Variância empírica

A variância empírica e a variância da amostra (obsoleto: quadrado de espalhamento empírico ) ou quase sem variância ( latim variantia = "diversidade" ou variare chamada = "(ver) mudar, ser diferente"), uma indicação estatística da propagação dos valores uma amostra e, em estatísticas descritivas, um índice de uma amostra. É uma das medidas de dispersão e descreve o desvio médio quadrático dos valores medidos individuais da média empírica . Representa, portanto, uma espécie de desvio quadrático médio, cuja raiz positiva da variância empírica é o desvio padrão empírico . O desvio padrão empírico é a medida mais comum de dispersão.

Os termos "variância", "variância da amostra" e "variância empírica" ​​não são usados ​​de forma consistente na literatura. Em geral, uma distinção deve ser feita entre os

• Variância (no sentido de teoria da probabilidade) como uma figura-chave de uma distribuição de probabilidade ou a distribuição de uma variável aleatória
• Variância da amostra (em termos de estatísticas indutivas) como uma função de estimativa para a variância (em termos de teoria da probabilidade)
• a variação empírica discutida aqui como uma figura-chave de uma amostra específica, ou seja, vários números.

Uma delimitação e conexões precisas podem ser encontradas na seção Relacionamento dos Termos de Variância .

definição

motivação

A variância de uma população finita em tamanho é uma medida da dispersão dos valores individuais em torno da média da população e é definida como ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle i \ in \ {1,2, \ ldots, N \}}$

${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = {\ frac {1} {N}} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {N} (x_ {i} - \ mu) ^ {2}}$com a média da população .${\ displaystyle \ mu = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} x_ {i}}$

Como é desconhecida em situações práticas e ainda precisa ser calculada, a variância empírica é freqüentemente usada. Isso é especialmente necessário quando em grandes populações não é possível contar todos os indivíduos da população.

definição

Dada uma amostra de elementos . Denota ${\ displaystyle n <N}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}}$

${\ displaystyle {\ overline {x}}: = {\ frac {1} {n}} (x_ {1} + x_ {2} + \ ldots + x_ {n}) = {\ frac {1} {n }} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}}}$

a média empírica da amostra. Essa média empírica é uma estimativa da média da população . A variância empírica pode ser definida de duas maneiras. Ou a variância empírica da amostra é definida como a soma dos desvios quadrados dividida pelo número de valores medidos: ${\ displaystyle {\ overline {x}}}$${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle SQ_ {x}}$

${\ displaystyle {\ tilde {s}} ^ {2}: = {\ frac {1} {n}} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} - {\ overline {x}} \ right) ^ {2} = {\ tfrac {1} {n}} SQ_ {x}}$,

ou é definido como uma forma ligeiramente modificada como a soma dos desvios quadrados dividida pelo número de graus de liberdade

${\ displaystyle s ^ {2}: = {\ frac {1} {n-1}} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} - {\ overline {x} } \ right) ^ {2} = {\ tfrac {1} {n-1}} SQ_ {x} \ quad, 0 \ leq s ^ {2} \ leq \ infty}$.

Explicação

A variância empírica representa, portanto, uma espécie de “desvio médio quadrático”, sendo um estimador da variância populacional . As representações decorrem diretamente da definição ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ tilde {s}} ^ {2} = {\ frac {n-1} {n}} s ^ {2} \ quad}$respectivamente .${\ displaystyle \ quad s ^ {2} = {\ frac {n} {n-1}} {\ tilde {s}} ^ {2}}$

Esta forma ligeiramente modificada é muitas vezes referida como variação de amostra e é usada por pacotes de programas como B. SPSS , R etc. são os preferidos. Se a amostra não apresentar variabilidade, i. H. , então há uma variação de . A média pode ser explicada intuitivamente em vez de pela forma modificada da variância empírica como segue: Devido à propriedade de foco da média empírica , o último desvio já é determinado pelo primeiro . Conseqüentemente, apenas os desvios variam livremente e, portanto, a média é dividida pelo número de graus de liberdade .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x_ {1} = x_ {2} = \ ldots = x_ {n} = {\ overline {x}}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ sum \ nolimits _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} - {\ bar {x}} \ right) = 0}$${\ displaystyle \ left (x_ {n} - {\ overline {x}} \ right)}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle (n-1)}$ ${\ displaystyle (n-1)}$

