de números naturais é geralmente possível para semigrupos comutativos . Nesse sentido, o Grupo Grothendieck é de .${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$
• Os números gaussianos e os números de Eisenstein são duas extensões diferentes de inteiros para conjuntos de números complexos.
• O completamento perfinito do grupo de números inteiros é formado como o limite (projetivo ou) inverso de todos os grupos de fatores finitos de e representa a totalidade dos números inteiros perfinitos . É conhecido pelo símbolo .${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$

Links da web

Wikilivros: Matemática para a Escola${\ displaystyle {\ color {BlueViolet} {\ begin {smallmatrix} {\ mathbf {MATHE} \ mu \ alpha T \ mathbb {R} ix} \ end {smallmatrix}}}}$  - Conjuntos de números

Wikcionário: número inteiro  - explicações de significados, origens das palavras, sinônimos, traduções

Evidência individual

1. ↑ Jeff Miller: primeiros usos dos símbolos da teoria dos números. 29 de agosto de 2010. Recuperado em 20 de setembro de 2010 .