Princípio Arquimediano

O princípio arquimediano deve o seu nome ao estudioso grego Arquimedes , que viveu há mais de 2.000 anos e foi o primeiro a formular esse fato, como a 16ª proposição em sua obra Sobre os corpos flutuantes .

"A flutuabilidade estática de um corpo em um meio é tão grande quanto o peso do meio deslocado pelo corpo."

Figura 1: levantamento esquemático

O princípio de Arquimedes se aplica a todos os fluidos , i. H. a uma boa aproximação em líquidos e em gases . Os navios deslocam a água e, assim, ganham flutuabilidade. Como a densidade média de um navio é menor que a densidade da água, ele flutua na superfície. Até balões e dirigíveis fazem uso dessa propriedade. Eles são preenchidos com um gás cuja densidade é inferior à do ar circundante. Em muitos dirigíveis e balões, esses gases (por exemplo, hélio ou hidrogênio ) são naturalmente menos densos que o ar; Em balões e dirigíveis de ar quente , o enchimento de ar é aquecido com o auxílio de queimadores a gás, o que reduz sua densidade.

Explicação do fenômeno

Figura 2: A força (b) na parte inferior (a pressão na água) é maior do que a força (a) na parte superior. As forças laterais (c e d) são irrelevantes para a flutuabilidade
Imagem 3: A força que atua sobre um ponto (em líquidos ou gases) é a mesma em todas as direções.

Em uma visão simplificada, a causa da força de empuxo é que a pressão hidrostática é diferente na parte superior e inferior de um corpo submerso. Essa diferença de pressão resulta em forças diferentes na parte inferior e na parte superior do corpo imerso; uma força maior atua na parte inferior do que nas partes da superfície mais acima.

Cálculo de amostra

No exemplo (Fig. 1), assumimos um cubo com um comprimento de aresta de 20 cm. Está submerso 10 cm abaixo da superfície da água.

Cálculo usando diferenças de pressão

A pressão gerada por 1 m de água é . Então, na parte superior do corpo com coluna de água existe , na parte inferior com coluna de água existe . A pressão do ar é adicionada a ambos os valores e não precisa ser levada em consideração no cálculo posterior.

A força, portanto, atua na superfície inferior (Fig. 1)

acima. Em contraste, a força atua na superfície superior

para baixo. A diferença entre as duas forças, ou seja, a flutuabilidade deste corpo, é calculada da seguinte forma

.

Cálculo usando o princípio de Arquimedes

Arquimedes, é aplicável o seguinte: . Referindo-nos ao exemplo (figura 1) podemos escrever:

A densidade do fluido, a relação com a massa e o volume e o fator espacial foram usados. Vemos que ambos os métodos levam ao mesmo resultado.

Experimento de pensamento

A seguinte experiência de pensamento ilustra a correção do princípio de Arquimedes. Para fazer isso, imagine um fluido em repouso. Qualquer parte do fluido é marcada dentro do fluido. A marcação pode ser imaginada como uma espécie de balão d'água em um recipiente com água, só que a pele desse balão d'água é infinitamente fina e sem massa e pode assumir qualquer forma.

Verificou-se agora que a parte do fluido marcada desta forma dentro do fluido não sobe nem afunda, uma vez que todo o fluido está em repouso - a parte marcada flutua sem peso no fluido que a rodeia, por assim dizer. Isso significa que a flutuabilidade da parte de fluido marcada compensa exatamente seu peso. A partir disso, pode-se concluir que a força de empuxo da parte fluida marcada corresponde exatamente ao seu peso. Uma vez que a marcação é arbitrária dentro do fluido, a correção do princípio de Arquimedes para fluidos homogêneos é mostrada.

Suba, afunde, flutue

Para que o corpo mantenha a posição descrita no gráfico, seu peso deve ser igual ao peso da água deslocada (78,48 N). Então, todas as forças agindo sobre o corpo se cancelam e o corpo fica paralisado. De acordo com a fórmula , o corpo deve pesar 8.000 g. Além disso, ele teria uma densidade de 1 kg / dm 3 , isto é, a densidade de água.

Portanto, podemos formular a seguinte regra:

  • Se houver , o corpo flutua.
  • Se houver , então o corpo se levanta.
  • Se houver , o corpo afunda.