Se apenas “a” variação empírica é falada, deve-se prestar atenção a qual convenção ou definição se aplica no contexto correspondente. Nem a nomenclatura das definições nem a notação correspondente são uniformes na literatura, mas o termo variância empírica é freqüentemente usado para a forma não modificada e o termo variância da amostra para a forma modificada . Também existe a notação , mas também é conhecida como ou . Alguns autores referem-se a desvio médio quadrado da média empírica e a variância teórica ou variância indutiva em oposição a variância empírica.${\ displaystyle {\ tilde {s}} ^ {2}}$${\ displaystyle s ^ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {s}} ^ {2}}$${\ displaystyle s _ {\ text {emp}} ^ {2}}$${\ displaystyle s ^ {2}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ operatorname {Var}}} (x), \; s_ {n-1} ^ {2}}$${\ displaystyle s _ {*} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {s}} ^ {2}}$${\ displaystyle s ^ {2}}$${\ displaystyle {\ tilde {s}} ^ {2}}$

${\ displaystyle s ^ {2}}$é tão imparcial e variância de amostra (e como uma variância de amostra distorcida chamada) porque um estimador imparcial para a variância é.${\ displaystyle {\ tilde {s}} ^ {2}}$${\ displaystyle s ^ {2}}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

Variância empírica para dados de frequência

O desvio padrão empírico também é uma medida de até que ponto a amostra se espalha, em média, em torno da média empírica. Seja a frequência absoluta de ocorrências e o número de valores para o verdadeiro, isto é . Deixe ainda ser a frequência relativa de , i. H. a proporção de valores aos quais se aplica. A distribuição de frequência absoluta e a distribuição de frequência relativa são freqüentemente resumidas em uma tabela de frequência . As características junto com as frequências ou também são chamadas de dados de frequência . Para dados de frequência com as características e frequências relativas , a variância empírica é calculada da seguinte forma ${\ displaystyle h_ {j} = h (a_ {j})}$${\ displaystyle a_ {j}}$${\ displaystyle x_ {i} = a_ {j}}$${\ displaystyle n = \ sum _ {j = 1} ^ {k} h_ {j}}$${\ displaystyle f_ {j} = f (a_ {j}) = h_ {j} / n}$${\ displaystyle a_ {j}}$${\ displaystyle x_ {i} = a_ {j}}$${\ displaystyle h_ {1}, h_ {2}, \ ldots, h_ {k}}$${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ ldots, f_ {k}}$${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {k}}$${\ displaystyle h_ {1}, h_ {2}, \ ldots, h_ {k}}$${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ ldots, f_ {k}}$${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {k}}$ ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ ldots, f_ {k}}$

${\ displaystyle {\ tilde {s}} ^ {2} = \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {k} \ left (a_ {j} - {\ overline {x}} \ right) ^ {2 } f_ {j}}$,

com . ${\ displaystyle {\ overline {x}}: = \ sum _ {j = 1} ^ {k} {f_ {j} a_ {j}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {j = 1} ^ {k} {h_ {j} a_ {j}}}$

Regras de cálculo

Comportamento nas transformações

A variância não muda quando os dados são deslocados por um valor constante c, assim e assim é ${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}$${\ displaystyle y = (x_ {1} + c, x_ {2} + c, \ dots, x_ {n} + c)}$

${\ displaystyle {\ tilde {s}} ^ {2} (x) = {\ tilde {s}} ^ {2} (y)}$também .${\ displaystyle s ^ {2} (x) = s ^ {2} (y)}$

Se eles forem dimensionados por um fator , o seguinte se aplica ${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle y = ax}$

${\ displaystyle {\ tilde {s}} ^ {2} (y) = a ^ {2} \ cdot {\ tilde {s}} ^ {2} (x)}$também .${\ displaystyle s ^ {2} (y) = a ^ {2} \ cdot s ^ {2} (x)}$

Representações alternativas

Como o quadrado médio do desvio

A variância na análise de variância, muitas vezes como desvio "médio" ou "médio" ao quadrado referido${\ displaystyle MQ}$

${\ displaystyle s ^ {2} = {\ frac {\ sum \ nolimits _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} - {\ overline {x}} \ right) ^ {2}} {n-1}} = {\ frac {SQ} {FG}}: = MQ}$.

Os quadrados médios dos desvios das respectivas variáveis ​​são resumidos em uma chamada tabela de análise de variância.

Representação por meio de bloco de deslocamento

Outra representação pode ser obtida a partir do teorema do deslocamento , segundo o qual

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} - {\ bar {x}} \ right) ^ {2} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2} \ right) -n \ cdot {\ overline {x}} ^ {2}}$

se aplica. A multiplicação com dá a você${\ displaystyle {\ tfrac {1} {n}}}$

${\ displaystyle {\ tilde {s}} ^ {2} = {\ frac {1} {n}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2} \ right ) - {\ overline {x}} ^ {2}}$,

de que

${\ displaystyle s ^ {2} = {\ frac {1} {n-1}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2} \ right) - {\ frac {n} {n-1}} \ cdot {\ overline {x}} ^ {2}}$

segue.

Representação sem meios empíricos

Outra representação que administra sem o uso do meio empírico é

${\ displaystyle {\ tilde {s}} ^ {2} = {\ frac {1} {2n ^ {2}}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {j}) ^ {2}}$

ou.

${\ displaystyle s ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {1} {n (n-1)}} \ sum _ {\ mathrm {all ~} i \ neq j } \ left (x_ {i} -x_ {j} \ right) ^ {2} = {\ frac {1} {n (n-1)}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = i + 1} ^ {n} \ left (x_ {i} -x_ {j} \ right) ^ {2}}$.

Se você colocar a média aritmética dos valores observados na soma e na soma dupla ${\ displaystyle {\ overline {x}}}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {j}) ^ {2}}$

adiciona e subtrai (ou seja, insere zero) e, em seguida, aplica

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} (x_ {i} - {\ overline {x}} + {\ overline {x}} - x_ {j}) ^ {2} & = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} (x_ {i} - {\ overline { x}}) ^ {2} +2 \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} (x_ {i} - {\ overline {x}}) ({ \ overline {x}} - x_ {j}) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} ({\ overline {x}} - x_ {j} ) ^ {2} \\ & = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ underbrace {\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - {\ overline {x}}) ^ {2}} _ {= n {\ tilde {s}} ^ {2}} + 2 \ underbrace {\ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - {\ overline {x}}) \ right)} _ {= 0} \ underbrace {\ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} ({\ overline {x}} - x_ {j}) \ right)} _ {= 0} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ underbrace {\ sum _ {j = 1} ^ {n} ({\ overline {x}} - x_ {j}) ^ {2 }} _ {= n {= n {\ tilde {s}} ^ {2}} \\ & = 2n ^ {2} \ cdot {\ tilde {s}} ^ {2} \ end {alinhado}}}$.

Isso é equivalente a

${\ displaystyle {\ tilde {s}} ^ {2} = {\ frac {1} {2n ^ {2}}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} (x_ {i} -x_ {j}) ^ {2}}$.

Termos derivados

Desvio padrão empírico

O desvio padrão empírico, também conhecido como variância da amostra ou desvio padrão da amostra , é a raiz quadrada positiva da variância empírica, ou seja,

${\ displaystyle {\ tilde {s}}: = {\ sqrt {{\ frac {1} {n}} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} - {\ overline {x}} \ right) ^ {2}}}}$

ou

${\ displaystyle s: = {\ sqrt {{\ frac {1} {n-1}} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} \ left (x_ {i} - {\ overline {x} } \ right) ^ {2}}}}$.

Em contraste com a variância empírica, o desvio padrão empírico tem as mesmas unidades que a média empírica ou a própria amostra.Como com a variância empírica, a nomenclatura e designação do desvio padrão empírico não é uniforme. O desvio padrão empírico deve ser distinguido do desvio padrão em termos de teoria de probabilidade . Este é um indicador de uma distribuição de probabilidade ou a distribuição de uma variável aleatória , enquanto o desvio padrão empírico é um indicador de uma amostra.