Os corpos sobem ou descem até que o peso seja neutralizado por uma força de igual magnitude. Isso pode causar uma alteração da densidade do fluido ou do fundo do copo conforme ele afunda. Um corpo freqüentemente sobe até irromper na superfície. Nesse caso:

Descoberta do Princípio Arquimediano

Experiência para provar o princípio de Arquimedes, ilustração de 1547

Arquimedes fora contratado pelo rei Hieron II de Siracusa para descobrir se sua coroa era feita de ouro puro conforme o pedido ou se o material havia sido esticado por um metal mais barato. Esta tarefa inicialmente representou problemas para Arquimedes, uma vez que a coroa não poderia ser destruída.

Segundo a tradição, Arquimedes finalmente teve a ideia salvadora quando entrou em uma banheira cheia até a borda para se banhar e a água transbordou. Ele percebeu que a quantidade de água que havia transbordado era exatamente o volume de seu corpo. Supostamente, ele então correu pelas ruas nu como estava e gritou Eureka !” (“Eu encontrei”) .

Para resolver o problema, ele mergulhou a coroa uma vez e depois uma barra de ouro , que pesava tanto quanto a coroa, em um recipiente de água cheio até a borda e mediu a quantidade de água transbordando. Como a coroa deslocou mais água do que a barra de ouro e, portanto, era mais volumosa para o mesmo peso, ela deve ter sido feita de um material de densidade inferior, ou seja, não de ouro puro.

Essa história foi transmitida pelo arquiteto romano Vitruvius .

Embora a lenda diga que a descoberta do princípio de Arquimedes foi baseada nesta história, o experimento de Arquimedes funcionaria com qualquer outro líquido. O mais interessante sobre o princípio de Arquimedes, ou seja, a criação da flutuabilidade e, portanto, o cálculo da densidade do fluido, não desempenha um papel nesta história de descoberta.

Derivação física

Um corpo é carregado pela pressão que o meio circundante (líquido ou gás) exerce em sua superfície. Uma seção considerada da superfície com o conteúdo é escolhida tão pequena que esteja praticamente nivelada e que a pressão seja constante em sua área . Seja o vetor unitário da superfície externa normal da superfície parcial . O médium então exerce a força

na seção. A soma dessas forças em todas as seções fornece a força total de sustentação.

Para a derivação do princípio de Arquimedes
Capacidade de carga de um balão de borracha cheio de hidrogênio

O princípio de Arquimedes só se aplica estritamente se o meio deslocado for incompressível (não compressível). Para líquidos como B. água isso é bem atendido, portanto, a seguir, um corpo será assumido que está imerso em um líquido de densidade (estritamente falando, dependente da temperatura) .

No líquido, o peso de uma coluna líquida da massa repousa sobre uma superfície horizontal do tamanho na profundidade . A pressão nesta profundidade é, portanto,

.

Se as diferenças de altura não forem muito grandes, uma curva de pressão correspondente também se aplica ao ar ou outros gases (isto é, a compressibilidade não é importante; com grandes diferenças de altura, uma densidade variável teria que ser levada em consideração). Portanto, as seguintes considerações também se aplicam a aeronaves ou balões realisticamente grandes.

Para formas geométricas simples, a validade do princípio de Arquimedes pode ser calculada manualmente usando meios simples. Para um cuboide com base e altura verticalmente imerso no líquido, obtém-se, por exemplo:

  • Força na base superior com a superfície normal :
  • Força na base inferior com a superfície normal :
  • As forças nas superfícies laterais sempre se cancelam.
  • Portanto, a força total de sustentação é

Aqui está o volume deslocado, ou seja, a massa deslocada e seu peso. O princípio de Arquimedes é assim cumprido. O sinal negativo é omitido se o eixo -é escolhido para cima.

Para um corpo de qualquer forma , a força de empuxo total é obtida a partir da integral de superfície

Com o teorema integral

e segue a partir disso

.

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Evidência individual

  1. Acott, CJ: The diving "Law-ers": Um resumo de carta de suas vidas. 1999 ( rubicon-foundation.org [acessado em 3 de março de 2020]).
  2. ^ Károly Simonyi: história cultural da física . Harri Deutsch, Thun, Frankfurt a. M. 1995, ISBN 3-8171-1379-X , pp. 89 f . Arquimedes formulou de acordo com Simonyi: “Qualquer corpo mais leve que a água, quando submerso, sobe com uma força que resulta da diferença entre o peso da água deslocada pelo corpo e o peso do próprio corpo. Porém, se o corpo for mais pesado que a água, ele será puxado para baixo com uma força que resulta da diferença entre o peso corporal e o peso da água que ele desloca. "