Coeficiente de variação empírico

O coeficiente de variação empírico é uma medida adimensional de dispersão e é definido como o desvio padrão empírico dividido pela média empírica, ou seja,

${\ displaystyle v: = {\ frac {s} {\ bar {x}}} \ cdot 100 \, \%}$

Em contraste com o desvio padrão, há uma variância adimensional e, portanto, não sujeita a unidades. Sua vantagem é que é expressa como uma porcentagem da média empírica .${\ displaystyle v}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle {\ overline {x}}}$

exemplo

A amostra é dada

${\ displaystyle x_ {1} = 10; \ quad x_ {2} = 9; \ quad x_ {3} = 13; \ quad x_ {4} = 15; \ quad x_ {5} = 16}$,

assim é . Para os resultados do valor médio empírico ${\ displaystyle n = 5}$

${\ displaystyle {\ overline {x}} = {\ frac {1} {5}} (10 + 9 + 13 + 15 + 16) = {\ frac {63} {5}} = 12 {,} 6}$.

No caso de um cálculo por partes, o resultado

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {5} \ left (x_ {i} - {\ overline {x}} \ right) ^ {2} & = (10- 12 {,} 6) ^ {2} + (9-12 {,} 6) ^ {2} + (13-12 {,} 6) ^ {2} + (15-12 {,} 6) ^ { 2} + (16-12 {,} 6) ^ {2} \\\; & = (- 2 {,} 6) ^ {2} + (- 3 {,} 6) ^ {2} +0 { ,} 4 ^ {2} +2 {,} 4 ^ {2} +3 {,} 4 ^ {2} = 37 {,} 2 \ end {alinhado}}}$.

A primeira definição dá a você

${\ displaystyle {\ tilde {s}} ^ {2} = {\ frac {1} {5}} \ sum _ {i = 1} ^ {5} (x_ {i} - {\ overline {x}} ) ^ {2} = {\ frac {37 {,} 2} {5}} = 7 {,} 44}$

Considerando que a segunda definição

${\ displaystyle s ^ {2} = {\ frac {1} {5-1}} \ sum _ {i = 1} ^ {5} (x_ {i} - {\ overline {x}}) ^ {2 } = {\ frac {37 {,} 2} {4}} = 9 {,} 3}$,

suprimentos. O desvio padrão também pode ser calculado usando o exemplo de variação acima. Isso é feito simplesmente arrancando raízes. Se for determinado a variância da amostra não corrigida, então (de acordo com a 1ª definição)

${\ displaystyle {\ tilde {s}} = {\ sqrt {\ frac {37 {,} 2} {5}}} \ approx 2 {,} 73}$.

No entanto, se o desvio padrão empírico for determinado por meio da variância da amostra corrigida, então (de acordo com a 2ª definição)

${\ displaystyle s = {\ sqrt {\ frac {37 {,} 2} {4}}} \ approx 3 {,} 05}$.

Origem das várias definições

A definição de corresponde à definição da variância empírica como a raiz do desvio quadrático médio da média empírica. Isso se baseia na ideia de definir um grau de dispersão em torno da média empírica. Seja isso . Uma primeira abordagem é somar a diferença entre os valores medidos e a média empírica. isto leva a ${\ displaystyle {\ tilde {s}}}$${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}$

${\ displaystyle S (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - {\ overline {x}})}$

No entanto, isso sempre resulta em 0, porque somas positivas e negativas se cancelam ( propriedade do centro de gravidade ), portanto, não é adequado para quantificar a variância. Para obter um valor para a variância maior ou igual a 0, pode-se, por exemplo, calcular com os valores das diferenças, ou seja, a soma dos desvios absolutos

${\ displaystyle SA (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} - {\ overline {x}} |}$

considere, ou quadrado, ou seja, a soma dos quadrados

${\ displaystyle SQ (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - {\ overline {x}}) ^ {2}}$

Formato. No entanto, isso tem o efeito colateral de que desvios maiores da média empírica são mais pesados. Como resultado, os valores discrepantes individuais também têm um impacto mais forte. Para tornar o grau de dispersão independente do número de valores medidos na amostra, ele é dividido por este número. O resultado desta medida de dispersão derivada pragmaticamente é o desvio quadrático médio da média empírica ou a variância definida acima . ${\ displaystyle {\ tilde {s}}}$

A definição de tem suas raízes na teoria da estimativa . Haverá ${\ displaystyle s ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ sigma}} ^ {2} = S ^ {2} = {\ frac {1} {n-1}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i } - {\ overline {X}}) ^ {2}}$

usado como um estimador imparcial para a variância desconhecida de uma distribuição de probabilidade . Isso é verdade devido ao seguinte teorema: Se houver variáveis ​​aleatórias independentes e distribuídas de forma idêntica com e , então se aplica . Portanto, há um estimador para a variância desconhecida da população . ${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} (X_ {i}) = \ mu \;, i = 1,2, \ ldots, n}$${\ displaystyle \ operatorname {Var} (X_ {i}) = \ sigma ^ {2} \;, i = 1,2, \ ldots, n}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (S ^ {2}) = \ sigma ^ {2}}$${\ displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle {\ hat {\ sigma}} ^ {2}}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

Se passarmos agora das variáveis ​​aleatórias às realizações , o valor estimado é obtido a partir da função de estimativa abstrata . A proporção de a , assim, corresponde à relação de uma função para o seu valor da função em um ponto . ${\ displaystyle X_ {i}}$ ${\ displaystyle X_ {i} (\ omega) = x_ {i}}$ ${\ displaystyle S ^ {2}}$ ${\ displaystyle s ^ {2}}$${\ displaystyle S ^ {2}}$${\ displaystyle s ^ {2}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (x_ {0})}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Assim, pode ser visto como uma medida de dispersão praticamente motivada na estatística descritiva, enquanto uma estimativa para uma variância desconhecida é na estatística indutiva. Essas origens diferentes justificam a maneira acima mencionada de falar por variância empírica e por variância indutiva ou variância teórica. Deve-se notar que também pode ser interpretado como uma estimativa de uma função de estimativa. Ao usar o método do momento , obtém-se como uma função de estimativa para a variância ${\ displaystyle {\ tilde {s}}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle {\ tilde {s}}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle {\ tilde {s}}}$

${\ displaystyle {\ widetilde {S}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} - {\ overline {X}}) ^ {2 }}$.

Sua realização corresponde . No entanto, geralmente não é usado porque não atende aos critérios de qualidade comuns . Este estimador não é justo com as expectativas , por causa de ${\ displaystyle {\ tilde {s}}}$${\ displaystyle {\ tilde {S}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} ({\ widetilde {S}}) = {\ frac {n-1} {n}} \ sigma ^ {2} \ neq \ sigma ^ {2}}$.

Relação dos conceitos de variância

Conforme já mencionado na introdução, existem diferentes termos de variância, alguns dos quais têm o mesmo nome. A relação entre eles torna-se clara quando se considera seu papel na modelagem de estatísticas indutivas:

• A variância (no sentido de teoria da probabilidade) é uma medida de dispersão de uma distribuição de probabilidade abstrata ou a distribuição de uma variável aleatória em estocástica.
• A variância da amostra (no sentido de estatística indutiva) é uma função de estimativa para estimar a variância (no sentido da teoria da probabilidade) de uma distribuição de probabilidade desconhecida. Portanto, não é um índice, mas um método de estimativa para adivinhar a variância de uma distribuição de probabilidade desconhecida da melhor maneira possível.
• A variância empírica aqui discutida é, além de seu papel na estatística descritiva, uma estimativa concreta da variância subjacente de acordo com o método de estimação, que é dada pela variância da amostra (no sentido de estatística indutiva).

A chave é a diferença entre o método de estimação (variância da amostra no sentido de estatísticas indutivas) e sua estimativa concreta (variância empírica). Corresponde à diferença entre uma função e seu valor de função.

Variância anualizada

Na teoria do mercado financeiro , as variações ou volatilidades dos retornos são frequentemente calculadas. Essas variações, se baseadas em dados diários, precisam ser anualizadas; H. pode ser extrapolado para um ano. Isso é feito usando um fator de anualização (existem cerca de dias de negociação por ano ). A volatilidade pode, portanto, ser estimada como a raiz da variância anualizada ${\ displaystyle A = 250}$${\ displaystyle 250}$

${\ displaystyle {\ hat {\ sigma}} ^ {2} = 250 \ cdot s ^ {2} = {\ frac {250} {n-1}} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n } \ left (x_ {i} - {\ overline {x}} \ right) ^ {2}}$.

Evidência individual

1. ↑ Norbert Henze: Estocástica para iniciantes . Uma introdução ao fascinante mundo do acaso. 10ª edição. Springer Spectrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6 , p. 31 , doi : 10.1007 / 978-3-658-03077-3 . 
2. ↑ ^{a b} Ehrhard Behrends: Estocástica elementar . Um livro de aprendizagem - co-desenvolvido pelos alunos. Springer Spectrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8348-1939-0 , p. 274 , doi : 10.1007 / 978-3-8348-2331-1 . 
3. ↑ Thomas Cleff: Estatística Descritiva e Análise Exploratória de Dados . Uma introdução informatizada com Excel, SPSS e STATA. 3ª edição revisada e ampliada. Springer Gabler, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-8349-4747-5 , p. 56 , doi : 10.1007 / 978-3-8349-4748-2 . 
4. ^ Ludwig Fahrmeir, artista de Rita, Iris Pigeot, Gerhard Tutz: Estatísticas. O caminho para a análise de dados. 8., revisado. e edição adicional. Springer Spectrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3 , p. 65
5. ↑ ^{a b} Helge Toutenburg, Christian Heumann: Estatísticas descritivas . 6ª edição. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77787-8 , pp. 75 , doi : 10.1007 / 978-3-540-77788-5 . 
6. ↑ Thomas Cleff: Estatística Descritiva e Análise Exploratória de Dados . Uma introdução informatizada com Excel, SPSS e STATA. 3ª edição revisada e ampliada. Springer Gabler, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-8349-4747-5 , p. 255 , doi : 10.1007 / 978-3-8349-4748-2 . 
7. ↑ Capítulo 10: Estimadores inesperados (arquivo PDF), www.alt.mathematik.uni-mainz.de, acessado em 31 de dezembro de 2018
8. ^ Ludwig Fahrmeir , artista de Rita, Iris Pigeot , Gerhard Tutz : Estatísticas. O caminho para a análise de dados. 8., revisado. e edição adicional. Springer Spectrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50371-3 , p. 65.
9. ↑ É e assim ${\ displaystyle {\ overline {y}} = {\ overline {x}} + c}$

   ${\ displaystyle (y_ {i} - {\ overline {y}}) ^ {2} = (x_ {i} + c - ({\ overline {x}} + c)) ^ {2} = (x_ { i} - {\ overline {x}}) ^ {2}}$a partir do qual a reivindicação segue.

10. ↑ Isso segue como acima através de um recálculo direto.
11. ↑ Werner Timischl : Estatísticas Aplicadas. Uma introdução para biólogos e profissionais médicos. 2013, 3ª edição, p. 109.
12. ↑ Lothar Sachs : Métodos de Avaliação Estatística , página 400.
13. ^ Reinhold Kosfeld, Hans Friedrich Eckey, Matthias Türck: Estatísticas descritivas . Noções básicas - métodos - exemplos - tarefas. 6ª edição. Springer Gabler, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-13639-0 , pp. 122 , doi : 10.1007 / 978-3-658-13640-6 . 
14. ↑ ^{a b} Norbert Henze: Estocástica para iniciantes . Uma introdução ao fascinante mundo do acaso. 10ª edição. Springer Spectrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6 , p. 31-32 , doi : 10.1007 / 978-3-658-03077-3 . 
15. ↑ ^{a b} Ehrhard Behrends: Estocástica elementar . Um livro de aprendizagem - co-desenvolvido pelos alunos. Springer Spectrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8348-1939-0 , p. 274-275 , doi : 10.1007 / 978-3-8348-2331-1 . 
16. ↑ Werner Timischl: Estatísticas Aplicadas. Uma introdução para biólogos e profissionais médicos. 2013, 3ª edição, p. 109.
17. ↑ Norbert Henze: Estocástica para iniciantes . Uma introdução ao fascinante mundo do acaso. 10ª edição. Springer Spectrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6 , p. 33 , doi : 10.1007 / 978-3-658-03077-3 . 
18. ^ Otfried Beyer, Horst Hackel: Cálculo de probabilidade e estatísticas matemáticas. 1976, p. 123.